最大與最小元

提示：此条目的主题不是極大元、極小元、極大值或極小值。

数学分支序理论中，最大元是某集合中，大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之對偶（英语：duality (order theory)），小於等於該集合的任何元素。例如，實數集${\displaystyle \{-3,1,2.5,\pi \}}$中，最大元是${\displaystyle \pi }$，而最小元是${\displaystyle -3}$，但是區間${\displaystyle (0,1)=\{x:0<x<1\}}$並無最大元或最小元。

60的因數集${\displaystyle P}$，按整除偏序${\displaystyle x|y}$畫成哈斯圖。紅色子集${\displaystyle S=\{1,2,3,4\}}$有兩個極大元3、4，和一個極小元1，同時也是最小元。但是，${\displaystyle S}$沒有最大元。

此處「大小」關係除一般實數的大小關係外，也可以是定義在任意集合上的偏序或預序。

嚴格定義

設${\displaystyle (P,\leq )}$ 為偏序集（或預序集亦可），${\displaystyle S}$ 為其子集。若${\displaystyle S}$ 的元素${\displaystyle g}$ 滿足：

對${\displaystyle S}$ 的任意元素${\displaystyle s}$ ，皆有${\displaystyle s\leq g}$ ，

則${\displaystyle g}$ 稱為${\displaystyle S}$ 的最大元（英語：greatest element）。對偶地，若${\displaystyle S}$ 的元素${\displaystyle l}$ 滿足：

對${\displaystyle S}$ 的任意元素${\displaystyle s}$ ，皆有${\displaystyle l\leq s}$ ，

則${\displaystyle l}$ 稱為${\displaystyle S}$ 的最小元（least element）。

由定義，${\displaystyle S}$ 的最大（小）元必定是${\displaystyle S}$ 的上（下）界。且若${\displaystyle P}$ 為偏序集，則集合${\displaystyle S}$ 至多得一個最大元：若${\displaystyle g_{1}}$ 和${\displaystyle g_{2}}$ 皆為最大，則由定義有${\displaystyle g_{1}\leq g_{2}}$ ，又有${\displaystyle g_{2}\leq g_{1}}$ ，由反對稱性得${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$ 。所以若有最大元，則必定唯一。^[1]若改為預序集則不一定。

整個偏序集${\displaystyle P}$ 的最大最小元又稱為頂（top）和底（bottom）。頂常以符號記作${\displaystyle 1}$ 或${\displaystyle \top }$ ，底則是${\displaystyle 0}$ 或${\displaystyle \bot }$ ，在有补格和布爾代數等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為有界偏序集合。

與極大極小元、上下界之別

集合不一定有最大元，也不一定有上界。即使集合有上界和上確界，也不一定有最大元。舉例，實數系${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中，任何正數皆是負數子集${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 的上界，且${\displaystyle 0}$ 為其上確界，但是沒有最大元：不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與極大元（maximal element）不同：有極大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，則同時亦是唯一的極大元。最小元與極小元（minimal element）亦不同。^[1]

性質

設${\displaystyle (P,\leq )}$ 為偏序集，${\displaystyle S}$ 為其子集。

• 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
• ${\displaystyle S}$ 若有最大元${\displaystyle g}$ ，則${\displaystyle g}$ 必定是極大元。此時，${\displaystyle S}$ 衹有這一個極大元：對任意極大元${\displaystyle M}$ ，由於${\displaystyle g}$ 是最大元，必有${\displaystyle M\leq g}$ ，從而由${\displaystyle M}$ 極大知${\displaystyle M=g}$ 。所以若${\displaystyle S}$ 有多於一個極大元，則不能有最大元。
• 若${\displaystyle P}$ 滿足升链条件，則其子集${\displaystyle S}$ 有最大元当且仅当其恰有一個極大元。
  • 「僅當」：最大元必然是極大元。
  • 「當」：假設${\displaystyle S}$ 有唯一極大元${\displaystyle m}$ 但沒有最大元。因為${\displaystyle m}$ 不是最大，有${\displaystyle s_{1}\in S}$ 與${\displaystyle m}$ 不可比，又${\displaystyle s_{1}}$ 不是極大，所以有某個${\displaystyle s_{2}\in S}$ 滿足${\displaystyle s_{1}<s_{2}}$ 。${\displaystyle s_{2}}$ 與${\displaystyle m}$ 也不可比：若${\displaystyle m<s_{2}}$ ，則與${\displaystyle m}$ 極大矛盾；反之${\displaystyle s_{2}\leq m}$ 又推出${\displaystyle s_{1}<m}$ ，與${\displaystyle s_{1}}$ 、${\displaystyle m}$ 不可比又矛盾。重複以上步驟，可得無窮遞升鏈${\displaystyle s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots }$ （其中每個${\displaystyle s_{i}}$ 皆與${\displaystyle m}$ 不可比，又非極大），與升鏈條件矛盾。

