單子 (範疇論)

  关于單子在電腦軟件的應用，请见「單子 (函數式編程)」。

數學的分支範疇論中，單子（英語：monad），又稱三元組（triple, triad）、標準構造（standard construction）、基本構造（fundamental construction）^[1]，是一個內函子（英语：endofunctor）（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定連貫條件（英语：coherence condition）的兩個自然變換，三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對，並將偏序集上的闭包算子推廣到任意範疇。

導論與定義

單子是一類內函子（英语：endofunctor）（連同其他資訊）。例如，若${\displaystyle F}$ 和${\displaystyle G}$ 為一對伴隨函子，${\displaystyle F}$ 為${\displaystyle G}$ 的左伴隨，則複合${\displaystyle G\circ F}$ 是單子。若${\displaystyle F}$ 與${\displaystyle G}$ 互為逆函子，則對應的單子是恆等函子。一般而言，伴隨關係並不等同范畴的等价，而可以聯繫不同性質的範疇。為了探討伴隨關係所「保持」的性質，數學家研究單子論。理論的另一半，即藉考慮${\displaystyle F\circ G}$ ，以研究伴隨關係，是單子論的對偶理論。該類函子稱為餘單子（英語：comonad）。

嚴格定義

本條目中，${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 皆表示某範疇。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 上的單子是函子${\displaystyle T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ ，連同兩個自然變換，分別是單位${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\to T}$ （其中${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 上的恆等函子）與乘法${\displaystyle \mu :T^{2}\to T}$ （其中${\displaystyle T^{2}}$ 是複合${\displaystyle T\circ T}$ ，亦是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 到${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的函子），且要滿足下列連貫條件（英语：coherence condition）：

• ${\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T}$ （左右皆為${\displaystyle T^{3}\to T}$ 的自然變換）。此處${\displaystyle T\mu }$ 與${\displaystyle \mu T}$ 經水平複合而得。
• ${\displaystyle \mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}}$ （兩者皆為${\displaystyle T\to T}$ 的自然變換）。此處${\displaystyle 1_{T}}$ 表示由函子${\displaystyle T}$ 到自身的恆等自然變換。

以上兩式，亦可以下列交換圖複述：

記號${\displaystyle T\mu }$ 與${\displaystyle \mu T}$ 的含義，參見自然變換，又或考慮以下更具體的寫法，不用水平複合記號，並將各函子作用在任意物件${\displaystyle X}$ 上：

定義中，若將${\displaystyle \mu }$ 當成幺半群的乘法，則第一條公理類似幺半群（英语：monoid (category theory)）的乘法結合律，而第二條公理類似單位元的存在性（由${\displaystyle \eta }$ 給出）。準確而言，${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 上的單子，可以等價地定義為${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的內函子範疇${\displaystyle \mathbf {End} _{\mathcal {C}}}$ 中的幺半群（英语：monoid (category theory)）。（該範疇的物件是${\displaystyle C}$ 上的內函子，而態射是內函子間的自然變換，幺半結構來自內函子的複合運算。）如此，單子不僅在形式上具有與幺半群相似的公理，甚而單子就是幺半群的特例。

冪集單子

冪集單子${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 是集合範疇${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 上的單子。其定義中，函子${\displaystyle T}$ 取為冪集運算，即${\displaystyle T(A)}$ 為集合${\displaystyle A}$ 的冪集，而對於函數${\displaystyle f:A\to B}$ ，${\displaystyle T(f)}$ 將${\displaystyle A}$ 的子集映至其像集，即${\displaystyle T(f)(A')=f[A']}$ 。對每個集合${\displaystyle A}$ ，有函數${\displaystyle \eta _{A}:A\to T(A)}$ ，對每個元素${\displaystyle a\in A}$ 映至單元子集${\displaystyle \{a\}}$ ， 並有函數

${\displaystyle \mu _{A}\colon T(T(A))\to T(A),}$ 

將${\displaystyle A}$ 的若干個子集構成的族，映至該些子集的並集。以上是冪集單子的定義。

兩個單子的複合，未必為單子。舉例，冪集單子${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 的二次疊代${\displaystyle {\mathcal {P}}\circ {\mathcal {P}}}$ ，無法配備單子結構。^[2]

