高斯磁定律

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。

在電磁學裏，高斯磁定律闡明，磁場（B場）的散度等於零。因此，磁場是一個螺線向量場。從這事實，可以推斷磁單極子不存在。磁的基本實體是磁偶極子，而不是磁荷。當然，假若將來科學家發現有磁單極子存在，那麼，這定律就必須做適當的修改，如稍後論述。高斯磁定律是因德國物理學者卡爾·高斯而命名。

卡爾·高斯

在物理學界，很多學者使用「高斯磁定律」來指稱這定律，但並不是每一位學者都採用這名字。有些作者稱它為「自由磁單極子缺失」^[1]，或明確地表示這定律沒有取名字^[2]。還有些作者稱此定律為「橫向性要求」^[3]，因為在真空中或線性介質中傳播的電磁波必須是橫波。

理論方程式形式

 

閉曲面與開放曲面示意圖。左邊是閉曲面例子，包括球面、環面和立方體面；穿過這些曲面的磁通量等於零。右邊是開放曲面，包括圓盤面、正方形面和半球面；都具有邊界（以紅色顯示），不完全圍入三維體積。穿過這些曲面的磁通量不一定等於零。

高斯磁定律的方程式可以寫為兩種形式：微分形式和積分形式。根據散度定理，這兩種形式為等價的。

高斯磁定律的微分形式為

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$  是磁感應強度。

這是馬克士威方程組中的一個方程式。

高斯磁定律的積分形式為

${\displaystyle \oiint }$  ${\displaystyle {\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {s} =0}$ 

其中，${\displaystyle \mathbb {S} \,\!}$  是一個閉曲面，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} \,\!}$  是微小面積分（請參閱曲面積分）。

這方程式的左手邊項目，稱為通過閉曲面的淨磁通量。高斯磁定律闡明這淨磁通量永遠等於零。

磁向量勢

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根據亥姆霍兹分解（Helmholtz decomposition），因為磁場的散度等於零，必定存在有向量場 ${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$  滿足條件

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!}$  。

這向量場 ${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$  稱為磁向量勢。

請注意並不是只有一個向量場 ${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$  滿足這條件。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=0\,\!}$  ，

給予任意函數 ${\displaystyle \phi \,\!}$  ，那麼， ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \phi \,\!}$  也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。

磁場線

 

透過鐵粉顯示出的磁場線。將條狀磁鐵放在白紙下面，鋪灑一堆鐵粉在白紙上面，這些鐵粉會依著磁場線的方向排列，形成一條條的曲線，在曲線的每一點顯示出磁場線的方向。

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磁場，就像任何向量場，可以用場線來描繪其軌跡。磁場線是一組曲線，其方向對應於磁場的方向，其面密度與磁場的大小成正比。因為磁場的散度等於零，磁場線沒有初始點，也沒有終結點。磁場線或者形成一個閉迴圈，或者兩個端點都延伸至無窮遠。

磁單極子

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假若，有科學家發現磁單極子存在於宇宙，則高斯磁定律不正確，必須修正。磁場的散度會與磁荷密度 ${\displaystyle \rho _{m}\,\!}$  成正比^[1]：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\rho _{m}\,\!}$  。

其中，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$  是磁常數。

必歐-沙伐定律

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從必歐-沙伐定律，可以推導出高斯磁定律。必歐-沙伐定律闡明，設定電流密度 ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\,\!}$  ，則磁場為

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}d^{3}r'\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$  是源位置，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$  是場位置，${\displaystyle \mathbb {V} '\,\!}$  是積分的體積，${\displaystyle d^{3}r'\,\!}$  是微小體積元素。

應用一項向量恆等式，

${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\,\!}$  ，

將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標，可以移到積分外，改為旋度：

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {V} '}d^{3}r'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}$  。

應用一項向量恆等式，

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0\,\!}$  。

所以，高斯磁定律成立：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}$  。

參閱

• 磁矩
• 安培力定律
• 必歐-沙伐定律
• 電磁場的數學表述

參考文獻

1. Jackson, John David. Classical Electrodynamic 3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc. 1999: pp. 237, 273. ISBN 978-0-471-30932-1.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 321. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. Joannopoulos John D.; Johnson, Steve G.;Winn, Joshua N. and Meade, Robert D. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light 2nd. Princeton, NJ USA: Princeton University Press. 2008: pp. 9 [2009-10-01]. ISBN 978-0-691-12456-8. （原始内容于2011-07-22）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)