沙普利-福克曼引理

沙普利-福克曼引理是凸幾何（英语：Convex geometry）的一條引理，其於数理经济学有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數${\displaystyle 0}$和${\displaystyle 1}$組成的集合，與自身相加，得到由${\displaystyle 0,\ 1,\ 2}$組成的集合，以符號可寫成：

此處以四個集合的閔可夫斯基和為沙普利-福克曼引理的例證。在左邊，四個非凸集中的點(+)之和，就是右邊，其閔氏和凸包中的點(+)。左邊四點之中，有兩點位於相應的非凸集中，另有兩點位於非凸集的凸包中。各凸包以淺粉紅色畫出。原來的集合各只有兩點（以紅點表示）。^[1]

${\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}=\{0,1,2\}.}$

「許多個集合的閔氏和，是否必定近似凸集？」沙普利-福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。^[2]集合稱為凸，意思是連接其中任意兩點的线段，必為該集合的子集：舉例，實心圓盤 ${\displaystyle \bullet }$ 為凸集，但圓 ${\displaystyle \circ }$ 則不然，因為連接相異兩點的線段 ${\displaystyle \oslash }$ 並不是圓的子集。沙普利-福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出向量空間的維數，則其閔氏和將近凸。^[1]

沙普利-福克曼引理引入時，是作為證明沙普利-福克曼定理的一步，該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界。所謂集合${\displaystyle Q}$的凸包，是包含${\displaystyle Q}$的最小凸集。而當且僅當和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於維數${\displaystyle D}$及求和項的形狀，但不取決於求和的項數${\displaystyle N}$，而只需${\displaystyle N>D}$。只要其中${\displaystyle D}$個求和項的形狀，就足以確定${\displaystyle N}$個集合的閔可夫斯基平均集

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\left(Q_{1}+Q_{2}+\cdots +Q_{N}\right)}$

與其凸包的距離的上界。當${\displaystyle N}$趨向無窮時，該上界遞減至零（需要各求和項的大小一致有界）。^[3]斯塔（Starr）的推论將沙普利-福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為沙普利-福克曼-斯塔定理。

劳埃德·沙普利和強·福克曼（英语：Jon Folkman）的引理，最先由經濟學家羅斯·斯塔（英语：Ross Starr）發表，其時斯塔正在肯尼斯·阿罗門下，研究經濟均衡的存在性。^[1]斯塔在論文中，研究凸化（convexified）經濟體，即將非凸集換成其凸包。斯塔證明，凸化之後，有些均衡由原經濟體的「準均衡」（quasi-equilibria）逼近；還證明，每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質，而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔1969年的論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結果得到廣泛應用，用作證明（凸）經濟理論的若干核心結果，儘管不適用於有非凸部分的大經濟體，但在此等經濟體中，仍是良好的近似。羅歇·蓋內里（英语：Roger Guesnerie）評論：「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」^[4]許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集（英语：Non-convexity (economics)），除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集（英语：Convexity in economics）」，除以上得主著重外，還有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。

沙普利-福克曼引理在優化論和概率论皆有應用。^[3]優化論中，可以引理解釋，在求多個函数之和的最小值時，為何一些解法可以成功。^[5][6]概率論中，引理適用於證明隨機集（英语：Stochastic geometry）的「大數定律」。此定理先前僅在凸集的情況得證。^[7]

簡單例子

考慮凸的實數區間${\displaystyle [0,1]}$ ，其包含整數子集${\displaystyle \{0,1\}}$ ，且是其凸包（添加了兩點所連線段上的所有點）。僅得兩個元素的集合${\displaystyle \{0,1\}}$ ，複製成三份，並按元素求和，得到

${\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}+\{0,1\}=\{0,1,2,3\}.}$ 

（此處集合的和，是從各集合分別取一個元素相加，得到的可能結果的集合，稱為閔氏和。）和集的凸包則為區間${\displaystyle [0,3]}$ 。

區間${\displaystyle [0,3]}$ 中，每個數${\displaystyle x}$ 都可以寫成區間${\displaystyle [0,1]}$ 中某三個實數（允許重複）之和，例如將${\displaystyle x}$ 等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理，則有更強的結論：${\displaystyle [0,3]}$ 的每個數，都可以寫成${\displaystyle \{0,1\}}$ 中某兩個整數（允許重複），與${\displaystyle [0,1]}$ 中某一個實數之和。^[8]

凸包${\displaystyle [0,1]}$ 中的點，到${\displaystyle \{0,1\}}$ 的距離，至多為${\displaystyle 1/2}$ ：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}=\left|{\frac {1}{2}}-0\right|=\left|{\frac {1}{2}}-1\right|,}$ 

然而，考慮三個區間${\displaystyle [0,1]}$ 的閔氏平均

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\{0,1\}+\{0,1\}+\{0,1\}\right)=\left\{0,{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},\ 1\right\},}$ 

與其凸包${\displaystyle [0,1]}$ 的距離，僅為${\displaystyle 1/6}$ ，即未平均前${\displaystyle \{0,1\}}$ 與${\displaystyle [0,1]}$ 距離（${\displaystyle 1/2}$ ）的三分之一。越多個集合相加，其閔氏平均就將凸包填得越滿：由閔氏平均至凸包的最遠距離，隨被加項數增加，而趨向於零。^[8]此為沙普利-福克曼定理的結論。

前置概念

沙普利-福克曼引理需要用到凸幾何（英语：convex geometry）的若干定義和定理，本節將作簡介。

實向量空間

二維的實向量空間上，有笛卡兒坐標系，將每點視為一對實數，稱為「坐標」，按慣例記為${\displaystyle x,\ y}$ 。笛卡兒平面上的兩點，可以逐個坐標相加：