全序集的最大最小元

假如${\displaystyle \,\leq \,}$ 限制到子集${\displaystyle S}$ 上為全序（如首段附圖的${\displaystyle S=\{1,2,4\}}$ ），則在${\displaystyle S}$ 中，最大元與極大元等價：若${\displaystyle m\in S}$ 為極大，則對任意其他${\displaystyle s\in S}$ ，必有${\displaystyle s\leq m}$ （${\displaystyle m<s}$ 將與${\displaystyle m}$ 極大矛盾），故${\displaystyle m}$ 是最大元。

所以，全序集中，最大元與極大元兩個概念重合，有時也稱為最大值（maximum），同理最小元與極小元也稱為最小值（minimum）。但上述用法與實值函數（日语：実数値関数）論的用法略有出入。^[2]研究實值函數時，所謂最大值是函數的值域的最大元，又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。^[3]而限制到某點鄰域時，對應值域的最大元（等同於極大元）則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。^[4]最大最小值又合稱最值，極值亦同。

集合${\displaystyle S}$ 的最大最小值分別記作${\displaystyle \max S,\min S}$ 。在格理論或概率论中，為方便運算，會將兩數${\displaystyle a,b}$ 之最大最小值（即其組成二元集的最大最小元）簡記作併${\displaystyle a\vee b}$ 和交${\displaystyle a\wedge b}$ 。換言之：

${\displaystyle a\vee b=\max\{a,b\},\quad a\wedge b=\min\{a,b\}.}$ ^[5]

例

 

例2之哈斯圖

• 實數集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中，全體整數組成的子集${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 沒有上界，從而沒有最大元。
• 如圖所示，在集合${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ 上，定義自反關係${\displaystyle \,\leq \,}$ 使${\displaystyle a\leq c,}$  ${\displaystyle a\leq d,}$  ${\displaystyle b\leq c,}$  ${\displaystyle b\leq d.}$ 。則${\displaystyle c,d}$ 皆是集合${\displaystyle \{a,b\}}$ 的上界，但因為不可比較，沒有最小上界。又${\displaystyle a,b}$ 不可比，${\displaystyle \{a,b\}}$ 沒有最大元。
• 有理數集${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中，平方小於2的數所組成的子集${\displaystyle \{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\}}$ 有上界（如${\displaystyle 100}$ ），但沒有最大元，也沒有上確界。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中，區間${\displaystyle [0,1)}$ 有上確界${\displaystyle 1}$ 而沒有最大元。但區間${\displaystyle [0,1]}$ 有最大元${\displaystyle 1}$ ，同時也是上確界。
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 配備積偏序（英语：product order）時^{[註 1]}，滿足${\displaystyle 0<x<1}$ （而${\displaystyle y}$ 任意）的二元組${\displaystyle (x,y)}$ 的集合${\displaystyle A}$ 沒有上界，也沒有最大元。
• 但當${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 配備字典序時^{[註 2]}，${\displaystyle A}$ 有上界${\displaystyle (1,0)}$ ，但仍沒有上確界和最大元。

參見

• 本质上确界和本质下确界
• 始对象和终对象
• 極大與極小元
• 上极限和下极限
• 上界和下界
• 上確界和下確界（英语：Infimum and supremum）

註

1. ${\displaystyle (a,b)\leq (x,y)}$ 定義成${\displaystyle a\leq x}$ 且${\displaystyle b\leq y}$ 。
2. ${\displaystyle (a,b)\leq (x,y)}$ 定義成${\displaystyle a<b}$ 或（${\displaystyle a=b}$ 且${\displaystyle x\leq y}$ ）。

參考文獻

1. 松坂 1968，第90-97頁.
2. nLab的extremum: 1. Idea.條目
3. Weisstein, Eric W. (编). Global Maximum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
4. Weisstein, Eric W. (编). Local Maximum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
5. Billingsley, P. Probability and Measure [概率與測度] Anniversary. Wiley. 2012: 572. ISBN 978-1-118-12237-2 （英语）. 

• 西岡, 康夫. 数学チュートリアル やさしく語る 確率統計. オーム社. 2013. ISBN 9784274214073 （日语）. 
• 松坂, 和夫. 集合・位相入門. 岩波書店. 1968. ISBN 4-00-005424-4 （日语）. 
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order 2nd. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1 （英语）.