正切, 性質奇偶性奇定義域, displaystyle, left, mathbb, tfrac, mathbb, right, displaystyle, left, mathbb, circ, circ, mathbb, right, 到達域, 周期π, displaystyle, 特定值當x, 00當x, a當x, a最大值, 最小值, 其他性質渐近线x, displaystyle, left, right, tfrac, 根kπ, displaystyle, 不動點當x軸為弧度時, 493409457909. 正切性質奇偶性奇定義域 x R x kp p2 k Z displaystyle left x in mathbb R x neq k pi tfrac pi 2 k in mathbb Z right x R x 180 k 90 k Z displaystyle left x in mathbb R x neq 180 circ k 90 circ k in mathbb Z right 到達域 周期p displaystyle pi 180 特定值當x 00當x N A當x N A最大值 最小值 其他性質渐近线x 2k 1 p2 displaystyle x left 2k 1 right tfrac pi 2 x 180 k 90 根kp displaystyle k pi 180 k 不動點當x軸為弧度時 0 4 4934094579091 257 453397562356 7 7252518369378 442 6243259322 10 9041216594289 624 7601503824636 當x軸為角度時 0 89 35883916555255 269 78762733604602 449 8726402096397 k是一個整數 正切 Tangent tan displaystyle tan 东欧国家将其写作tg 是三角函数的一种 它的值域是整个实数集 定义域落在 x x kp p2 k Z displaystyle left x x neq k pi tfrac pi 2 k in mathbb Z right x R x 180 k 90 k Z displaystyle left x in mathbb R x neq 180 circ k 90 circ k in mathbb Z right 它是周期函数 其最小正周期为p displaystyle pi 180 正切函数是奇函数 目录 1 符号说明 2 定义 2 1 直角三角形中 2 2 直角坐标系中 2 3 单位圆定义 2 4 級數定義 2 5 微分方程定义 2 6 指数定义 3 恒等式 3 1 用其它三角函数来表示正切 3 2 角的和差 3 2 1 正切的有限多项和 3 3 半角公式 3 4 二倍角 3 5 三倍角 4 正切定理 5 用途 5 1 物理學 6 參見符号说明 编辑正切的符号为tan displaystyle tan nbsp 源于英文tangent 该符号最早由数学家湯瑪斯 芬克 英语 Thomas Fincke Thomas Fincke 所采用 定义 编辑直角三角形中 编辑 nbsp 直角三角形 C為直角 A 的角度為 8 displaystyle theta nbsp 對於 A 而言 a為對邊 b為鄰邊 c為斜邊在直角三角形中 一个锐角的正切定义为它的對邊与鄰邊的比值 也就是 tan 8 ab sin 8cos 8 displaystyle tan theta frac text a text b frac sin theta cos theta nbsp 可以發現其定義和餘切函數互為倒數 直角坐标系中 编辑 设a displaystyle alpha nbsp 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角 P x y displaystyle P left x y right nbsp 是角的终边上一点 r x2 y2 gt 0 displaystyle r sqrt x 2 y 2 gt 0 nbsp 是P到原点O的距离 则a的正切定义为 tan a yx displaystyle tan alpha frac y x nbsp 单位圆定义 编辑 nbsp 单位圆图像中给出了用弧度度量的某个公共角 逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角 设一个过原点的线 同x轴正半部分得到一个角8 并与单位圆相交 並令这个交点為y 另原點為O 做一直線 y點 垂直於Oy displaystyle overline Oy nbsp 並與单位圆相切 令直線與x軸的交點 則此點與y點之距離為正切比值 nbsp 单位圆上的正切 单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式 对于大于2p displaystyle 2 pi nbsp 360 或小于 2p displaystyle 2 pi nbsp 360 的角度 简单的继续绕单位圆旋转 在这种方式下 有些三角函數变成了周期为2p displaystyle 2 pi nbsp 360 的周期函数 但由於正切是切線 再绕单位圆旋转時 會出現周期是p displaystyle pi nbsp 180 所以正切是周期为p 180 的周期函数 tan 8 tan 8 pk tan 8 180 k displaystyle tan theta tan left theta pi k right tan left theta 180 circ k right nbsp 对于任何角度8 displaystyle theta nbsp 和任何整数k displaystyle k nbsp 級數定義 编辑 正切函數也可以使用泰勒展開式定義 tan x x x33 2x515 17x7315 62x92835 n 1 B2n4n 4n 1 2n x2n 1 displaystyle tan x x frac x 3 3 frac 2x 5 15 frac 17x 7 315 frac 62x 9 2835 sum n 1 infty frac B 2n 4 n 4 n 1 2n x 2n 1 nbsp 其中B2n displaystyle B 2n nbsp 為伯努利數 另外 我们也有 tan x 8x k 1 1 1 2k 2p2 4x2 displaystyle tan x 8x sum k 1 infty frac 1 1 2k 2 pi 2 4x 2 nbsp 微分方程定义 编辑 tan displaystyle tan nbsp 的微分是sec displaystyle sec nbsp 的平方 ddxtan x sec2 x displaystyle frac d dx tan x sec 2 x nbsp 另外 tan xdx ln cos x