${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}).}$ 

此外，點也可以逐個坐標與實數${\displaystyle \lambda }$ 相乘：

${\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y).}$ 

更一般而言，任何${\displaystyle D}$ 維（有限維）實向量空間，均可視為${\displaystyle D}$ 個實數組成的D元組的集合${\displaystyle \{(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{D})\}}$ ，並配備兩種運算：向量加法和標量乘法。有限維實空間的此兩種運算，皆定義成逐個坐標運算，與笛卡兒平面上的運算類似。^[9]

凸集

 

凸集${\displaystyle Q}$ 中，連接任意兩點的線段仍是${\displaystyle Q}$ 的子集。

 

非凸集${\displaystyle Q}$ 中，連接某兩點的線段上，有一點不再是${\displaystyle Q}$ 的元素。

用線段可以檢驗某集合是否凸集。

實向量空間中，非空子集${\displaystyle Q}$ 稱為凸集，意思是，對於${\displaystyle Q}$ 的任意兩個點，連接兩點成一線段，其上的所有點仍在${\displaystyle Q}$ 中。例如，實心圓盤 ${\displaystyle \bullet }$  為凸，但圓 ${\displaystyle \circ }$  則不然，因為連接相異兩點的線段 ${\displaystyle \oslash }$  並不是圓的子集。三個整數的集合${\displaystyle \{0,1,2\}}$ 非凸，但其為區間${\displaystyle [0,2]}$ 的子集，而該區間為凸。又例如，實心立方體為凸，然而任何空心或凹陷的圖形，如彎月形（英语：Crescent），則非凸。空集也是凸集，視乎作者偏好，這可能是專門的定義^[10]，也可能是因為要滿足的條件是空真命題（英语：Vacuous truth）。

更嚴謹而言，集合${\displaystyle Q}$ 稱為凸，意思是，對${\displaystyle Q}$ 中任意兩點${\displaystyle v_{0},v_{1}}$ ，和單位區間${\displaystyle [0,1]}$ 中的任意實數${\displaystyle \lambda }$ ，點

${\displaystyle (1-\lambda )v_{0}+\lambda v_{1}}$ 

仍是${\displaystyle Q}$ 的元素。

由數學歸納法，集合${\displaystyle Q}$ 為凸，當且僅當其任意多個元素的凸組合仍在${\displaystyle Q}$ 中。所謂向量空間子集${\displaystyle \{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{D}\}}$ 的凸組合，是其元素的任意加權平均${\displaystyle \lambda _{0}v_{0}+\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{D}v_{D}}$ ，而各${\displaystyle \lambda _{i}}$ 可以是總和為${\displaystyle 1}$ 的任意非負實數，即只需${\displaystyle \lambda _{0}+\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{D}=1}$ 。^[11]

凸集的定義推出，兩個凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作為特例，若取兩個不交的凸集，則其交集為空集，故應當稱空集為凸。^[10]

凸包

 

紅色集的凸包中，每個藍點都是若干個紅點的凸組合。

對於實向量空間的每個子集${\displaystyle Q}$ ，其凸包${\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)}$ 是包含${\displaystyle Q}$ 的最小凸集。所以，${\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)}$ 是所有覆蓋${\displaystyle Q}$ 的凸集的交。等價地，可以將${\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)}$ 定義成${\displaystyle Q}$ 的點的所有凸组合的集合。^[12]作為例子，整數集合${\displaystyle \{0,1\}}$ 的凸包，是實數閉區間${\displaystyle [0,1]}$ ，其兩端為原有的整數${\displaystyle 0,1}$ 。^[8]单位圆的凸包則是閉单位圆盘，其包含單位圓。

閔可夫斯基和

 

集合的閔可夫斯基和。兩個小正方形${\displaystyle Q_{1}=[0,1]^{2}}$ 和${\displaystyle Q_{2}=[1,2]^{2}}$ 的和，是大正方形${\displaystyle Q_{1}+Q_{2}=[1,3]^{2}}$ 。

在任何向量空間（或有定義加法的代數結構）${\displaystyle X}$ 中，兩個非空子集${\displaystyle A,B\subseteq X}$ 的閔可夫斯基和，定義為其元素之和的集合，即 ${\displaystyle A+B:=\{x+y\mid x\in A,~y\in B\}}$ （參見^[13])。例如：

${\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.}$ 

此運算定義在非空子集族上，且滿足結合律和交換律。既然有結合律和交換律，就可以遞歸定義多個被加項的運算結果${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}Q_{n}=Q_{1}+Q_{2}+\cdots +Q_{N}}$ 。由數學歸納法，可見^[14]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}Q_{n}=\left\{\left.\sum _{n=1}^{N}q_{n}\right|q_{n}\in Q_{n},~1\leq n\leq N\right\}.}$ 

閔可夫斯基和的凸包

閔可夫斯基和與凸包運算可以交換。具體而言，對實向量空間${\displaystyle X}$ 的任意子集${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ，其閔氏和的凸包等於其凸包的閔氏和。換言之，

${\displaystyle \mathrm {Conv} (A+B)=\mathrm {Conv} (A)+\mathrm {Conv} (B).}$ 

故由數學歸納法得

${\displaystyle \mathrm {Conv} (\sum _{n=1}^{N}Q_{n})=\sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (Q_{n})}$ 

對任意${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ 和非空子集${\displaystyle Q_{n}\subseteq X}$ （${\displaystyle 1\leq n\leq N}$ ）成立。^[15][16]

各命題的敍述

 

閔氏和及凸包。右圖的十六個紅點，組成左圖四個非凸集的閔氏和。左圖每個非凸集由兩個紅點組成，其凸包（淺粉紅色）包含標記加號（+）的點，而右圖中的加號等於左圖各個標加號的點之和。

