二次函数, 在数学中, 英語, quadratic, function, 表示形为, displaystyle, displaystyle, 且a, displaystyle, displaystyle, displaystyle, 是常数, 的多项式函数, 其中, displaystyle, 为自变量, displaystyle, displaystyle, displaystyle, 分别是函数解析式的二次项系数, 一次项系数和常数项, 的图像是一条主轴平行于y, displaystyle, 轴的抛物线, 解析. 在数学中 二次函数 英語 quadratic function 表示形为 f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c a 0 displaystyle a neq 0 且a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c 是常数 的多项式函数 其中 x displaystyle x 为自变量 a a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c 分别是函数解析式的二次项系数 一次项系数和常数项 二次函数的图像是一条主轴平行于y displaystyle y 轴的抛物线 1 解析式 f x x 2 x 2 displaystyle f x x 2 x 2 二次函数表达式a x 2 b x c displaystyle ax 2 bx c 的定义是一个二次多项式 因为x displaystyle x 的最高冪次是2 如果令二次函数的值等于零 则可得一个一元二次方程式 二次方程式 该方程的解称为方程的根或函数的零点 目录 1 历史 2 根 3 二次函数的形式 4 图像 4 1 x 截距 4 2 顶点 4 3 最大值和最小值 5 二次函数的平方根 6 二元二次函数 6 1 最小值 最大值 7 註釋 8 参考资料 8 1 参考书目 9 參見 10 外部連結历史 编辑大约在公元前480年 古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根 但是并没有提出通用的求解方法 公元前300年左右 欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程 7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人 它同时容许有正负数的根 b 11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解 亚伯拉罕 巴希亚 亦以拉丁文名字萨瓦索达著称 在他的著作Liber embadorum 首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲 c 根 编辑更多信息 二次方程和韦达定理 二次方程 a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 的两个根为 x b b 2 4 a c 2 a displaystyle x frac b pm sqrt b 2 4ac 2a 解方程后 我们会得到两个根 x 1 displaystyle x 1 和x 2 displaystyle x 2 则点 x 1 0 displaystyle x 1 0 和 x 2 0 displaystyle x 2 0 就是二次函数与x displaystyle x 轴的交点 根的类型 如下 设D b 2 4 a c displaystyle Delta b 2 4ac 為一元二次方程式的判別式 又記作D 當D gt 0 displaystyle Delta gt 0 则方程有两个不相等的根 也即与x displaystyle x 轴有两个不重疊 的交点 因为D displaystyle sqrt Delta 是正数 當D 0 displaystyle Delta 0 则方程有两个相等的根 也即与x displaystyle x 轴有一个切点 因为D displaystyle sqrt Delta 是零 當D lt 0 displaystyle Delta lt 0 则方程没有實數根 也即与 x displaystyle x 轴没有交点 因为D displaystyle sqrt Delta 是共軛複數 设r 1 b b 2 4 a c 2 a displaystyle r 1 frac b sqrt b 2 4ac 2a 和r 2 b b 2 4 a c 2 a displaystyle r 2 frac b sqrt b 2 4ac 2a 我们可以把a x 2 b x c displaystyle ax 2 bx c 因式分解为a x r 1 x r 2 displaystyle a x r 1 x r 2 二次函数的形式 编辑二次函数可以表示成以下三种形式 f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c 称为一般形式或多项式形式 f x a x r 1 x r 2 displaystyle f x a x r 1 x r 2 称为因子形式或交点式 其中r 1 displaystyle r 1 和r 2 displaystyle r 2 是二次方程的两个根 r 1 0 displaystyle r 1 0 r 2 0 displaystyle r 2 0 是抛物线与x displaystyle x 轴的两个交点 f x a x h 2 k displaystyle f x a x h 2 k 称为标准形式或顶点形式 h k displaystyle h k 即為此二次函數的頂點 把一般形式转换成因子形式时 我们需要用求根公式来算出两个根r 1 displaystyle r 1 和r 2 displaystyle r 2 或是利用十字交乘法 適用於有理數 把一般形式转换成标准形式时 我们需要用配方法 把因子形式转换成一般形式时 我们需要把两个因式相乘并展开 把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法 h displaystyle h 代表了二次函數的對稱軸 因此兩根的平均數即為h displaystyle h k displaystyle k 展開後比較後可得 k a r 1 r 2 2 2 displaystyle k a left frac r 1 r 2 2 right 2 不通過r 1 displaystyle r 1 和r 2 displaystyle r 2 求k displaystyle k 及h displaystyle h 公式 h b 2 a displaystyle h frac b 2a k b 2 4 a c 4 a displaystyle k frac b 2 4ac 4a 也作k 4 a c b 2 4 a displaystyle k frac 4ac b 2 4a 而在三種形式中皆出現的a displaystyle a 為此二次函數的領導係數 決定二次函數圖像開口的大小與方向 图像 编辑 f x a x 2 displaystyle f x ax 2 a 0 1 0 3 1 3 displaystyle a 