不等

数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系，与相等相对。不等关系主要有四种：

• ${\displaystyle a<b}$，即${\displaystyle a}$小于${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a>b}$，即${\displaystyle a}$大于${\displaystyle b}$

上述两个属于严格不等。

• ${\displaystyle a\leq b}$，即${\displaystyle a}$小于等于${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a\geq b}$，即${\displaystyle a}$大于等于${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a\neq b}$，即${\displaystyle a}$不等于${\displaystyle b}$

将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。

若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。

不等式两边同时加或减相同的数，或者两边同时乘以或除以同一个正数，不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等关系改变方向。

符号${\displaystyle a\gg b}$表示${\displaystyle a}$“远大于”${\displaystyle b}$。其含义是不确定的，可以是 100 倍的差异，也可能是10个数量级的差异。和方程相联系，它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

性质

不等具有下列性质：

三一律：

对任意实数${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ ，只有下列之一是真的：

• ${\displaystyle a<b}$ 
• ${\displaystyle a=b}$ 
• ${\displaystyle a>b}$ 

調換性質：

對任意實數${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ ：

• ${\displaystyle a<b}$  和 ${\displaystyle b>a}$  是等價的。
• ${\displaystyle a\leq b}$  和 ${\displaystyle b\geq a}$  是等價的。

传递性：

对任意实数${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ ：

• 如果 ${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle b<c}$ ，则 ${\displaystyle a<c}$ 。
• 如果 ${\displaystyle a\leq b}$  且 ${\displaystyle b\leq c}$ ，則 ${\displaystyle a\leq c}$ 。
• 如果 ${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle b\leq c}$ ，則 ${\displaystyle a<c}$ 。
• 如果 ${\displaystyle a\leq b}$  且 ${\displaystyle b<c}$ ，則 ${\displaystyle a<c}$ 。
• 如果 ${\displaystyle a=b}$  且 ${\displaystyle b=c}$ ，則 ${\displaystyle a=c}$ 。

加法性质：

对任意实数${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ ：

• 若 ${\displaystyle a>b}$ ；则 ${\displaystyle a+c>b+c}$  。
• 若 ${\displaystyle a<b}$ ；则 ${\displaystyle a+c<b+c}$ 。

乘法性质：

对任意实数${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ ，且有${\displaystyle c\neq 0}$ ：

• 若${\displaystyle c}$ 为 正数 且 ${\displaystyle a>b}$ ；则 ${\displaystyle ac>bc}$ 。
• 若${\displaystyle c}$ 为 正数 且 ${\displaystyle a<b}$ ；则 ${\displaystyle ac<bc}$  。
• 若${\displaystyle c}$ 为 负数 且 ${\displaystyle a>b}$ ；则 ${\displaystyle ac<bc}$  。
• 若${\displaystyle c}$ 为 负数 且 ${\displaystyle a<b}$ ；则 ${\displaystyle ac>bc}$ 。

注意：当遇上不等关系求解时，比如已知 ${\displaystyle A>B}$ ，${\displaystyle C>D}$ ，不可以认为 ${\displaystyle A-C>B-D}$ ，但根據此描述可知 ${\displaystyle A-D>B-C}$  是真的。

鏈式表示法

• ${\displaystyle a<b<c}$  代表「${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle b<c}$ 」。
• ${\displaystyle a\leq b\leq c}$  代表「${\displaystyle a\leq b}$  且 ${\displaystyle b\leq c}$ 」。
• ${\displaystyle a<b\leq c}$  代表「${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle b\leq c}$ 」。
• ${\displaystyle a\leq b<c}$  代表「${\displaystyle a\leq b}$  且 ${\displaystyle b<c}$ 」。

举例

• 若${\displaystyle x>0}$  ；则

${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},}$ 

• 若${\displaystyle x>0}$ ；则

${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x\,}$ 

• 若${\displaystyle x,y,z>0}$ ；则

${\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,}$ 

• 若${\displaystyle x,y,z>0}$ ；则

${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},}$ 

• 若${\displaystyle a,b>0}$ ；则

${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,}$ 

• 若${\displaystyle a,b>0}$ ；则

${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,}$ 

• 若${\displaystyle a,b,c>0}$ ；则

${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,}$ 

• 若${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}>0}$ ；则

${\displaystyle a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1}$ 

• 對於實數 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle d}$ ，若 ${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle c<d}$ ；則

  ${\displaystyle a+c<b+d}$ 

  • 證明

    ${\displaystyle a<b}$

    (10) [前提]

    ${\displaystyle c<d}$

    (15) [前提]

    ${\displaystyle a-b<0}$

    (20) 源自 (10)

    ${\displaystyle 0<d-c}$

    (25) 源自 (15)

    (20) 及 (25) 經由遞移性質可以得到

    ${\displaystyle a-b<d-c}$

    (30) 源自 (20) (25)

    ${\displaystyle a-b+(b+c)<d-c+(b+c)}$

    (35) 源自 (30)

    ${\displaystyle a+c<b+d}$

    (40) 源自 (35) [結論]

• 對於實數 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle d}$ ，若 ${\displaystyle a<b}$  且 ${\displaystyle c<d}$ ；則

${\displaystyle a-d<b-c}$ 

• 證明

${\displaystyle a<b}$  (45) [前提] ${\displaystyle c<d}$  (50) [前提] ${\displaystyle -c>-d}$  (55) 源自 (50) ${\displaystyle -d<-c}$  (60) 源自 (55) (45) 及 (60) 經由此描述可以得到 ${\displaystyle a+(-d)<b+(-c)}$  (65) 源自 (45) (60) ${\displaystyle a-d<b-c}$  (70) 源自 (65) [結論]

参见

• 二元关系
• 偏序关系
• 不等號
• 不等式列表