由前一段的恆等式，對和的凸包中的每點${\displaystyle x\in \mathrm {Conv} \left(\sum _{n=1}^{N}Q_{n}\right)}$ ，都存在各凸包的${\displaystyle q_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q_{n})}$ （${\displaystyle n}$ 取遍${\displaystyle 1}$ 至${\displaystyle N}$ ），使得${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}q_{n}(x)=x}$ 。各點${\displaystyle q_{n}(x)}$ 的位置取決於${\displaystyle x}$ 。

引理

 

劳埃德·沙普利，2012年諾貝爾經濟學獎得主。他與強·福克曼（英语：Jon Folkman）一同證明沙普利-福克曼引理。^[1]

有了以上背景，沙普利-福克曼引理斷言，${\displaystyle x}$ 的表示法

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{N}q_{n}(x)}$ 

中，僅需要不多於${\displaystyle D}$ 個被加項${\displaystyle q_{n}(x)}$ 取自凸包，而其他被加項，則只需取自原來的集合${\displaystyle Q_{n}}$ 。以符號復述，即有以上方法表示${\displaystyle x}$ ，且滿足${\displaystyle |\{l\leq n\leq N\mid q_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q_{n})\setminus Q_{n}\}|\leq D}$ 。不妨將下標重新排序，然後就有

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{D}q_{n}(x)+\sum _{n=D+1}^{N}q_{n}(x)}$ 

其中對${\displaystyle 1\leq n\leq D}$ ，有${\displaystyle q_{n}\in \mathrm {Conv} (Q_{n})}$ ，而對${\displaystyle D+1\leq n\leq N}$ ，則有${\displaystyle q_{n}\in Q_{n}}$ 。注意，倘若重排，則排序的方式也取決於點${\displaystyle x}$ 。^[17]再精簡，沙普利-福克曼引理可以寫成

${\displaystyle \mathrm {Conv} (\sum _{n=1}^{N}Q_{n})\subseteq \bigcup _{I\subseteq \{1,2,\ldots N\}:~|I|=D}\sum _{n\in I}\mathrm {Conv} (Q_{n})+\sum _{n\notin I}Q_{n}.}$ 

舉例，集合${\displaystyle [0,2]=[0,1]+[0,1]=\mathrm {Conv} (\{0,1\})+\mathrm {Conv} (\{0,1\})}$ 中的每個點，根據引理，必定可以寫成${\displaystyle \{0,1\}}$ 的某個元素，與${\displaystyle [0,1]}$ 的某個元素之和。^[8]

實向量空間的維數

反之，沙普利-福克曼引理刻劃了有限維實向量空間的維數。具體而言，若某向量空間，對於某個自然數${\displaystyle D}$ 滿足引理的結論，但對小於${\displaystyle D}$ 的數不滿足，則其維數恰好為${\displaystyle D}$ 。^[18]引理僅對有限維向量空間成立。^[19]

沙普利-福克曼定理及斯塔的推論

 

某點集（深紅）的凸包以淺紅虛線圍起。點集的內半徑（綠色）必定小於其外接圓半徑（藍色），除非所有點共圓，此時兩個半徑相等。

沙普利與福克曼運用其引理，證明沙普利-福克曼定理，給出集合的閔氏和與其凸包（稱為凸化（convexified）和）的距離上界。定理的敍述如下：

凸化和${\displaystyle \mathrm {Conv} \left(\sum Q_{n}\right)}$ 的任一點，到（未凸化）和集${\displaystyle \sum Q_{n}}$ 的歐氏距離平方，不超過各集合${\displaystyle Q_{n}}$ 的外接半徑中，最大${\displaystyle D}$ 個的平方和。(所謂外接半徑，定義為包圍該集合的最小球面的半徑。）^[20]此上界與求和項數${\displaystyle N}$ 無關（但要求${\displaystyle N>D}$ ，且集合不能越來越大）。^[21]

上述定理給出閔氏和及其凸包之間距離的上界。當且僅當閔氏和為凸集時，此距離為零。該上界取決於維數${\displaystyle D}$ 及各被加項的形狀，但只要${\displaystyle N>D}$ ，就不取決於項數${\displaystyle N}$ 。^[3]

通常，外接半徑會大於內半徑，而無論如何，外接半徑總不能小於內半徑。集合${\displaystyle Q_{n}}$ 的內半徑定義為：^[22]

最小的正實數${\displaystyle r}$ ，滿足：若${\displaystyle q}$ 在${\displaystyle Q_{n}}$ 凸包中，則${\displaystyle q}$ 在${\displaystyle Q_{n}}$ 若干點的凸包中，而該些點皆在同一個半徑為${\displaystyle r}$ 的球內。

斯塔將沙普利-福克曼定理中的外接半徑換成內半徑，從而壓低沙普利-福克曼定理的上界：

沙普利-福克曼定理的斯塔推論：

凸化和${\displaystyle \mathrm {Conv} \left(\sum Q_{n}\right)}$ 的任一點，到（未凸化）和集${\displaystyle \sum Q_{n}}$ 的歐氏距離平方，不超過各集合${\displaystyle Q_{n}}$ 的內半徑中，最大${\displaystyle D}$ 個的平方和。^[22][23]

斯塔的推論確定，${\displaystyle N}$ 個集合的閔氏和與其凸包之間，歐氏距離的上界。此距離可以衡量閔氏和非凸的程度，故為簡單起見，下文稱為非凸度。於是，斯塔對非凸度的上界，僅取決於${\displaystyle D}$ 個最大內半徑之值，但不取決於求和的項數${\displaystyle N}$ （假設${\displaystyle N>D}$ ）。

例如，非凸集${\displaystyle \{0,1,2\}}$ 的非凸度為${\displaystyle 1/2}$ ，因為與其凸包（區間${\displaystyle [0,2]}$ ）的距離為

