伯努利数, 6611, 273013, 3617, 51017, 43867, 79819, 174611, 數學上, 白努利數, 是一個與數論有密切關聯的有理數序列, 前幾項被發現的白努利數分別為, 上標, 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義, 而這兩種定義只有在n, 時有所不同, 表示第一白努利數, a027641, a027642, 由美國國家標準技術研究所, nist, 制定, 在這標準下, 表示第二白努利數, a164555, a027642, 又被稱為是, 原始的白努利數, 在這標準下, 由於對於所. n B n0 11 1 22 1 63 04 1 305 06 1 427 08 1 309 010 5 6611 012 691 273013 014 7 615 016 3617 51017 018 43867 79819 020 174611 330 數學上 白努利數 Bn 是一個與數論有密切關聯的有理數序列 前幾項被發現的白努利數分別為 B0 1 B 1 1 2 B2 1 6 B3 0 B4 1 30 B5 0 B6 1 42 B7 0 B8 1 30 上標 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義 而這兩種定義只有在n 1 時有所不同 B n 表示第一白努利數 A027641 A027642 由美國國家標準技術研究所 NIST 制定 在這標準下 B 1 1 2 B n 表示第二白努利數 A164555 A027642 又被稱為是 原始的白努利數 1 在這標準下 B 1 1 2 由於對於所有大於1 的奇數 n 白努利數 Bn 0 且許多公式中僅使用偶數項的白努利數 一些作者可能會用 Bn 來代表 B2n 不過在本文中不會使用如此的簡寫 目录 1 等冪求和 2 一些等式 3 伯努利數的算術性質 3 1 p進連續性 4 伯努利數的幾何性質 5 參見 6 外部連結等冪求和 编辑主条目 等幂求和 伯努利數Bn是等冪求和的解析解中最為明顯的特徵 定義等冪和如下 其中m n 0 S m n k 1 n k m 1 m 2 m n m displaystyle S m n sum k 1 n k m 1 m 2 m cdots n m 這數列和的公式必定是變數為n 次數為m 1 次的多項式 稱為伯努利多項式 伯努利多項式的係數與伯努利數有密切關係如下 S m n 1 m 1 k 0 m m 1 k B k n m 1 k displaystyle S m n frac 1 m 1 sum k 0 m binom m 1 k B k n m 1 k 其中 m 1k 為二項式係數 舉例說 把m取為1 我們有1 2 n 1 2 B 0 n 2 2 B 1 n 1 1 2 n 2 n displaystyle 1 2 n frac 1 2 left B 0 n 2 2B 1 n 1 right frac 1 2 left n 2 n right 伯努利數最先由雅各布 伯努利研究 棣莫弗以他來命名 伯努利數可以由下列遞歸公式計算 j 0 m m 1 j B j 0 displaystyle sum j 0 m m 1 choose j B j 0 初值條件為B0 1 伯努利數也可以用母函數技巧定義 它們的指數母函數是x ex 1 使得對所有絕對值小於2p的x 冪級數的收斂半徑 有 x e x 1 n 0 B n x n n displaystyle frac x e x 1 sum n 0 infty B n frac x n n 有時會寫成小寫bn 以便與貝爾數分別開 最初21項伯努利數記於OEIS中的數列A027641和A027642 可以證明對所有不是1的奇數n有Bn 0 數列中乍看起來突兀的B12 691 2730 喻示伯努利數不能以初等方式描述 其實它們是黎曼z函數於負整數的值 有深邃的數論性質聯繫 所以不能預期有簡單的計算公式 伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式 歐拉 麥克勞林公式 及黎曼z函數的一些值的表達式 在1842年的愛達 勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G 第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的算法 一些等式 编辑歐拉以黎曼z函數表達伯努利數為 B 2 k 2 1 k 1 z 2 k 2 k 2 p 2 k displaystyle B 2k 2 1 k 1 frac zeta 2k 2k 2 pi 2k 在 1 0 區間上的連續均勻概率分佈的n階累積量是Bn n 伯努利數的算術性質 编辑伯努利數可以用黎曼z函數表達為Bn nz 1 n 也就說明它們本質上是這函數在負整數的值 因此 可推測它們有深刻的算術性質 事實也的確如此 這是庫默爾 Kummer 研究費馬大定理時發現的 伯努利數的可整除性是與分圓域的理想類群有關 這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗 里貝定理 Herbrand Ribet 描述 而這性質與實二次域的關係由安克尼 阿廷 喬拉猜想 Ankeny Artin Chowla 給出 伯努利數還和代數K理論有關 若cn是Bn 2n的分子 那樣K 4 n 2 Z displaystyle K 4n 2 mathbb Z 的階是 c2n若n為偶數 2c2n若n為奇數 與整除性也有關連的是馮 施陶特 克勞森定理 von Staudt Clausen 這定理是說 凡是適合p 1整除n的質數p 把1 p加到Bn上 我們會得到一個整數 這個事實給出了非零伯努利數Bn的分母的特徵 這些分母是適合p 1整除n的所有質數p的乘積 故此它們都無平方因子 也都可以被6整除 吾鄉 朱加猜想猜測p是質數當且僅當pBp 1模p同餘於 1 p進連續性 编辑 伯努利數的一個特別重要的同餘性質 可以表述為p進連續性 若b m和n是正整數 使得m和n不能被p 1整除 及m n mod p b 1 p 1 displaystyle m equiv n bmod p b 1 p 1 那麼 1 p m 1 B m m 1 p n 1 B n n mod p b displaystyle 1 p m 1 B m over m equiv 1 p n 1 B n over n bmod p b 因為B n n z 1 n displaystyle B n n zeta 1 n 這也可以寫成 1 p u z u 1 p v z v mod p b displaystyle 1 p u zeta u equiv 1 p v zeta v bmod p b 其中u 1 m和v 1 n 使得u和v非正 及不是模p 1同餘於1 這告訴我們 黎曼z函數的歐拉乘積公式中去掉1 p z displaystyle 1 p z 後 對適合模p 1同餘於某個a 1 mod p 1 displaystyle a not equiv 1 bmod p 1 的負奇數上的p進數連續 因此可以延伸到所有p進整數Z p displaystyle mathbb Z p 得出p進z函數 伯努利數的幾何性質 编辑在n 2 displaystyle n geq 2 時給出可平行流形邊界的怪 4n 1 球 對於它們的微分同胚類的循環群的階 有凱爾韋爾 米爾諾公式 Kervaire Milnor 用到了伯努利數 若B是B4n n的分子 那麼這種怪球的數目是2 2 n 2 1 2 2 n 1 B displaystyle 2 2n 2 1 2 2n 1 B 拓撲學文章中的公式與這裡不同 因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同 本文跟隨數論家的編號習慣 參見 编辑等幂求和 黎曼z函數外部連結 编辑伯努利數網頁 页面存档备份 存于互联网档案馆 整數數列線上大全 與伯努利數有關的數列的記錄 首498個伯努利數 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自古登堡計劃 A164555 取自 https zh wikipedia org w index php title 伯努利数 amp oldid 71876959, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,