等效位能

等效位能是將許多效應綜合成單一位能的數學表達式。在古典力學中，等效位能即為離心力位能與位能的和。等效位能常被用來計算行星的軌道及半古典的原子計算，可用來降低問題的維度。

定義

等效位能 ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$  可定義如下：

${\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(\mathbf {r} )}$ 

L 為角動量。

r 為兩物體之距離。

m 為繞行物體之質量。

U(r) 為位能。

等效力，也就是等效位能的梯度取負號則為：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{mr^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$ 

其中 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$  為r方向的單位向量。

特性

等效位能有許多有用的特性：

${\displaystyle U_{\text{eff}}\leq E}$ 

要找到一個圓形軌道的半徑，我們只要將等效位能對r取最小值，或是找${\displaystyle r_{0}}$ 使總力為0：

${\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0}$ 

在解出${\displaystyle r_{0}}$ 後，代回${\displaystyle U_{\text{eff}}}$ 以求等效位能之最大值${\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}$ 。

也可求得微小振盪之頻率：

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}}}$ 

其中角分符號代表對r的微分。

例子：重力位能

以質量為m的小天體繞行質量為M的大天體為例，並假設M遠大於m。在牛頓力學中，大天體的運動可被忽略，且能量E及角動量L守恆：

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},}$ 

${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\phi }}\,}$ 

其中

${\displaystyle {\dot {r}}}$  為r對時間的微分，

${\displaystyle {\dot {\phi }}}$  為小天體之角速度，

G 為重力常數。

因為整個運動發生在一平面，所以我們只需要兩個變數r及${\displaystyle \phi }$ 。將第二個式子代回第一個式子，整理之後可得

${\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),}$ 

其中

${\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}}$ 

即為等效位能。^{[Note 1]} 如同上式所述，原問題的兩個變數被化簡成單變數的問題。在許多應用中，等效位能可視為一維系統的位能，譬如說用等效位能來決定轉折點及穩定平衡區。類似的方法可用來決定廣義相對論中史瓦西度規的軌道。

注释

1. A similar derivation may be found in José & Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, pgs. 31–33

参考资料

• José, JV; Saletan, EJ. Classical Dynamics: A Contemporary Approach 1st. Cambridge University Press. 1998. ISBN 0-521-63636-1. .

• Likos, C.N.; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Ballauff, M.; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F.; et al. . J. Chem. Phys. 2002, 117 (4): 1869–1877. Bibcode:2002JChPh.117.1869L. doi:10.1063/1.1486209. （原始内容存档于2011-07-19）.  引文格式1维护：显式使用等标签 (link)

• Baeurle, S.A.; Kroener J. Modeling Effective Interactions of Micellar Aggregates of Ionic Surfactants with the Gauss-Core Potential. J. Math. Chem. 2004, 36 (4): 409–421. doi:10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb. ^{[永久失效連結]}

• Likos, C.N. Effective interactions in soft condensed matter physics. Physics Reports. 2001, 348 (4–5): 267–439 [2015-07-23]. Bibcode:2001PhR...348..267L. doi:10.1016/S0370-1573(00)00141-1. （原始内容存档于2013-02-01）.