哈斯圖 （英語 ：Hasse 发音为/ˈhæsə/ , 德語 : /ˈhasə/ ）、在數學 分支序理論 中，是用來表示有限偏序集 的一種數學圖表，它是一種圖形形式的對偏序集的傳遞簡約。具體的說，對於偏序集合(S , ≤)，把S 的每個元素表示為平面上的頂點 ，然後若元素y 覆蓋x （就是說，x < y 並且沒有z 使得 x < z < y ），則繪製從x 到y 向上的線段 或弧線。這些弧線可以相互交叉但不能觸及任何非其端點的頂點。帶有標註的頂點的這種圖唯一確定這個集合的偏序。
哈斯圖得名於Helmut Hasse（1898年–1979年）；依據Birkhoff (1948 )，這麼叫是因為Hasse有效的利用了它們。但是Hasse不是第一個使用它們的人，它們早就出現在如Vogt (1895 )中。儘管哈斯圖被設計為手工繪製偏序集合的技術，最近已經使用圖繪製技術自動來生成它們了。[1]
術語“哈斯圖”還可以稱呼作為抽象有向無環圖 的傳遞簡約，獨立於這個圖的任何繪製形式，但是這裡不採用這種用法。
例子
所有60的除數的集合 A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 }，按整除 性排序，有哈斯圖:
集合{ 1, 2, 3, 4 }的所有15個劃分 ，按精細度（就是更細劃分小於更粗劃分）排序，有哈斯圖:
一个“良好”的哈斯圖 儘管哈斯圖是簡單的處理有限偏序集的直觀工具，繪製出好的哈斯圖是非常困難的。原因是對於給定偏序集有任意多種可能的繪圖方式。簡單的技術就是開始於這個次序的最小元 並逐步增加上更大的元素，這經常產生非常窘迫的結果：很容易丟失了這個次序的對稱性和內部結構。
下面的例子展示這個問題。考慮集合S = {a, b, c, d}的冪集 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)\,} ⊆ {\displaystyle \subseteq }
通過使得在這個冪集中每個集合的y坐標成比例於集合的勢 ，最左圖示展示了這個冪集是等級偏序集。中間圖示有相同的等級結構，但使得某些邊比其他邊長，它把這個冪集的結構強調為兩個三維立方體的聯合：在兩個立方體中下面的那個中的頂點表示不包含S的某個特定元素比如d的集合，而上面立方體的頂點表示包含d的集合。最右圖示展示了這個結構的某種內部對稱性。
註釋
引用 Baker, K. A.; Fishburn, P.; Roberts, F. S., Partial orders of dimension 2, Networks, 1971, 2 (1): 11–28, doi:10.1002/net.3230020103 Bertolazzi, R; Di Battista, G.; Mannino, C.; Tamassia, R., Optimal upward planarity testing of single-source digraphs, Proc. 1st European Symposium on Algorithms (ESA '93), Lecture Notes in Computer Science 726 , Springer-Verlag: 37–48, 1993, doi:10.1007/3-540-57273-2_42 Birkhoff, Garrett, Lattice Theory Revised, American Mathematical Society , 1948 Chan, Hubert, A parameterized algorithm for upward planarity testing, Proc. 12th European Symposium on Algorithms (ESA '04), Lecture Notes in Computer Science 3221 , Springer-Verlag: 157–168, 2004 [永久失效連結 Di Battista, G.; Tamassia, R., Algorithms for plane representation of acyclic digraphs, Theoretical Computer Science, 1988, 61 : 175–178, doi:10.1016/0304-3975(88)90123-5 Freese, Ralph, Automated lattice drawing, Concept Lattices, Lecture Notes in Computer Science 2961 , Springer-Verlag: 589–590, 2004 [1] Portuguese Web Archive的存檔，存档日期2016-03-14.Garg, Ashim; Tamassia, Roberto, Upward planarity testing, Order, 1995a, 12 (2): 109–133, doi:10.1007/BF01108622 Garg, Ashim; Tamassia, Roberto, On the computational complexity of upward and rectilinear planarity testing, Graph Drawing (Proc. GD '94), LectureNotes in Computer Science 894 , Springer-Verlag: 286–297, 1995b, doi:10.1007/3-540-58950-3_384 Jünger, Michael; Leipert, Sebastian, Level planar embedding in linear time, Graph Drawing (Proc. GD '99): 72–81, 1999, doi:10.1007/3-540-46648-7_7 Vogt, Henri Gustav, Leçons sur la résolution algébrique des équations, Nony: 91, 1895
外部連結 How to draw hasse diagrams of binary relations（页面存档备份，存于互联网档案馆 ） "Hasse Diagram" on MathWorld（页面存档备份，存于互联网档案馆 ）