餘單子

取上節定義的範疇論對偶（英语：Dual (category theory)），便是餘單子（或餘三元組）的定義。簡單複述，範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 上的餘單子，是對偶範疇（英语：opposite category）${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ 上的單子。所以，餘單子是由${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 到${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的某個函子${\displaystyle U}$ ，連同餘單位與餘乘法（英語：counit and comultiplication）兩個自然變換，組成的整體，而三者所要滿足的公理，是將原定義中所有態射反轉方向而得。

單子之於幺半群，如同餘單子之於餘幺半群。每個集合皆是餘幺半群，且僅有唯一一種方式，所以抽象代數中，較少考慮餘幺半群。然而，在線性代數中，向量空間範疇（配備張量積）的餘幺半群較為重要，以餘代數之名為人所知。

歷史

單子的概念最早由羅傑·戈德芒（英语：Roger Godement）於1958年提出^[3]，當時稱為「標準構造」（英語：standard construction）。實際上，該書用到的是餘單子，用作解決某個層餘調（英语：Sheaf cohomology）問題。

其後，單子又出現於彼得·胡伯（Peter Huber）對範疇同倫的研究中。該論文包含由任意一對伴隨函子得出單子的證明。^[4]

1965年，海因里希·克萊斯利（英语：Heinrich Kleisli）^[5]，及塞缪尔·艾伦伯格、約翰·柯曼·摩爾（英语：John Coleman Moore）二人^[6]分別獨立證明反向的結論，即每個單子皆可由某對伴隨函子產生。後一篇論文中，將單子稱為「三元組」。

1963年，威廉·洛維爾（英语：William Lawvere）提出泛代數的範疇論。1966年，弗雷德·林頓（Fred Linton）將該理論用單子的語言表達。^[7]單子本身來自拓撲方面的考量，事先似乎比洛維爾的理論更難處理，但已成為用範疇論語言闡述泛代數的方法中，較常見的一個。現今常用的英文名稱monad是1971年由桑德斯·麥克蘭恩在《現職數學家用的範疇（英语：Categories for the Working Mathematician）》引入，以其類似單子論中的同名哲學概念，即某種能生出其他所有事物的實體。

1980年代，歐金尼奧·莫吉（英语：Eugenio Moggi）在理論計算機科學中，利用單子，為電腦程式的若干方面建立模型，包括例外處理、邊界情況。^[8]此後，有多種函數式編程語言仔細實作此想法，作為一種基本規律，同樣稱為單子。2001年，若干數學家注意到，用單子研究程式標誌語意的方法，與洛維爾的理論，兩者之間有關聯。^[9]。此為代數與語義間的聯繫，是後來活躍的研究課題。

例子

伴隨的複合

若有伴隨關係

${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {D}}:G}$ 

（即${\displaystyle F}$ 為${\displaystyle G}$ 的左伴隨，下同），則由此有${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 上的單子。此普遍的構造，取內函子為複合

${\displaystyle T=G\circ F,}$ 

而單位自然變換來自伴隨的單位${\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\to G\circ F}$ ，乘法自然變換源自伴隨的餘單位${\displaystyle \varepsilon }$ ：

${\displaystyle T^{2}=G\circ F\circ G\circ F\xrightarrow {G\circ \varepsilon \circ F} G\circ F=T.}$ 

反之，給定單子，可以明確找回一對伴隨函子，使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的${\displaystyle T}$ 代數的艾倫伯格－摩爾範疇${\displaystyle C^{T}}$ 。^[10]

兩重對偶

給定域${\displaystyle k}$ ，雙重對偶單子（英語：double dualisation monad）源自伴隨關係

${\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{\mathrm {op} }:(-)^{*},}$ 

其中兩個函子${\displaystyle (-)^{*}}$ 皆將${\displaystyle k}$ 向量空间${\displaystyle V}$ 映至對偶空間${\displaystyle V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)}$ ，所以對應的單子將向量空間${\displaystyle V}$ 映至雙對偶${\displaystyle V^{**}}$ 。Kock (1970)對此有更廣泛的討論。