${\displaystyle {\frac {1}{2}}=\left|1-{\frac {1}{2}}\right|=\left|0-{\frac {1}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|=\left|1-{\frac {3}{2}}\right|.}$ 

所以，既然${\displaystyle \sum Q_{n}}$ 的非凸度有不取決於項數${\displaystyle N}$ 的上界，就知平均集

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\left(\sum Q_{n}\right)}$ 

非凸度上界，會隨${\displaystyle N}$ 增加而遞減。例如，平均集

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\{0,1\}+\{0,1\}\right)=\{0,\ 1/2,\ 1\}}$ 

和其凸包${\displaystyle [0,1]}$ 的距離僅為${\displaystyle 1/4}$ ，等於被加項${\displaystyle \{0,1\}}$ 與其凸包${\displaystyle [0,1]}$ 的距離（${\displaystyle 1/2}$ ）之半。僅要最大${\displaystyle D}$ 個求和項的形狀，已足以計算和集與凸包的距離的上界，故除以${\displaystyle N}$ 後，平均集與凸包的距離，在${\displaystyle N}$ 趨向無窮時，會遞減至零（對均勻有界的求和項成立，即各個求和項的大小需有同一個上界）。^[3]若使用斯塔的上界，則前一句結論的條件可以放寬，只需各求和項的內半徑有同一個上界。^[3]

證明和計算

沙普利-福克曼引理的原證明，僅確定存在該種表示法，而無說明如何構造。阿羅與哈恩^[24]、蓋士利（英语：J. W. S. Cassels）^[25]、斯奈德（Schneider）^[26]和其他人都曾給出類似的證明。阿特斯泰因（Artstein）擴展了埃科蘭德（英语：Ivar Ekeland）的簡潔抽象證明。^[27][28]也有未經出版的另證。^[2][29]1981年，斯塔發表一種疊代法，可以計算給定點的表示法，然而，此計算方法給出的上界，較非構造性證明的上界差。^[30]博赛卡斯的書有講述有限維空間沙普利-福克曼引理的初等證明，^[31]並將引理應用於估計可分優化（separable optimization）問題與零和賽局的對偶間隙。

應用

有沙普利-福克曼引理，學者就得將有關凸集閔氏和的結果，套用到（無需凸的）一般集合之和。此種和見於經濟學、最优化理論、概率論。此三領域的應用中，非凸性起到重要作用。

經濟學

 

消費者偏好位於無差異曲線${\displaystyle I_{3}}$ 上的任意籃子，勝過位於${\displaystyle I_{2}}$ 上的籃子。籃子${\displaystyle (Q_{x},Q_{y})}$ ，是預算線（藍色）支撐（英语：Supporting hyperplane）${\displaystyle I_{2}}$ 的位置，所以是最優而又可行。相反，雖然消費者更偏好${\displaystyle I_{3}}$ 上的任意籃子，但無足夠預算，所以並不可行。

参见：經濟學中的凸集（英语：Convexity in economics）

經濟學中，消費者對每一「籃子」商品（basket，即商品的組合）有其偏好程度。每籃子可用一個非負向量表示，其坐標為籃中各商品的量。所有籃子組成的集合中，每個消費者有自己的一族无差异曲线，滿足：在同一條曲線上的各籃子，對該消費者是等價的，即消費者並不覺該曲線上有籃子勝於另一個籃子。每籃子恰好處於一條無差異曲線上。消費者相對於一條無差異曲線的偏好集，定義為該無差異曲線與其更偏好的區域的並集。稱消費者的偏好為凸，意思是其所有偏好集皆為凸。^[32]

如圖所示，消費者認為的最優籃子，是在預算線支撐（英语：Supporting hyperplane）某個偏好集時取到，因為此時，所選的籃子是整條預算線上，達到最高的無差異曲線的一點。所謂預算線，是由商品的價格向量與消費者的收入計算得出的限制，消費者無足夠收入購買高於此線的籃子。所以，最優籃子的集合是各價格的函數，稱為消費者的需求。若偏好集為凸，則不論價格為何，消費者認為的最優籃子總是組成凸集，例如可能是單元集，或是一條線段。^[33]

非凸偏好

 

若消費者的偏好有凹陷，則消費者的決定可以不連續，從一個籃子跳到另一個隔開的籃子。

参见：非凸集 (經濟學)（英语：Non-convexity (economics)）

然而，若有偏好集非凸，則某些價格確定的預算線，可能在兩個分開的最優籃子支撐該偏好集。例如，可以設想，動物園購買獅子或鷹的價錢一樣，且其預算恰好夠買一隻獅子或一隻鷹。此外，假設園主亦認為兩隻動物價值相同，則動物園有可能買獅子，也可能買鷹，但當然不可能買半隻獅子加半隻鷹（狮鹫）。所以，園主的偏好非凸：買兩隻動物中的任一隻，勝於兩者的嚴格凸組合。^[34]

若消費者有非凸偏好集，則對於某些價格，需求不連通。不連通的需求，會導致消費者的行為出現不連續的間斷。引述哈羅德·霍特林的話（宜配合所附動圖理解）：

若考慮波浪形的無差異曲線，即在某些區域向原點凸，而在其他區域向原點凹，則我等被迫推論，僅有向原點凸的部分需要理會，因為幾乎不可能觀測到其他部分。要偵測該些部分，唯一方法是，觀察價格之比率變化時，需求的不連續變化。此變化的效果是，當直線旋轉時，切點會突然躍過某凹陷。雖然此種不連續的表現，揭示有凹陷，但卻不可能量度缺口的深度。倘若無差異曲線，或其高維推廣，有凹陷部分，則定必因永遠無法測量，而不為人知。^[35]