displaystyle int tan x dx ln cos x nbsp 所以可以用 tan x ln cos x displaystyle tan x ln cos x nbsp 來定義 指数定义 编辑 tan 8 ei8 e i8i ei8 e i8 displaystyle tan theta frac e mathrm i theta e mathrm i theta mathrm i e mathrm i theta e mathrm i theta nbsp 恒等式 编辑用其它三角函数来表示正切 编辑 函數 sin cos tan cot sec csctan 8 displaystyle tan theta nbsp sin 81 sin2 8 displaystyle frac sin theta sqrt 1 sin 2 theta nbsp 1 cos2 8cos 8 displaystyle frac sqrt 1 cos 2 theta cos theta nbsp tan 8 displaystyle tan theta nbsp 1cot 8 displaystyle frac 1 cot theta nbsp sec2 8 1 displaystyle sqrt sec 2 theta 1 nbsp 1csc2 8 1 displaystyle frac 1 sqrt csc 2 theta 1 nbsp 角的和差 编辑 tan 8 ps tan 8 tan ps1 tan 8tan ps displaystyle tan theta pm psi frac tan theta pm tan psi 1 mp tan theta tan psi nbsp 正切的有限多项和 编辑 设xi tan 8i displaystyle x i tan theta i nbsp 对于i 1 n displaystyle i 1 ldots n nbsp 设ek displaystyle e k nbsp 是变量xi displaystyle x i nbsp i 1 n displaystyle i 1 ldots n nbsp k 0 n displaystyle k 0 ldots n nbsp 的k displaystyle k nbsp 次基本对称多项式 则 tan 81 8n e1 e3 e5 e0 e2 e4 displaystyle tan theta 1 cdots theta n frac e 1 e 3 e 5 cdots e 0 e 2 e 4 cdots nbsp 项的数目依赖于n displaystyle n nbsp 例如 tan 81 82 83 e1 e3e0 e2 x1 x2 x3 x1x2x3 1 x1x2 x1x3 x2x3 tan 81 82 83 84 e1 e3e0 e2 e4 x1 x2 x3 x4 x1x2x3 x1x2x4 x1x3x4 x2x3x4 1 x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4 x1x2x3x4 displaystyle begin aligned tan theta 1 theta 2 theta 3 amp frac e 1 e 3 e 0 e 2 frac x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 tan theta 1 theta 2 theta 3 theta 4 amp frac e 1 e 3 e 0 e 2 e 4 amp frac x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 1 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 end aligned nbsp 并以此类推 一般情况可通过数学归纳法证明 半角公式 编辑 tan 82 csc 8 cot 8 1 cos 81 cos 8 sin 81 cos 8 1 cos 8sin 8 cos 8 sin 8 1cos 8 sin 8 1 displaystyle begin aligned tan frac theta 2 amp csc theta cot theta amp pm sqrt 1 cos theta over 1 cos theta amp frac sin theta 1 cos theta amp frac 1 cos theta sin theta amp frac cos theta sin theta 1 cos theta sin theta 1 end aligned nbsp 二倍角 编辑 tan 28 2tan 81 tan2 8 11 tan 8 11 tan 8 displaystyle begin aligned tan 2 theta amp frac 2 tan theta 1 tan 2 theta amp frac 1 1 tan theta frac 1 1 tan theta end aligned nbsp 三倍角 编辑 tan 38 3tan 8 tan3 81 3tan2 8 displaystyle tan 3 theta frac 3 tan theta tan 3 theta 1 3 tan 2 theta nbsp 正切定理 编辑主条目 正切定理 nbsp 一个三角形 它的三个内角及其对边 在平面三角形中 正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商 即 a ba b tana b2tana b2 displaystyle frac a b a b frac mathrm tan frac alpha beta 2 mathrm tan frac alpha beta 2 nbsp b cb c tanb g2tanb g2 displaystyle frac b c b c frac mathrm tan frac beta gamma 2 mathrm tan frac beta gamma 2 nbsp c ac a tang a2tang a2 displaystyle frac c a c a frac mathrm tan frac gamma alpha 2 mathrm tan frac gamma alpha 2 nbsp 用途 编辑物理學 编辑 一物體在斜面上剛開始滑動時 其靜摩擦係數為斜面傾角的正切值 參見 编辑维基共享资源上的相关多媒体资源 正切正弦 餘弦 餘切 餘割 正割 三角学 三角函数 取自 https zh wikipedia org w index php title 正切 amp oldid 79200054, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,