泊松方程

泊松方程（法語：Équation de Poisson）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。^[1]

方程的叙述

泊松方程式為

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$ 

在這裡${\displaystyle \Delta }$ 代表的是拉普拉斯算子，而${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle \varphi }$ 可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為${\displaystyle {\nabla }^{2}}$ ，因此泊松方程通常寫成

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f}$ 

在三維直角坐標系，可以寫成

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$ 

如果有${\displaystyle f(x,y,z)}$ 恒等于0，這個方程式就會變成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

${\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}$ 

泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考屏蔽泊松方程（英语：Screened Poisson equation）。現在也发展出很多種數值解，如松弛法（英语：relaxation method）（一种迭代法）。

数学表达

通常泊松方程式表示为

${\displaystyle -\Delta \varphi =f}$ 

这里${\displaystyle \Delta }$ 代表拉普拉斯算子，${\displaystyle f}$ 为已知函数，而${\displaystyle \varphi }$ 为未知函数。当${\displaystyle f=0}$  时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}$ 

其中 ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$  为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}}$ 

其中${\displaystyle \omega _{n}}$ 为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积${\displaystyle (\Phi *f)}$ 得到 ${\displaystyle -\Delta \varphi =f}$ 的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

${\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)}$ 

${\displaystyle \phi ^{x}}$  为一个校正函数，它满足

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}$ 

通常情况下${\displaystyle \phi ^{x}}$ 是依赖于${\displaystyle \Omega }$ 。

通过 ${\displaystyle G(x,y)}$ 可以给出上述边界条件的解

${\displaystyle u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y}$ 

其中${\displaystyle \sigma }$  表示${\displaystyle \partial \Omega }$ 上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

靜電學

在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制（SI）中：

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}$ 

此${\displaystyle \Phi \!}$ 代表電勢（單位為伏特），${\displaystyle \rho \!}$ 是體電荷密度（單位為庫侖/立方公尺），而${\displaystyle \epsilon _{0}\!}$ 是真空電容率（單位為法拉/公尺）。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

${\displaystyle \rho =0,\,}$ 

此方程式就變成拉普拉斯方程：

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =0.}$ 

高斯電荷分佈的電場

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 ${\displaystyle \rho (r)}$ ：

${\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$ 

此處，Q代表總電荷

此泊松方程式：${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}$  的解Φ(r)則為

${\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$ 

erf(x)代表的是误差函数.

注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場 ${\displaystyle {1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}}$ ；正如我們所預期的。

參閱

• 离散泊松方程（英语：Discrete Poisson equation）
• 泊松-玻尔兹曼方程
• 泊松方程的唯一性定理（英语：Uniqueness theorem for Poisson's equation）

参考文献

引用

1. Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (编), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005 [2015-05-30], ISBN 9780922152766, （原始内容于2020-11-20） .

来源

• Poisson Equation （页面存档备份，存于互联网档案馆） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Poisson equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Poisson's equation （页面存档备份，存于互联网档案馆） on PlanetMath.