瓦爾特·迪韋爾特（英语：Walter Erwin Diewert）^[36]書中，稱赫爾曼·沃爾德（英语：Herman Wold）^[37]有強調研究非凸偏好的困難，也引述保羅·薩繆爾森稱凹陷處「被永恆的黑暗遮蔽」^[38]。

儘管有上述困難，《政治經濟期刊（英语：Journal of Political Economy）》（JPE）在1959年至1961年間，刊登一系列的論文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷爾（Farrell）^[39]、巴托爾（英语：Francis M. Bator）^[40]、科普曼斯^[41]、羅森博格（Rothenberg）^[42]。其中，羅森博格討論非凸集和的近似凸性。^[43]該些JPE論文，促使劳埃德·沙普利和马丁·舒比克也合著論文，研究凸化的消費者偏好，並引入「近似均衡」（approximate equilibrium）的概念。^[44]JPE論文和沙普利-舒比克論文又啟發了罗伯特·奥曼提出另一個概念，稱為「準均衡」（quasi-equilibrium）。^[45][46]

斯塔1969年的論文與當代經濟學

 

肯尼斯·阿罗（1972年诺贝尔獎得主）幫助羅斯·斯塔（英语：Ross Starr）研究非凸經濟體（英语：Convex preferences）。^[47]

肯尼斯·阿罗收集前人研究經濟學中的非凸集（英语：Non-convexity (economics)）的文獻，列成表，並加入註解，交給羅斯·斯塔（英语：Ross Starr）。斯塔當時仍是本科生，但已在修讀阿羅開設的高等數理經濟學（研究生）課程。^[47]斯塔在學期論文中，考慮將非凸偏好換成其凸包所得的假想經濟體，研究其一般均衡。凸化經濟體中，在每個價位，總需求皆是各消費者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引數學家劳埃德·沙普利和強·福克曼（英语：Jon Folkman）參與，兩人「在私人通信中」證明現以兩人命名的引理和定理，到1969年，斯塔才於論文報告此事。^[1]

斯塔1969年的論文中，應用沙普利-福克曼-斯塔定理，證明「凸化」經濟體有一些一般均衡，只要參與者足夠多，能以原經濟體的「準均衡」近似。具體而言，斯塔證明，至少存在一個價格向量為${\displaystyle p_{\mathrm {opt} }}$ 的準均衡，滿足下列條件：

• 對每個準均衡${\displaystyle p_{\mathrm {opt} }}$ ，所有消費者都可以選到其最優的籃子（在預算限制內，且最偏好）。
• 在該價格${\displaystyle p_{\mathrm {opt} }}$ ，凸化經濟體中，每種商品的市場皆均衡，即供給等於需求。
• 每個準均衡的價格，皆「幾乎出清（英语：Market clearing）」原經濟體的市場：凸化經濟體均衡組成的集合，與原經濟體的準均衡集合，兩者的距離有上界。此結論是根據沙普利-福克曼定理的斯塔推論得到。^[48]

斯塔確立以下結論：

「總體中，［取各消費及生產集的凸包］所得的假想經濟體的分配，與真實經濟體的某個分配，兩者的差異，有不取決於參與者數目的上界。因此，當參與者數目趨向無窮時，平均參與者感受到，與擬作行動的偏差，近乎可以忽略不計。」^[49]

斯塔1969年論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟理論獲廣泛應用。羅歇·蓋內里（英语：Roger Guesnerie）如此總結該結論對經濟學的意義：「假設凸性，所得的若干重要結果，在不具凸性的情況下，仍（近似）適用。例如，若經濟體具有大消費側，則偏好的非凸性不影響適用標準結果」^[50]，還稱「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」^[4]許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集（英语：Non-convexity (economics)），除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集（英语：Convexity in economics）」，除以上得主著重外，還有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。^[51]

沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟學各分支的文獻都經常出現，包括微观经济学^[52]、一般均衡理論^[53][54]、公共經濟學^[55]（包括市场失灵）^[56]、博弈论^[57]、数理经济学^[58]、經濟學中的应用数学^[59][60]。沙普利-福克曼-斯塔的結論，也使經濟學更多使用測度論和积分理論。^[61]

最優化理論

 

函數稱為凸，意思是圖像上方的區域為凸集。

沙普利-福克曼引理可以解釋，為何大規模的最小化問題，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（僅對於凸問題，有證明疊代法收斂到最優解）。沙普利-福克曼引理，促使學者將凸優化方法，用於優化多個（無需凸的）函數之和。^[62]

最優化理論的前置概念

非线性规划依賴下列有關函數的若干定義：

• 函數${\displaystyle f}$ （定義在集合${\displaystyle D}$ 上）的圖像，是所有參數${\displaystyle x}$ 與相應取值${\displaystyle f(x)}$ 組成的二元組的集合：

${\displaystyle \mathrm {Graph} (f)=\{(x,f(x)):x\in D\}.}$ 

• 實值函數（英语：Real-valued function）${\displaystyle f}$ 的蓋圖（英语：Epigraph (mathematics)）是圖像上方的點的集合：

 

正弦函數並非凸函数。

${\displaystyle \mathrm {Epi} (f)=\{(x,u):f(x)\leq u\}.}$ 

• 實值函數稱為凸函数，意思是其蓋圖為凸集。^[63]

舉例，二次函数${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}$ 為凸，而绝对值函數${\displaystyle g:x\mapsto |x|}$ 亦然，但正弦函數${\displaystyle \sin }$ （如圖）則不然，因為在區間${\displaystyle (0,\pi )}$ 的蓋圖非凸（而有向上的凹陷）。

加性優化問題

許多優化問題中，目標函數${\displaystyle f}$ 可分離變數（可分），即${\displaystyle f}$ 是多個函數之和，而各個函數的參數不同，如：

