二次方程

二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程^[1]。

一元二次方程

方程的一般形式

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为：${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ ，其中 ${\displaystyle a\neq 0}$ 。${\displaystyle ax^{2}\,}$ 为方程的二次项，${\displaystyle a\,}$ 为方程的二次项系数；${\displaystyle bx\,}$ 为一次项，${\displaystyle b\,}$ 为一次项系数；${\displaystyle c\,}$ 为常数项。若${\displaystyle a=0\,}$ ，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。

求根公式

 

■${\displaystyle y={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {4}{3}}\,}$ 
■${\displaystyle y=-{\frac {4}{3}}x^{2}+{\frac {4}{3}}x+{\frac {1}{3}}\,}$ 
■${\displaystyle y=x^{2}+{\frac {1}{2}}\,}$ 

一元二次方程根的判别式為${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$ 。

若${\displaystyle \Delta >0\,}$ ，則該方程有两個不相等的實数根： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$ ；

若${\displaystyle \Delta =0\,}$ ，則該方程有两個相等的實数根： ${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\,}$ ；

若${\displaystyle \Delta <0\,}$ ，則該方程有一對共軛複數根： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\,}$ 。

由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程，當${\displaystyle \Delta \geq 0\,}$ 時，方程纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當${\displaystyle \Delta <0\,}$ 時，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。

根与系数的关系

更多信息：韦达定理

设${\displaystyle x_{1}\,}$ ，${\displaystyle x_{2}\,}$ 是一元二次方程 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$  （${\displaystyle a\neq 0\,}$  ）的两根，则

两根之和：${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$ 

两根之积：${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$ 

• 一元二次方程
• 二元二次方程
• 高元二次方程

求根公式的由来

中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做「根」，其后译成拉丁文radix。

我们通常把 ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$  称之为 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$  的求根公式：

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}$$

 

或不將${\displaystyle x^{2}}$ 係數化為1：

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}$$

 

对应函数的极值

设 ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$ （${\displaystyle a\neq 0\,}$ ），
对${\displaystyle x\,}$ 求导，得

${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=2ax+b}$ 

令 ${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=0}$ ，得

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}}$ 

即为 ${\displaystyle y\,}$ 的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。 将 ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$  代入 ${\displaystyle y\,}$ ，可得

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}}$ 

即为 ${\displaystyle y\,}$  的极值。

根据函数取极值的充分条件，即：
${\displaystyle f''(x)<0\,}$ ，${\displaystyle x\,}$ 是${\displaystyle f(x)\,}$  的极大值点，
${\displaystyle f''(x)>0\,}$ ，${\displaystyle x\,}$ 是${\displaystyle f(x)\,}$  的极小值点；
由${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d}} x^{2}}}=2a}$ ，可知：
当${\displaystyle a<0\,}$ 时（抛物线开口向下），${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ 为${\displaystyle y\,}$ 的极大值点；
当${\displaystyle a>0\,}$ 时（抛物线开口向上），${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ 为${\displaystyle y\,}$ 的极小值点。

參見

• 一次方程
• 抛物綫
• 配方法
• 圆锥曲线

参考

1. 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. （原始内容于2019-07-24）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）