特徵標理論, 在數學裡, 尤其是在群表示理論裡, 一個群表示的特徵標, character, 是一個將群的每個元素映射對應矩陣的跡, trace, 的函數, 特徵標蘊藏著群的許多重要性質, 且因此可以用來做群的研究, 是對有限簡單群分類的一個有重要的工具, 在范特, 湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算, 另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在, 如伯恩賽德定理及理查, 布勞爾和鈴木通夫所證出之定理, 此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛2, 子群, 目录, 定義, 拓撲群的情形,. 在數學裡 尤其是在群表示理論裡 一個群表示的特徵標 character 是一個將群的每個元素映射對應矩陣的跡 Trace 的函數 特徵標蘊藏著群的許多重要性質 且因此可以用來做群的研究 特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具 在范特 湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算 另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論 如伯恩賽德定理及理查 布勞爾和鈴木通夫所證出之定理 此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛2 子群 目录 1 定義 2 拓撲群的情形 3 性質 3 1 算術性質 4 特徵標的誘導與限制 5 特徵標表 5 1 正交關係 5 2 特徵標表性質 6 參考文獻定義 编辑設V為一個域F上的有限維向量空間且設r G GL V displaystyle rho colon G to mathrm GL V nbsp 為一個群G於V上的表示 則r的特徵標即為如下給定之函數 xr g Tr r g displaystyle chi rho g mathrm Tr rho g nbsp 其中Tr displaystyle mathrm Tr nbsp 為矩陣的跡數 一個特徵標xr若被稱為是不可約的 即表示r是一個不可約表示 若被稱為是線性的 則表示r的維度等於1 xr的核為集合 ker xr g G xr g xr 1 displaystyle ker chi rho left lbrace g in G mid chi rho g chi rho 1 right rbrace nbsp 其中xr 1 displaystyle chi rho 1 nbsp 是xr在群單位元上的值 當r是G的k維表示且1為G的單位元時 xr 1 Tr r 1 Tr 10 01 i 1k1 k dim r displaystyle chi rho 1 operatorname Tr rho 1 operatorname Tr begin bmatrix 1 amp amp 0 amp ddots amp 0 amp amp 1 end bmatrix sum i 1 k 1 k dim rho nbsp 和特徵標群的情況不同 一個群的特徵標通常不會自己 形成 一個群 拓撲群的情形 编辑在調和分析中 通常定義局部緊阿貝爾拓撲群 G displaystyle G nbsp 的特徵標為連續群同態 x G S1 displaystyle chi G to mathbb S 1 nbsp 在此 S1 displaystyle mathbb S 1 nbsp 表示單位圓構成的群 等價地說就是 R Z displaystyle mathbb R mathbb Z nbsp 部份作者將特徵標的定義放寬為連續群同態 x G C displaystyle chi G to mathbb C times nbsp 而將取值在 S1 displaystyle mathbb S 1 nbsp 者稱作么特徵標 其他人則保留原初定義 而將這類廣義的特徵標稱為擬特徵標 G displaystyle G nbsp 的全體特徵標構成一個群 G displaystyle hat G nbsp 群二元運算的定義是 x h g x g h g displaystyle chi cdot eta g chi g to eta g nbsp 稱為對偶群 龐特里雅金對偶性總結了對偶群的一般性質 性質 编辑特徵標是一個類函數 即為對一個共軛類內的所有元素來說 x會是個常數 两个同構的表示會有相同的特徵標 若系数域的特征char F 0 则两个表示為同構的 若且唯若它们有著完全相同的特徵標 若一個表示可以是多個子表示的直和 V W1 W2 Wr displaystyle V W 1 oplus W 2 oplus cdot oplus W r nbsp 則其相對應的特徵標會是其所有子表示的特徵標之和 g G xV g xW1 g xW2 g xWr g displaystyle forall g in G chi V g chi W 1 g chi W 2 g cdot chi W r g nbsp 在有限群的情况下 每個特徵標x g displaystyle chi g nbsp 都是n個m次單位根之和 其中n為表示內域的維度 m則是g的阶 若F是代數封閉的且char F 不可以整除G的阶 則G的不可約特徵標之數量等於G的共軛類數 Irr G Conj G displaystyle Irr G Conj G nbsp 算術性質 编辑 令r displaystyle rho nbsp 和s displaystyle sigma nbsp 為G的兩個表示 則有下列的等式成立 xr s xr xs displaystyle chi rho oplus sigma chi rho chi sigma nbsp xr s xr xs displaystyle chi rho otimes sigma chi rho cdot chi sigma nbsp xr xr displaystyle chi rho overline chi rho nbsp xAlt2r g 12 xr g 2 xr g2 displaystyle chi textrm Alt 2 rho g frac 1 2 left left chi rho g right 2 chi rho g 2 right nbsp xSym2r g 12 xr g 2 xr g2 displaystyle chi textrm Sym 2 rho g frac 1 2 left left chi rho g right 2 chi rho g 2 right nbsp 其中r s displaystyle rho oplus sigma nbsp 為兩者的直和 r s displaystyle rho otimes sigma nbsp 為兩者的張量積 r displaystyle rho nbsp 為r