偏序集的閉包算子

偏序集${\displaystyle (P,\leq )}$ 可以視為特殊的範疇，任意兩件物件之間有最多一支態射，且${\displaystyle x}$ 到${\displaystyle y}$ 有態射当且仅当偏序中${\displaystyle x\leq y}$ 。於是，偏序集之間的函子，即是保序映射，而伴隨函子對，則組成兩偏序集間的伽罗瓦连接，相應的單子是伽羅華連接的闭包算子。

自由遺忘伴隨

又舉例，設${\displaystyle G}$ 為群範疇${\displaystyle \mathbf {Grp} }$ 至集合范畴${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 的遺忘函子，將群映至其基集，又設${\displaystyle F}$ 為自由函子，由${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 到${\displaystyle \mathbf {Grp} }$ ，則${\displaystyle F}$ 是${\displaystyle G}$ 的左伴隨。此時，對應的單子${\displaystyle T=G\circ F}$ 的作用是，輸入一個集合${\displaystyle X}$ ，輸出自由群${\displaystyle F(X)}$ 的基集，即字母取自${\displaystyle \{x,x^{-1}:x\in X\}}$ ，且無相鄰兩個字母互為逆元的字串的集合。

該單子的單位變換，由包含映射

${\displaystyle \eta _{X}:X\rightarrow T(X)}$ 

給出，該包含映射將${\displaystyle X}$ 的任意元素，看成僅得一個字元的字串，從而是${\displaystyle T(X)}$ 的元素。最後，單子的乘法

${\displaystyle \mu _{X}:T(T(X))\rightarrow T(X)}$ 

是串接或「壓平」運算，將若干條字串組成的串，映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個自然變換。

前述例子中，自由群可以推廣至其他種類的代數結構，即泛代数意義下的任意一簇（英语：Variety (universal algebra)）代數。如此，每類代數定義了集合範疇上的一個單子。更重要的是，該類代數的範疇，可從單子找回，即單子的艾倫伯格－摩爾代數範疇，故單子可視為泛代數之簇的推廣。

另外，尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇${\displaystyle \mathbf {Vect} }$ 上，若${\displaystyle T}$ 表示將向量空間${\displaystyle V}$ 映至其张量代数${\displaystyle T(V)}$ 的內函子，則相應有單位自然變換將${\displaystyle V}$ 嵌入到其张量代数，並有乘法自然變換，在${\displaystyle V}$ 處的分量是態射${\displaystyle T(T(V))\to T(V)}$ ，將張量積之張量積展開化簡。

餘密度單子

只要滿足某些不強的條件，無左伴隨的函子也可以產生單子，稱為餘密度單子（英语：codensity monad）。例如，從有限集合範疇${\displaystyle \mathbf {FinSet} }$ 到集合範疇${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 的包含函子無法配備左伴隨，但其餘密度單子定義在${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 上，將任意集合${\displaystyle X}$ 映至其上所有超滤子的集合${\displaystyle \beta X}$ 。 類似例子見於Leinster (2013)。

單子的代數

参见：F代數（英语：F-algebra）和偽代數（英语：pseudoalgebra）

給定範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 上的單子${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ ，可以考慮${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ 代數物件。${\displaystyle T}$ 在該些物件上的作用，與單子的單位與乘法相容。具體而言，${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ 代數${\displaystyle (x,h)}$ 是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的物件${\displaystyle x}$ ，連同態射${\displaystyle h:Tx\to x}$ （稱為該代數的結構映射），使得圖

及

皆可交換。

${\displaystyle T}$ 代數間的態射${\displaystyle f:(x,h)\to (x',h')}$ 是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的態射${\displaystyle f:x\to x'}$ ，且要使

 

可交換。於是，${\displaystyle T}$ 代數及之間的態射組成範疇，稱為艾倫伯格－摩爾範疇（英語：Eilenberg–Moore category），記為${\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}$ .