哈斯圖, 英語, hasse, 发音为, ˈhæsə, 德語, ˈhasə, 在數學分支序理論中, 是用來表示有限偏序集的一種數學圖表, 它是一種圖形形式的對偏序集的傳遞簡約, 具體的說, 對於偏序集合, 把s的每個元素表示為平面上的頂點, 然後若元素y覆蓋x, 就是說, y並且沒有z使得, 則繪製從x到y向上的線段或弧線, 這些弧線可以相互交叉但不能觸及任何非其端點的頂點, 帶有標註的頂點的這種圖唯一確定這個集合的偏序, 得名於helmut, hasse, 1898年, 1979年, 依據birkhoff, 19. 哈斯圖 英語 Hasse 发音为 ˈhaese 德語 ˈhase 在數學分支序理論中 是用來表示有限偏序集的一種數學圖表 它是一種圖形形式的對偏序集的傳遞簡約 具體的說 對於偏序集合 S 把S的每個元素表示為平面上的頂點 然後若元素y覆蓋x 就是說 x lt y並且沒有z使得 x lt z lt y 則繪製從x到y向上的線段或弧線 這些弧線可以相互交叉但不能觸及任何非其端點的頂點 帶有標註的頂點的這種圖唯一確定這個集合的偏序 哈斯圖得名於Helmut Hasse 1898年 1979年 依據Birkhoff 1948 這麼叫是因為Hasse有效的利用了它們 但是Hasse不是第一個使用它們的人 它們早就出現在如Vogt 1895 中 儘管哈斯圖被設計為手工繪製偏序集合的技術 最近已經使用圖繪製技術自動來生成它們了 1 術語 哈斯圖 還可以稱呼作為抽象有向無環圖的傳遞簡約 獨立於這個圖的任何繪製形式 但是這裡不採用這種用法 目录 1 例子 2 一个 良好 的哈斯圖 3 註釋 4 引用 5 外部連結例子 编辑 x y z 的冪集按包含偏序排序 有哈斯圖 所有60的除數的集合A 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 按整除性排序 有哈斯圖 集合 1 2 3 4 的所有15個劃分 按精細度 就是更細劃分小於更粗劃分 排序 有哈斯圖 一个 良好 的哈斯圖 编辑儘管哈斯圖是簡單的處理有限偏序集的直觀工具 繪製出好的哈斯圖是非常困難的 原因是對於給定偏序集有任意多種可能的繪圖方式 簡單的技術就是開始於這個次序的最小元並逐步增加上更大的元素 這經常產生非常窘迫的結果 很容易丟失了這個次序的對稱性和內部結構 下面的例子展示這個問題 考慮集合S a b c d 的冪集P S displaystyle mathcal P S 就是說S的所有自己的集合 按照子集包含 displaystyle subseteq 來排序 下面是這個偏序的三個不同哈斯圖 通過使得在這個冪集中每個集合的y坐標成比例於集合的勢 最左圖示展示了這個冪集是等級偏序集 中間圖示有相同的等級結構 但使得某些邊比其他邊長 它把這個冪集的結構強調為兩個三維立方體的聯合 在兩個立方體中下面的那個中的頂點表示不包含S的某個特定元素比如d的集合 而上面立方體的頂點表示包含d的集合 最右圖示展示了這個結構的某種內部對稱性 註釋 编辑 E g see Di Battista amp Tamassia 1988 and Freese 2004 引用 编辑Baker K A Fishburn P Roberts F S Partial orders of dimension 2 Networks 1971 2 1 11 28 doi 10 1002 net 3230020103 Bertolazzi R Di Battista G Mannino C Tamassia R Optimal upward planarity testing of single source digraphs Proc 1st European Symposium on Algorithms ESA 93 Lecture Notes in Computer Science 726 Springer Verlag 37 48 1993 doi 10 1007 3 540 57273 2 42 Birkhoff Garrett Lattice Theory Revised American Mathematical Society 1948 Chan Hubert A parameterized algorithm for upward planarity testing Proc 12th European Symposium on Algorithms ESA 04 Lecture Notes in Computer Science 3221 Springer Verlag 157 168 2004 永久失效連結 Di Battista G Tamassia R Algorithms for plane representation of acyclic digraphs Theoretical Computer Science 1988 61 175 178 doi 10 1016 0304 3975 88 90123 5 Freese Ralph Automated lattice drawing Concept Lattices Lecture Notes in Computer Science 2961 Springer Verlag 589 590 2004 An extended preprint is available online 1 Portuguese Web Archive的存檔 存档日期2016 03 14 Garg Ashim Tamassia Roberto Upward planarity testing Order 1995a 12 2 109 133 doi 10 1007 BF01108622 Garg Ashim Tamassia Roberto On the computational complexity of upward and rectilinear planarity testing Graph Drawing Proc GD 94 LectureNotes in Computer Science 894 Springer Verlag 286 297 1995b doi 10 1007 3 540 58950 3 384 Junger Michael Leipert Sebastian Level planar embedding in linear time Graph Drawing Proc GD 99 72 81 1999 doi 10 1007 3 540 46648 7 7 Vogt Henri Gustav Lecons sur la resolution algebrique des equations Nony 91 1895 外部連結 编辑维基共享资源中相关的多媒体资源 哈斯圖Hasse diagrams of divisors How to draw hasse diagrams of binary relations 页面存档备份 存于互联网档案馆 Hasse Diagram on MathWorld 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 哈斯圖 amp oldid 69159359, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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