泛代数

泛代数，也称普适代数学（英語：Universal algebra），研究通用於所有代數結構的理論，而不是代數結構的模型。舉個例子，並不是將特殊的個別的群作為個體分別來學習，而是將整個群論的理論作為學習的主題。

基本思想

主条目：代数结构

從泛代数角度來看，代數是擁有一組運算元的集合A。在A上的n元運算是以n個A的元素為輸入並返回一個A的元素的函數。这样，0元运算（空运算）可简单表示为A的一个元素或常数，通常用a表示。一元运算是简单的从A到A的函数，常用置于参数前的符号表示，如~x。二元运算通常用置于参数间的符号表示，如x*y。元数更高或不确定的运算通常用函数符号表示，参数放在括号中，例如f(x, y, z)或f(x₁,...,x_n)。那么，讨论代数的一种方式就是将其称为某${\displaystyle \Omega }$ 类代数，其中${\displaystyle \Omega }$ 是自然数的有序数列，表示代数运算的元数。不过也有研究者允许无穷元运算，如${\displaystyle \textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }}$ ，其中J是无穷指标集，是完全格代数理论中的一种运算。

等式

定义了运算后，代数的性质由公理进一步定义，在泛代数中通常用恒等式或等式法则的形式。例如二元运算的结合律，可由等式x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z给出。

簇

主条目：簇 (泛代数)

由等式定义的代数结构集合称作簇或等价类。

将研究范围限制在簇，就排除了

• 量化，包括全称量化（${\displaystyle \forall }$ ，等式前除外）和存在量化 （${\displaystyle \exists }$ ）
• 逻辑与（∧）之外的逻辑运算符
• 等式以外的关系，特别是形如a ≠ b不等式和序理论

等式类研究可看作是模型论的一支，通常处理只有运算的结构（类型中可以有函数的符号，但不能有等式以外的关系的符号）。谈论这种结构的语言只使用等式。

其不包含所有广义代数结构。例如，有序交换群涉及序关系，因此不属于这个范畴。

域类也不属于等式类，因为没有类型能把所有域法则写成等式（域中元素的逆适于所有非零元素，因此不能把逆加入类型中）。

这样限制的一个好处是，泛代数研究的结构可定义在任何具有有限积的范畴中。例如，拓扑群只是拓扑空间范畴中的一个群。

例子

大多数泛代数系统都是簇的例子，但不总是很明显，因为通常的定义往往涉及量化或不等式。

群

以群的定义为例。通常，一个群的定义由二元运算*完成，并遵循以下公理：

• 结合律： x ∗ (y ∗ z)  =  (x ∗ y) ∗ z; &nbsp；形式化：∀x,y,z. x∗(y∗z)=(x∗y)∗z.
• 单位元：存在一个元素e，使得对每个x。都有e ∗ x  =  x  =  x ∗ e; &nbsp；形式化：∃e ∀x. e∗x=x=x∗e.
• 逆元素：很容易看出单位元是唯一的，一般记作e。那么对每个x，都有元素i使x ∗ i  =  e  =  i ∗ x; &nbsp；形式化：∀x ∃i. x∗i=e=i∗x.

（有人也使用“封闭”公理，即只要x ∗ y都属于A，则x*y也属于，但这里称*为二元运算已经暗示了这一点。）

群的这一定义并不直接符合泛代数，因为单位元和逆元素并非纯粹从“对所有”元素普遍成立的等式规律表述，而还涉及存在量词“存在……”。除了二元运算∗，还可指定空运算e和一元运算~，~x通常写作x⁻¹。这样，公理变为：

• 结合律：x ∗ (y ∗ z)  =  (x ∗ y) ∗ z.
• 单位元：e ∗ x  =  x  =  x ∗ e；形式化：∀x. e∗x=x=x∗e.
• 逆元素：x ∗ (~x)  =  e  =  (~x) ∗ x &nbsp；形式化：∀x. x∗~x=e=~x∗x.