例子

自由群單子上的代數

若${\displaystyle T}$ 為前述自由群單子，則${\displaystyle T}$ 代數是集合${\displaystyle X}$ ，連同由${\displaystyle X}$ 生成的自由群${\displaystyle F(X)}$ 到${\displaystyle X}$ 的映射（求值，evaluation），且該映射要滿足結合律與單位元的公理。換言之，${\displaystyle X}$ 本身就具有群結構，而${\displaystyle F(X)}$ 至${\displaystyle X}$ 的映射，是將字串按${\displaystyle X}$ 的群乘法，計算所得的結果

分佈單子上的代數

另一個例子是集合範疇上的分佈單子（英語：distribution monad）${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ，其將集合${\displaystyle X}$ 映至其上所有有限支撐的概率分佈的集合。該等分佈，是函數${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ，僅於有限多個元素${\displaystyle x\in X}$ 處取值非零，而各元素處取值之和為${\displaystyle 1}$ 。以符號表示，

${\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty ,\\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}.}$ 

可由定義證明，分佈單子上的代數，等同於凸集，即集合要配備二元運算${\displaystyle +_{r}}$ （對每個${\displaystyle r\in [0,1]}$ ），滿足的公理比照歐氏空間中，凸組合${\displaystyle (x,y)\mapsto rx+(1-r)y}$ 具備的性質。^[11][12]

對稱單子上的代數

另一個有用的單子，是交換環${\displaystyle R}$ 的模範疇${\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$ 上的對稱代數單子

${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):\mathbf {Mod} _{R}\to \mathbf {Mod} _{R}}$ 

將${\displaystyle R}$ 模${\displaystyle M}$ 映到各階對稱張量（英语：symmetric tensor）冪的直和

${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)}$ 

其中${\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R}$ 。例如，${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ，左右兩邊作為${\displaystyle R}$ 模同構。如此，對稱代數單子上的代數，是交換${\displaystyle R}$ 代數。類似地，也有反對稱張量（英语：Antisymmetric tensor）單子${\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)}$ 與全張量單子${\displaystyle T^{\bullet }(-)}$ ，相應的代數分別是反對稱${\displaystyle R}$ 代數與自由${\displaystyle R}$ 代數，故

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,\end{aligned}}}$ 

前者是${\displaystyle R}$ 上添加${\displaystyle n}$ 個生成元的自由反對稱代數，而後者則是${\displaystyle n}$ 個生成元的自由代數。

E_∞環譜中的交換代數

對於可交換${\displaystyle \mathbb {S} }$ 代數（英语：Highly structured ring spectrum），亦有類似的構造，^[13]:113對於可交換${\displaystyle \mathbb {S} }$ 代數${\displaystyle A}$ ，對應單子上的代數是可交換的${\displaystyle A}$ 代數。若${\displaystyle \mathbf {Mod} _{A}}$ 表示${\displaystyle A}$ 模的範疇，則可以考慮函子${\displaystyle \mathbb {P} :\mathbf {Mod} _{A}\to \mathbf {Mod} _{A}}$ ，定義為

${\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j},}$ 

其中

${\displaystyle M^{j}=\underbrace {M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M} _{j}.}$ 

此函子是單子，而由該單子上的代數範疇，可以得到可交換${\displaystyle A}$ 代數的範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}}$ 。

單子與伴隨

如前文所述，任何伴隨關係皆產生單子。反之，每個單子${\displaystyle T}$ 皆可由某個伴隨關係產生，即原範疇與${\displaystyle T}$ 代數的艾倫伯格－摩爾範疇之間的自由－遺忘伴隨

${\displaystyle T(-):{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {C}}^{T}:F.}$ 

其中，左伴隨${\displaystyle T(-)}$ 將${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的物件${\displaystyle x}$ 映到自由${\displaystyle T}$ 代數${\displaystyle T(x)}$ ，右伴隨${\displaystyle F}$ 則將${\displaystyle T}$ 代數${\displaystyle (x,h)}$ 遺忘掉${\displaystyle h}$ ，變回${\displaystyle x}$ 。然而，通常有多組不同的伴隨關係產生同樣的單子，該些伴隨關係組成範疇${\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)}$ ：物件是伴隨關係${\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}$ 使得${\displaystyle (GF,\eta ,G\varepsilon F)=(T,\eta ,\mu )}$ ，而態射是在${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 一側為恆等函子的伴隨關係態射。如此，艾倫伯格－摩爾範疇的自由－遺忘伴隨${\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}$ 是${\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)}$ 的終物件，而始物件是克萊斯利範疇（英语：Kleisli category）${\displaystyle {\mathcal {C}}_{T}}$ ，定義為${\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}$ 中的自由${\displaystyle T}$ 代數組成的完全子範疇，即僅包含形如${\displaystyle T(x)}$ 的${\displaystyle T}$ 代數，其中${\displaystyle x}$ 歷遍${\displaystyle {\mathcal {\mathcal {C}}}}$ 的物件。