0 1 0 3 1 3 f x x 2 b x displaystyle f x x 2 bx b 1 2 3 4 displaystyle b 1 2 3 4 f x x 2 b x displaystyle f x x 2 bx b 1 2 3 4 displaystyle b 1 2 3 4 系数a displaystyle a 控制了二次函数从顶点的增长 或下降 速度 即二次函数开口方向和大小 a displaystyle a 越大 开口越小 函数就增长得越快 系数b displaystyle b 和a displaystyle a 控制了抛物线的对称轴 以及顶点的x displaystyle x 坐标 系数b displaystyle b 控制了抛物线穿过y displaystyle y 轴时的倾斜度 导数 系数c displaystyle c 控制了抛物线最低点或最高点的高度 它是抛物线与y displaystyle y 轴的交点 函数 图像 函数变化 对称轴 开口方向 最大 小 值y a x 2 displaystyle y ax 2 a gt 0 displaystyle a gt 0 当x gt 0 displaystyle x gt 0 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的增大而增大 当x lt 0 displaystyle x lt 0 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的减小而增大 y displaystyle y 轴或x 0 displaystyle x 0 向上 0 displaystyle 0 y a x 2 displaystyle y ax 2 a lt 0 displaystyle a lt 0 当x gt 0 displaystyle x gt 0 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的增大而减小 当x lt 0 displaystyle x lt 0 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的减小而减小 y displaystyle y 轴或x 0 displaystyle x 0 向下 0 displaystyle 0 y a x 2 c displaystyle y ax 2 c a gt 0 displaystyle a gt 0 当x gt 0 displaystyle x gt 0 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的增大而增大 当x lt 0 displaystyle x lt 0 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的减小而增大 y displaystyle y 轴或x 0 displaystyle x 0 向上 c displaystyle c y a x 2 c displaystyle y ax 2 c a lt 0 displaystyle a lt 0 当x gt 0 displaystyle x gt 0 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的增大而减小 当x lt 0 displaystyle x lt 0 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的减小而减小 y displaystyle y 轴或 x 0 displaystyle x 0 向下 c displaystyle c y a x 2 b x c displaystyle y ax 2 bx c a gt 0 displaystyle a gt 0 当x gt b 2 a displaystyle x gt frac b 2a 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的增大而增大 当x lt b 2 a displaystyle x lt frac b 2a 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的减小而增大 x b 2 a displaystyle x frac b 2a 向上 b 2 4 a c 4 a displaystyle frac b 2 4ac 4a y a x 2 b x c displaystyle y ax 2 bx c a lt 0 displaystyle a lt 0 当x gt b 2 a displaystyle x gt frac b 2a 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的增大而减小 当x lt b 2 a displaystyle x lt frac b 2a 时 y displaystyle y 随x displaystyle x 的减小而减小 x b 2 a displaystyle x frac b 2a 向下 b 2 4 a c 4 a displaystyle frac b 2 4ac 4a x 截距 编辑 当函数与x displaystyle x 轴有两个交点时 设这两个交点分别为 A x 1 0 B x 2 0 displaystyle A x 1 0 B x 2 0 由根与系数的关系得出 d x 1 x 2 b a displaystyle x 1 x 2 frac b a 和x 1 x 2 c a displaystyle x 1 x 2 frac c a A B x 2 x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 b a 2 4 c a b 2 a 2 4 a c a 2 b 2 4 a c a 2 b 2 4 a c a 或 D a displaystyle begin aligned therefore AB amp x 2 x 1 amp left sqrt x 2 x 1 2 right amp left sqrt x 1 x 2 2 4x 1 x 2 right amp left sqrt left frac b a right 2 frac 4c a right amp left sqrt frac b 2 a 2 frac 4ac a 2 right amp left sqrt frac b 2 4ac a 2 right amp frac sqrt b 2 4ac a text 或 frac sqrt Delta a end aligned 顶点 编辑 抛物线的顶点是它转弯的地方 也称为驻点 如果二次函数是标准形式 则顶点为 h k displaystyle h k 用配方法 可以把一般形式f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c 化为 f x a x b 2 a 2 4 a c b 2 4 a displaystyle f x a left x frac b 2a right 2 frac 4ac b 2 4a 2 3 因此在一般形式中 抛物线的顶点是 b 2 a D 