总结来说，通常的定义有

• 单一二元运算
• 1个等式法则（结合律）
• 2个量化法则（单位元与逆元）

而按泛代数，则有

• 3种运算：1种二元运算，1种一元运算，1种零运算
• 3个等式法则（结合律、单位元、逆元）
• 没有量化法则（最外层的全称量词除外，这在簇中是允许的）

关键点是，额外的运算没有增加信息，而是唯一地遵循了群的通常定义，虽然没有唯一指定单位元e，但很简单就能证明它是唯一的，每个逆元素也唯一。

泛代数观点非常适合范畴论。例如，在范畴论中定义群对象时，若对象可能不是集合，就必须用到等式法则（在一般范畴中是有意义的），而非量化法则（指单个元素）。此外，逆元和单位元在范畴中被指定为态射。例如，拓扑群中的逆不仅必须逐元素存在，还要给出连续映射（态射）。有人还要求恒等映射也要闭包（上纤维化）。

其他例子

大部分代数结构都可作为泛代数的例子。

• 环、半群、拟群、广群、原群、圈等等。
• 固定域上的向量空间和固定环上的模也是泛代数。它们有二元运算，有一族一元标量乘法运算，域或环中的每个元素都有一个。

关系代数的例子有半格、格与布尔代数。

基本构造

假设${\displaystyle \Omega }$ 类固定。泛代数中有三种基本构造：同态像、子代数与积。

两个代数A、B之间的同态是函数h: A → B，使得对A中的每个n元运算f_A和对应的B中n元运算f_B，都有h(f_A(x₁,...,x_n)) = f_B(h(x₁),...,h(x_n))（若可以看出函数来自哪个代数，则f的上下标就可去掉）。例如，若e是常数（空运算），那么 h(e_A) = e_B。若~是一元运算，那么h(~x) = ~h(x)。若∗是二元运算，那么h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y)，以此类推。我们可以取代数的同态像h(A)。

A 的子代数是A的子集，对A的所有运算都封闭。某个代数结构集合的积，指的是集合在坐标上定义的运算的笛卡尔积。

部分基本定理

• 同构基本定理，包括群、环、模等的同构定理。
• 伯克霍夫HSP定理，其指出，一类代数当且仅当在同态像、子代数与任意直积下封闭时，可以构成簇。

动机与应用

除了统一方法之外，泛代数还给出了深奥的定理以及重要的示例和反例，为新代数研究提供了有用的框架。它可以将为某些代数发明的方法转移到其他类的代数，方法是用泛代数（如果可能的话）重新诠释之，然后将其解释为适用于其他类别的方法。它还澄清了概念；正如J.D.H. Smith所说：“在特定框架中看起来杂乱而复杂的东西，在适当的一般框架中可能会变得简单而明显”。

特别是，泛代数可用于幺半群、环和格的研究。在泛代数之前，许多定理（最知名的是同构基本定理）是在所有类别中分别证明的，但有了泛代数，就可以对每种代数系统进行一次性证明。

下面提到的Higgins 1956年的论文为一系列特定代数系统提供了框架而受到广泛关注，而他1963年的论文则对具有仅部分定义运算的代数的讨论而备受瞩目，典型的例子就是范畴和广群。这引出了高维代数的话题，可定义为研究具有部分运算的代数理论，其域是在几何条件下定义的。著名的例子是各种形式的高维范畴和广群。

约束满足问题

主条目：约束满足问题

泛代数为约束满足问题（CSP）提供了一种自然的语言。CSP是一类重要的计算问题：给定关系代数A和其上的句子${\displaystyle \varphi }$ ，如何确定${\displaystyle \varphi }$ 能否在A中得到满足。代数A通常是确定的，因此CSP_A指实例仅为存在语句${\displaystyle \varphi }$ 的问题。

可以证明，对某个代数A，每个计算问题都可表为CSP_A。^[1]