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{n}f_{n}(x_{n}).}$ 

又例如，线性规划問題就可分離變數。考慮一個可分問題，及一個最優解

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {min} }=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})_{\mathrm {min} },}$ 

在該點取到最小值${\displaystyle f({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {min} })}$ 。對此可分問題，同時考慮其「凸化問題」的最優解，即將每個求和項${\displaystyle f_{n}}$ 的圖像換成其凸包。此種最優解，會是凸化問題的某點列${\displaystyle ({\boldsymbol {x}}_{j},f({\boldsymbol {x}}_{j}))_{j=1}^{\infty }}$ 的極限，其中

${\displaystyle ({\boldsymbol {x}}_{j},f({\boldsymbol {x}}_{j}))\in \sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (\mathrm {Graph} (f_{n})).}$ ^[5][64]

當然，因為此點是${\displaystyle N}$ 個圖像凸包的點之和，由沙普利-福克曼引理，就可以寫成原圖像的點與少數圖像凸包的點之和。

以上分析，1974年由埃科蘭德（英语：Ivar Ekeland）發表，以解釋為何可分問題有許多項時，即使各項非凸，總問題仍看似凸。對非線性最小值問題而言，對偶問題的解，不一定就是原問題的解（但若已知原問題為凸，且滿足特定条件，則兩者的的最優解相等），但是，1973年，青年數學家克勞德·勒馬雷沙爾（英语：Claude Lemaréchal）詫異，對已知非凸的問題使用凸問題的方法，竟然也成功。勒馬雷沙爾的問題，正是上段加性可分離變數的形式，而每個和項皆非凸函數，但對偶問題的解，仍近似原問題的最優解。^[65][5][66]埃科蘭德的分析說明，「大而可分」的最小值問題，即使各和項有凹陷，仍可運用凸優化的方法。埃科蘭德及其後的作者主張，因為變數可以加性分離，所得的總問題近似凸。該等著作以沙普利-福克曼引理為關鍵一步。^[5][66][67]沙普利-福克曼引理促使學者將凸優化方法，應用到目標函數為多個函數之和的情況。^{[5][6][59][62]}

概率與測度論

凸集常與概率论一同研究。卡拉西奧多里定理（英语：Carathéodory's theorem (convex hull)）說明，${\displaystyle d}$ 維空間的（非空）子集${\displaystyle Q}$ 凸包中的點，是取值於${\displaystyle Q}$ 的簡單隨機向量（英语：Multivariate random variable）的期望值，而所謂簡單，意思是僅在不多於${\displaystyle d+1}$ 個點處有非零概率。所以，對非空集${\displaystyle Q}$ ，取值自${\displaystyle Q}$ 的簡單隨機向量組成的集合，等於${\displaystyle Q}$ 的凸包。由此便可在概率論中，套用沙普利-福克曼-斯塔的結果。^[68]反之，藉期望值與凸包之間的聯繫，概率論亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的結果。^[69]沙普利-福克曼-斯塔的結果，廣泛用於隨機集的概率論（英语：Stochastic geometry）^[70]，例如證明隨機集的大數定律^[7][71]、中央極限定理^[71][72]、大離差原理（英语：Large deviations theory）^[73]。要證明前列概率極限定理，可以使用沙普利-福克曼-斯塔的結果，來避免假設隨機集為凸。

概率测度是有限的测度，而沙普利-福克曼引理還可以應用到非概率的測度論，如体积或向量测度的理論。沙普利-福克曼引理可以加強布倫-閔可夫斯基不等式（英语：Brunn–Minkowski theorem）。該不等式斷言，閔氏和的體積，相較於各和項的體積不能太大，即閔氏和的體積有上界，以各和項的體積的表示。^[74]歐氏空間子集的體積，此處定義為其勒贝格测度。

高等測度論中，沙普利-福克曼引理適用於證明李亞普諾夫定理，即向量测度的值域為凸。^[75]值域（或像集）是函數所有可能取值的集合，而向量測度則將測度推廣到允許取向量值。例如，若某测度空間有兩種概率测度${\displaystyle p_{1}}$ 和${\displaystyle p_{2}}$ ，則可定義一個向量測度${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$ ，是對每個事件${\displaystyle \omega }$ ，將其兩個概率結合為一個二元組，即

${\displaystyle (p_{1},p_{2})(\omega )=(p_{1}(\omega ),p_{2}(\omega )).}$ 

李亞普諾夫定理在經濟學^[45][76]、(砰砰)控制論、統計理論（英语：Statistical theory）皆有應用。^[77]李亞普諾夫定理是沙普利-福克曼引理的連續版^[3]，而沙普利-福克曼引理是李亞普諾夫定理的離散類比。^[78]

註

1. Starr (1969)
2. Howe (1979, p. 1)
3. Starr (2008)
4. Guesnerie (1989, p. 138)
5. （Ekeland 1999，pp.357–359）: 1976年首部英文版中，埃科蘭德在附錄證明沙普利-福克曼引理，並在p. 373提到勒馬雷沙爾的實驗觀察。
6. Bertsekas (1996, pp. 364–381)於p. 374引用Ekeland (1999)，並在p. 381引用Aubin & Ekeland (1976)：

   Bertsekas, Dimitri P. 5.6 Large scale separable integer programming problems and the exponential method of multipliers [第5.6節：大規模可分整數規劃問題及乘子指數法]. Constrained optimization and Lagrange multiplier methods [受限優化和拉格朗日乘子法] 1982年Academic Press版的重印. Belmont, Mass.: Athena Scientific. 1996: xiii+395. ISBN 1-886529-04-3. MR 0690767 （英语）. 