4 a displaystyle left frac b 2a frac Delta 4a right 如果二次函数是因子形式f x a x r 1 x r 2 displaystyle f x a x r 1 x r 2 则两个根的平均数r 1 r 2 2 displaystyle frac r 1 r 2 2 就是顶点的x displaystyle x 坐标 因此顶点位于 r 1 r 2 2 f r 1 r 2 2 displaystyle left frac r 1 r 2 2 f frac r 1 r 2 2 right a lt 0 displaystyle a lt 0 时 顶点也是最大值 a gt 0 displaystyle a gt 0 时 则是最小值 经过顶点的竖直线x h b 2 a displaystyle x h frac b 2a 又称为抛物线的对称轴 最大值和最小值 编辑 函数的最大值和最小值总是在驻点 又称临界点 稳定点 取得 以下的方法是用导数法来推导相同的事实 这种方法的好处是适用于更一般的函数 设有函数f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c 寻找它的極值时 我们必须先求出它的导数 f x a x 2 b x c f x 2 a x b displaystyle f x ax 2 bx c Leftrightarrow f x 2ax b 然后 求出f x displaystyle f x 的根 2 a x b 0 2 a x b x b 2 a displaystyle 2ax b 0 Rightarrow 2ax b Rightarrow x frac b 2a 因此 b 2 a displaystyle frac b 2a 是f x displaystyle f x 的x displaystyle x 值 现在 为了求出y displaystyle y 我们把x b 2 a displaystyle x frac b 2a 代入 f x displaystyle f x y a b 2 a 2 b b 2 a c y a b 2 4 a 2 b 2 2 a c y b 2 4 a b 2 2 a c y b 2 2 b 2 4 a c 4 a y b 2 4 a c 4 a y b 2 4 a c 4 a y D 4 a displaystyle y a left frac b 2a right 2 b left frac b 2a right c Rightarrow y frac ab 2 4a 2 frac b 2 2a c Rightarrow y frac b 2 4a frac b 2 2a c Rightarrow y frac b 2 2b 2 4ac 4a Rightarrow y frac b 2 4ac 4a Rightarrow y frac b 2 4ac 4a Rightarrow y frac Delta 4a 所以 最大值或最小值的坐标为 b 2 a D 4 a displaystyle left frac b 2a frac Delta 4a right 二次函数的平方根 编辑二次函数的平方根的图像要么是椭圆 要么是双曲线 如果a gt 0 displaystyle a gt 0 则方程y a x 2 b x c displaystyle y pm sqrt ax 2 bx c 描述了一条双曲线 该双曲线的轴由对应的抛物线y p a x 2 b x c displaystyle y p ax 2 bx c 的最小值决定 如果最小值是负数 则双曲线的轴是水平的 如果是正数 则双曲线的轴是竖直的 如果a lt 0 displaystyle a lt 0 则方程y a x 2 b x c displaystyle y pm sqrt ax 2 bx c 的图像要么是一个椭圆 要么什么也没有 如果对应的抛物线y p a x 2 b x c displaystyle y p ax 2 bx c 的最大值是正数 则它的平方根描述了一个椭圆 如果是负数 则描述了一个空集 二元二次函数 编辑二元二次函数是以下形式的二次多项式 f x y A x 2 B y 2 C x D y E x y F displaystyle f x y Ax 2 By 2 Cx Dy Exy F 这个函数描述了一个二次曲面 把f x y displaystyle f x y 设为零 则描述了曲面与平面z 0 displaystyle z 0 的交线 它是一条圆锥曲线 最小值 最大值 编辑 如果4 A B E 2 lt 0 displaystyle 4AB E 2 lt 0 则函数没有最大值或最小值 其图像是双曲抛物面 如果 4 A B E 2 gt 0 displaystyle 4AB E 2 gt 0 则当A gt 0 displaystyle A gt 0 时函数具有最小值 当A lt 0 displaystyle A lt 0 具有最大值 其图像是椭圆抛物面 二元二次函数的最大值或最小值在点 x m y m displaystyle x m y m 取得 其中 x m 2 B C D E 4 A B E 2 displaystyle x m frac 2BC DE 4AB E 2 y m 2 A D C E 4 A B E 2 displaystyle y m frac 2AD CE 4AB E 2 如果4 A B E 2 0 displaystyle 4AB E 2 0 且D E 2 C B 2 A D C E 0 displaystyle DE 2CB 2AD CE neq 0 则函数没有最大值或最小值 其图像是抛物柱面 如果4 A B E 2 0 displaystyle 4AB E 2 0 且D E 2 C B 2 A D C E 0 displaystyle DE 2CB 2AD CE 0 则函数在一条直线上取得最大值 最小值 当A gt 0 displaystyle A gt 0 时取得最大值 A lt 0 displaystyle A lt 0 时取得最小值 其图像也是抛物柱面 註釋 编辑 注 自变量x displaystyle x 的取值范围为任何实数 参见婆羅摩笈多 代數 参见花拉子米 代數 参见韦达定理参考资料 编辑 数学 北京 北京师范大学出版社 2014 ISBN 9787303136933 使用 accessdate 需要含有 url 帮助 贾士代 初中代数41讲 北京 首都师范大学出版社 49 55 ISBN 7 81039 028 7 WebGraphing com 用配方法解一元二次方程 2015 08 06 原始内容存档于2015 07 29 页面存档备份 存于互联网档案馆 参考书目 编辑 代数1 Glencoe ISBN 0 07 825083 8 代数2 Saxon ISBN 0 939798 62 X參見 编辑抛物线外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 Quadratic MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 二次函数 amp oldid 73640953, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,