例如，n色问题可表述为代数${\displaystyle {\big (}\{0,1,\dots ,n-1\},\neq {\big )}}$ 的CSP，即具有${\displaystyle n}$ 个元素和一个关系式（不等式）的代数。

二分猜想（2017年4月证明）指出，若A是有限代数，则CSP_A要么是P问题，要么是NP完全问题。^[2]

推广

更多信息：范畴论、偏代数和模型论

还可用范畴论手段研究泛代数：可用特殊的范畴描述代数结构，称为劳维尔理论或更广义的代数论。相对地，也可用单子描述代数结构。这两种方法密切相关，各有优势。^[3] 特别地，每个劳维尔理论都在集合范畴上给出了单子，而集合范畴的任何“有限”单子都产生于某个劳维尔理论。单子描述的是特定范畴（如集合范畴）中的代数结构，而代数论描述的是一大类范畴（即有有限积的范畴）中任何范畴的结构。

范畴论的最新发展是算元论——算元是一系列运算，类似于泛代数，但只允许在带变量的表达式间建立等式，不允许重复或省略变量。因此，环可悲描述为某些算元的所谓“代数”，但不能描述为群，因为${\displaystyle gg^{-1}=1}$ 在左侧重复了变量g，在右侧省略了变量g。起初这似乎是个麻烦的限制，但其结果是，算元有某些优势：例如，可以统一环和向量空间，得到结合代数，但无法统一环和向量空间。

另一处发展是偏代数，其中的运算可以是偏函数。某些偏函数也可通过所谓“本质代数论”的劳维尔理论推广来处理。^[4]

泛代数的另一种推广是模型论，有时被描述为“泛代数+逻辑”。^[5]

相關條目

• 调和分析
• 測度
• 分析
• 微分幾何及拓撲
• 代數拓撲
• 代數幾何
• 抽象代數

• 图代数

• 项代数

• 克隆 (数学)

• 泛代数几何

脚注

1. Bodirsky, Manuel; Grohe, Martin, Non-dichotomies in constraint satisfaction complexity (PDF), 2008 
2. Zhuk, Dmitriy. The Proof of CSP Dichotomy Conjecture. 2017. arXiv:1704.01914   [cs.cc]. 
3. Hyland, Martin; Power, John, The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads (PDF), 2007 
4. nLab的Essentially algebraic theory條目
5. C.C. Chang and H. Jerome Keisler. Model Theory. Studies in Logic and the Foundation of Mathematics 73 3rd. North Holland. 1990: 1. ISBN 0444880542. 

参考文献

• Bergman, George M., 1998. An Invitation to General Algebra and Universal Constructions (pub. Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708) 398 pp. ISBN 0-9655211-4-1.
• Birkhoff, Garrett, 1946. Universal algebra. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques, University of Toronto Press, Toronto, pp. 310–326.
• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 Free online edition.
• Cohn, Paul Moritz, 1981. Universal Algebra. Dordrecht, Netherlands: D.Reidel Publishing. ISBN 90-277-1213-1 (First published in 1965 by Harper & Row)
• Freese, Ralph, and Ralph McKenzie, 1987. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties, 1st ed. London Mathematical Society Lecture Note Series, 125. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-34832-3. Free online second edition.
• Grätzer, George, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
• Higgins, P. J. Groups with multiple operators. Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
• Higgins, P.J., Algebras with a scheme of operators. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115–132.
• Hobby, David, and Ralph McKenzie, 1988. The Structure of Finite Algebras American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3400-2. Free online edition.
• Jipsen, Peter, and Henry Rose, 1992. Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8. Free online edition.
• Pigozzi, Don. General Theory of Algebras. Free online edition.
• Smith, J.D.H., 1976. Mal'cev Varieties, Springer-Verlag.
• Whitehead, Alfred North, 1898. A Treatise on Universal Algebra, Cambridge. (Mainly of historical interest.)

外部链接

• Algebra Universalis—a journal dedicated to Universal Algebra.