   Bertsekas (1996, pp. 364–381)將拉格朗日對偶法用到發電排程（英语：Scheduling (production processes)）上（即機組排程問題（英语：power system simulation）），此種問題有變量限制為整數（英语：Integer programming），所以非凸：

   Bertsekas, Dimitri P.; Lauer, Gregory S.; Sandell, Nils R., Jr.; Posbergh, Thomas A. Optimal short-term scheduling of large-scale power systems [大規模電力系統的最優短期排程] (PDF). IEEE Transactions on Automatic Control. January 1983, 28 (1): 1–11 [2 February 2011]. doi:10.1109/tac.1983.1103136. （原始内容 (PDF)于2021-09-09） （英语）.  Proceedings of 1981 IEEE Conference on Decision and Control, San Diego, CA, December 1981, pp. 432–443.

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10. Rockafellar (1997, p. 10)
11. Arrow & Hahn (1980, p. 376)、Rockafellar (1997, pp. 10–11)、Green & Heller (1981, p. 37)
12. Arrow & Hahn (1980, p. 385)及Rockafellar (1997, pp. 11–12)
13. Schneider (1993, p. xi)及Rockafellar (1997, p. 16)
14. Rockafellar (1997, p. 17)及Starr (1997, p. 78)
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16. Arrow & Hahn (1980, p. 387)
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18. Schneider (1993, p. 131)
19. Schneider (1993, p. 140)歸功於Borwein & O'Brien (1978): Borwein, J. M.; O'Brien, R. C. Cancellation characterizes convexity [抵消之事，可以刻畫凸性]. Nanta Mathematica (Nanyang University). 1978, 11: 100–102. ISSN 0077-2739. MR 0510842 （英语）. 
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23. Schneider (1993, pp. 129–130)
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33. Arrow & Hahn (1980, pp. 79–81)
34. Starr (1969, p. 26)：「畢竟，可能覺得車和艇差不多，但多數情況下，半車半艇的組合，既不能駕駛，也不能航行。」（譯文）
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    Wold & Juréen (1953, p. 146): Wold, Herman; Juréen, Lars (in association with Wold). 8 Some further applications of preference fields (pp. 129–148) [八、偏好域的其他應用]. Demand analysis: A study in econometrics [需求分析：計量經濟學研究]. Wiley publications in statistics. New York: John Wiley and Sons, Inc. 1953: xvi+358. MR 0064385 （英语）. 

38. Samuelson (1950, pp. 359–360):

    會注意到，競爭市場中，不能觀測到無差異曲線凸處（而不是凹）的任何點。此種點被永恆的黑暗遮蔽，除非我等令該消費者壟斷買方，且從非常凸的「預算曲線」上，選取所買的商品。（其沿此曲線，影響所買商品的價格。）在买方垄断的情況，仍可從均衡點觀測到的限制的斜算，推斷該人無差異曲線的斜率。［譯按：此處凸與凹的約定，與本條目相反。］

    Samuelson, Paul A. The problem of integrability in utility theory [效用論的可積性問題]. Economica. New Series. November 1950, 17 (68): 355–385. JSTOR 2549499. MR 0043436. doi:10.2307/2549499 （英语）. 

    「永恆的黑暗」描述彌爾頓所著《失樂園》中的地獄，其卷二第592至594行將地獄的凹陷與塞波尼斯大沼澤（英语：Serbonian Bog）相比：

    A gulf profound as that Serbonian Bog
    Betwixt Damiata and Mount Casius old,
    Where Armies whole have sunk.

    彌爾頓對凹陷的描寫，是Arrow & Hahn (1980, p. 169)第7章"Markets with non-convex preferences and production"［非凸偏好與生產的市場］的題辭（英语：epigraph (literature)）。該章講解Starr (1969)的成果。
39. Farrell, M. J. The Convexity assumption in the theory of competitive markets [競爭市場論的凸性假設]. The Journal of Political Economy. August 1959, 67 (4): 371–391. JSTOR 1825163. doi:10.1086/258197 （英语）. 

    Farrell, M. J. On Convexity, efficiency, and markets: A Reply [論凸性、效率、市場：回覆]. Journal of Political Economy. October 1961a, 69 (5): 484–489. JSTOR 1828538. doi:10.1086/258541 （英语）. 

    Farrell, M. J. The Convexity assumption in the theory of competitive markets: Rejoinder [競爭市場論的凸性假設：再回應]. Journal of Political Economy. October 1961b, 69 (5): 493. JSTOR 1828541. doi:10.1086/258544 （英语）. 

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    Bator, Francis M. On convexity, efficiency, and markets: Rejoinder [論凸性、效率、市場：再回應]. Journal of Political Economy. October 1961b, 69 (5): 489. JSTOR 1828539. doi:10.1086/258542 （英语）. 

41. Koopmans, Tjalling C. Convexity assumptions, allocative efficiency, and competitive equilibrium [凸假設、分配效率、競爭均衡]. The Journal of Political Economy. October 1961, 69 (5): 478–479. JSTOR 1828536. doi:10.1086/258539 （英语）. 

    Koopmans (1961, p. 478)、Farrell (1959, pp. 390–391)、Farrell (1961a, p. 484)、Bator (1961a, pp. 482–483)、Rothenberg (1960, p. 438)、Starr (1969, p. 26)評論了Koopmans (1957, pp. 1–126, 尤其 9–16 [1.3 Summation of opportunity sets]、 23–35 [1.6 Convex sets and the price implications of optimality]、 35–37 [1.7 The role of convexity assumptions in the analysis]三節)：

    Koopmans, Tjalling C. Allocation of resources and the price system [資源分配與價格制度]. Koopmans, Tjalling C (编). Three essays on the state of economic science [三篇論經濟科學現況]. New York: McGraw–Hill Book Company. 1957: 1–126. ISBN 0-07-035337-9 （英语）. 