displaystyle rho nbsp 的共軛轉置 以及Alt称为交替積Alt2r r r displaystyle textrm Alt 2 rho rho wedge rho nbsp 而Sym則称为對稱方 其值由下式決定 r r r r Sym2r displaystyle rho otimes rho left rho wedge rho right oplus textrm Sym 2 rho nbsp 特徵標的誘導與限制 编辑設 G displaystyle G nbsp 為有限群 H G displaystyle H leq G nbsp 為其子群 而 r displaystyle rho nbsp 為 G 的表示 其特徵標記為 x displaystyle chi nbsp 令 IndHG x displaystyle mathrm Ind H G chi nbsp 為誘導表示 IndHG r displaystyle mathrm Ind H G rho nbsp 的特徵標 根據弗羅貝尼烏斯互反定理 對所有 G displaystyle G nbsp 的特徵標 h displaystyle eta nbsp 恆有下述等式 IndHG x h G x h H H displaystyle langle mathrm Ind H G chi eta rangle G langle chi eta H rangle H nbsp 此等式可用來刻劃類函數 IndHG x displaystyle mathrm Ind H G chi nbsp 事實上 若選定陪集分解 G tHt displaystyle G bigcup t Ht nbsp 還可以明確地寫下 IndHG x displaystyle mathrm Ind H G chi nbsp 的取值 IndHG x g tht 1 Hx tht 1 if g is conjugate to some h H0 otherwise displaystyle mathrm Ind H G chi g begin cases sum tht 1 in H chi tht 1 mbox if g is conjugate to some h in H 0 mbox otherwise end cases nbsp 特徵標表 编辑一個有限群的不可約特徵標可以形成一個特徵標表 其蘊含著許多有關群G在緊緻形式時的有用資訊 每一行標記著一個不可約特徵標且包含著此一特徵標在每個G的共軛類上的值 下面是有三個元素之循環群C3的特徵標表 1 u u2 1 1 1 1x1 1 u u2x2 1 u2 u其中的u為一個原三次單位根 特徵標表總會是正方的 因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目 特徵標表的第一個行總會是1 其對應至群的當然表示上 正交關係 编辑 主条目 舒尔正交关系 有關特徵標表最重要的性質之一為其在行與列上都會有著正交關係 對特徵標 即對特徵標表中的行 的內積由下給出 xi xj 1 G g Gxi g xj g displaystyle left langle chi i chi j right rangle frac 1 left G right sum g in G chi i g overline chi j g nbsp 其中 xj g displaystyle overline chi j g nbsp 表示 xj displaystyle chi j nbsp 在g上的值的複數共軛 對於此一內積而言 不可約特徵標两两正規正交 xi xj 0如 果 i j1如 果 i j displaystyle left langle chi i chi j right rangle begin cases 0 amp text 如 果 i neq j 1 amp text 如 果 i j end cases nbsp 對表中的列的正交關係則由下列給出 對g h G displaystyle g h in G nbsp 其和為1 G xixi g xi h 1 CG g 如 果 g h 共 軛 0 如 果 g h 不 共 軛 displaystyle frac 1 left G right sum chi i chi i g overline chi i h begin cases 1 left C G g right amp mbox 如 果 g h mbox 共 軛 0 amp mbox 如 果 g h mbox 不 共 軛 end cases nbsp 其中相加的範圍為所有G的不可約特徵標xi displaystyle chi i nbsp 而符號 CG g displaystyle left C G g right nbsp 則表示為g的共軛類之大小 此一正交關係可以幫助許多的運算 如 將一個未知特徵標分解成不可約特徵標的線性組合 當只有一些不可約特徵標為可知時 建構其完整的特徵標表 求出群的共軛類的表示的中心化子的階 求出群的階 特徵標表性質 编辑 一個群G的某些性質可以由其特徵表中推導出來 G的階就是表上所有特徵標之在1上的取值的平方 x 1 2的總和 伯恩赛德公式 G是可換的若且唯若對每個在表上的特徵標 x 1 1 G有一個非當然正規子群 即G不是一個簡單群 若且唯若對於某些表上的非當然特徵標x和一些於G內的非單位元素g 會有x 1 x g 特徵標表通常不會將群分至同構 例如 四元群Q和有8個元素的二面體群D4會有同樣的特徵標表 對有限群之特別例子 詳見有限群表示理論 一維表示的特徵標會形成一個特徵標群 其和數論中有著很重要的關連 參考文獻 编辑Fulton William and Harris Joe Representation Theory A First Course Springer New York 1991 ISBN 978 0 387 97495 8 見第2章 Isaacs I M Character Theory of Finite Groups Dover 1994 ISBN 978 0 486 68014 9 1976年原版的修正重印版 由Academic Press所出版 James Gordon and Liebeck Martin Representations and Characters of Groups 2nd ed Cambridge University Press 2001 ISBN 978 0 521 00392 6 http planetmath org encyclopedia Character html 页面存档备份 存于互联网档案馆 化學中重要的點群的特徵標表 列出了大多數的點群並其在化學中使用之符號的特徵標表 取自 https zh wikipedia org w index php title 特徵標理論 amp oldid 79667647, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,