42. Rothenberg (1960, p. 447): Rothenberg, Jerome. Non-convexity, aggregation, and Pareto optimality [非凸性、加總、帕累托最優]. The Journal of Political Economy. October 1960, 68 (5): 435–468. JSTOR 1830308. doi:10.1086/258363 （英语）. 

    （Rothenberg, Jerome. Comments on non-convexity [評非凸性]. Journal of Political Economy. October 1961, 69 (5): 490–492. JSTOR 1828540. doi:10.1086/258543 （英语）. ）

43. Arrow & Hahn (1980, p. 182)
44. Shapley & Shubik (1966, p. 806): Shapley, L. S.; Shubik, M. Quasi-cores in a monetary economy with nonconvex preferences [非凸偏好貨幣經濟中的準核]. Econometrica. October 1966, 34 (4): 805–827 [2021-08-30]. JSTOR 1910101. Zbl 0154.45303. doi:10.2307/1910101. （原始内容于2017-09-24） （英语）. 
45. Aumann (1966, pp. 1–2): Aumann, Robert J. Existence of competitive equilibrium in markets with a continuum of traders [市場有連續統多個交易人，則存在競爭均衡]. Econometrica. January 1966, 34 (1): 1–17. JSTOR 1909854. MR 0191623. doi:10.2307/1909854 （英语）.  Aumann (1966)用到 Aumann （1964, 1965）的結果：

    Aumann, Robert J. Markets with a continuum of traders [連續統多個交易人的市場]. Econometrica. January–April 1964, 32 (1–2): 39–50. JSTOR 1913732. MR 0172689. doi:10.2307/1913732 （英语）. 

    Aumann, Robert J. Integrals of set-valued functions [集合值函數的積分]. Journal of Mathematical Analysis and Applications. August 1965, 12 (1): 1–12. MR 0185073. doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1   （英语）. 

46. 據Diewert (1982, p. 552)所言，Wold (1943b, p. 243)及Wold & Juréen (1953, p. 146)已於較早前討論過取非凸偏好的凸包。

47. Starr & Stinchcombe (1999, pp. 217–218): Starr, R. M.; Stinchcombe, M. B. Exchange in a network of trading posts. Chichilnisky, Graciela (编). Markets, information and uncertainty: Essays in economic theory in honor of Kenneth J. Arrow [市場、資訊、不確定性：致敬肯尼斯·阿罗的經濟理論論文]. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1999: 217–234. ISBN 978-0-521-08288-4. doi:10.2277/0521553555 （英语）. 
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63. Rockafellar (1997, p. 23)
64. 某集合內的序列的極限，必在該集合的閉包中，即最小而包含原集合的閉集。兩個閉集的閔氏和不必閉，故若以${\displaystyle \mathrm {Cl} }$ 表示閉包，則雖然有包含關係

    ${\displaystyle \mathrm {Cl} (P)+\mathrm {Cl} (Q)\subseteq \mathrm {Cl} (P+Q),}$ 

    但可能為嚴格包含（左右不必相等）。據Rockafellar (1997, pp. 49及75)，即使兩個被加項各已是閉凸集，仍可能是嚴格包含。若要使閔氏和變成閉，則要取其閉包，即要添加所有收斂序列的極限。
65. Lemaréchal (1973, p. 38): Lemaréchal, Claude. Utilisation de la dualité dans les problémes non convexes [在非凸問題使用對偶] (报告). Domaine de Voluceau, Rocquencourt, Le Chesnay, France: IRIA（現INRIA）, Laboratoire de recherche en informatique et automatique: 41. April 1973 （法语）.  |issue=被忽略 (帮助) 勒馬雷沙爾的實驗，日後有下列論文討論：

    Aardal (1995, pp. 2–3): Aardal, Karen. Optima interview Claude Lemaréchal [Optima訪問克勞德·勒馬雷沙爾] (PDF). Optima: Mathematical Programming Society Newsletter. March 1995, 45: 2–4 [2 February 2011]. （原始内容 (PDF)于2021-09-09） （英语）. 

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    Aubin & Ekeland (1976)及Ekeland (1999, pp. 362–364)也考慮非凸最小值問題的閉凸包，即對原問題的蓋圖（英语：epigraph (mathematics)）取閉凸包所得的新問題。Di Guglielmo推廣到研究非凸多目標優化（英语：Multi-objective optimization）問題的擬凸閉包，即對目標函數的下水平集取凸閉包所得的問題：

    Di Guglielmo (1977, pp. 287–288): Di Guglielmo, F. Nonconvex duality in multiobjective optimization [多目標優化的非凸對偶]. Mathematics of Operations Research. 1977, 2 (3): 285–291. JSTOR 3689518. MR 0484418. doi:10.1287/moor.2.3.285 （英语）. 

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    凸集的概念（即該集合包含連接其任意兩點的線段），已經多次成為1964年以前經濟理論的核心。引入積分理論研究經濟競爭後，得以新眼光看待此事：若經濟體的每個參與者，對應商品空間的某個任意集合，而又對一族不重要的參與者取平均，則所得的集合必然為凸。[德布魯附註：「此為A. A. 李亞普諾夫的定理的直接推論，參見Vind (1964)。」] 但⋯⋯諸價格函數⋯⋯可以因平均而產生的凸性解釋。商品空間中，對一族不重要參與者加總可以得到凸性，是經濟理論⋯⋯從積分理論得來的觀察。 [刪節後譯文]

    Debreu, Gérard. The Mathematization of economic theory [經濟理論的數學化]. The American Economic Review. March 1991, 81 (Presidential address delivered at the 103rd meeting of the American Economic Association, 29 December 1990, Washington, DC): 1–7. JSTOR 2006785 （英语）. 

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參考文獻

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外部鏈結

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