單子伴隨

設有伴隨關係${\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )}$ ，對應單子為${\displaystyle T}$ ，則函子${\displaystyle G}$ 可分解為

${\displaystyle {\mathcal {D}}\xrightarrow {\tilde {G}} {\mathcal {C}}^{T}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}},}$ 

其中${\displaystyle F}$ 是遺忘函子。換言之，對${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 中任意物件${\displaystyle Y}$ ，都能賦予${\displaystyle G(Y)}$ 自然的${\displaystyle T}$ 代數結構。若分解式中，首個函子${\displaystyle {\tilde {G}}}$ 給出${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 與${\displaystyle C^{T}}$ 兩範疇間的等價，則形容該伴隨關係為單子的（英語：monadic）。^[14]後亦引申用作形容函子，若函子${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ 有左伴隨${\displaystyle F}$ ，且該伴隨關係為單子的，則${\displaystyle G}$ 亦稱為單子的。例如，群範疇與集合範疇間的自由－遺忘伴隨是單子的，因為相應單子${\displaystyle T}$ 上的${\displaystyle T}$ 代數是群（見前文）。一般而言，若有伴隨關係${\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )}$ 為單子的，則單從${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的物件及其上的${\displaystyle T}$ 作用，已足以重組出${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 的物件。

貝克單子性定理

主条目：貝克單子性定理（英语：Beck's monadicity theorem）

貝克單子性定理給出伴隨關係在何種充要條件下為單子的。定理有以下簡化版：

若滿足以下三項條件：

• ${\displaystyle G}$ 為保守函子（英语：conservative functor），換言之，${\displaystyle G}$ 反映同構（英語：reflects isomorphisms），即對${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 中每一支態射，其為同構當且僅當在${\displaystyle G}$ 作用下的像為${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的同構；
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 有餘等化子（英语：coequalizer）；
• ${\displaystyle G}$ 保餘等化子（英语：coequalizer）；

則${\displaystyle G}$ 為單子的。

例如，由緊豪斯多夫空间範疇${\displaystyle \mathbf {CHaus} }$ 到集合範疇${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 的遺忘函子是單子的。然而，由任意拓撲空間範疇${\displaystyle \mathbf {Top} }$ 到集合範疇${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 的遺忘函子則並非單子的，而定理中，保守函子的條件不成立，因為有非緊或非豪斯多夫空間，之間存在連續雙射，但不為同胚。^[15] 貝克定理有對偶版本，刻劃餘單子伴隨關係，對拓撲斯論及有關下降（英语：descent (category theory)）的代数几何課題有用。

餘單子的伴隨關係，首先有下列例子：

${\displaystyle -\otimes _{A}B:\mathbf {Mod} _{A}\rightleftarrows \mathbf {Mod} _{B}:F,}$ 

其中${\displaystyle A,B}$ 皆為交換環，左伴隨用到的張量積${\displaystyle \otimes _{A}}$ 的定義中，選定了環同態${\displaystyle A\to B}$ ，而右伴隨${\displaystyle F}$ 是遺忘函子。根據貝克定理，當且僅當${\displaystyle B}$ 為忠實平坦${\displaystyle A}$ 模時，該伴隨為餘單子的。所以，可將配備下降數據（英語：descent datum，即源自伴隨關係的餘單子的作用）的${\displaystyle B}$ 模，降成${\displaystyle A}$ 模。所得的忠實平坦下降（英语：faithfully flat descent）理論，廣泛應用於代數幾何。

用途

函数式编程中，會使用單子表達某類（有時有副作用的）順序式計算，見单子 (函数式编程)。

範疇論邏輯中，藉闭包算子、內代數，以及兩者與S4模態邏輯、直觉主义逻辑的關係，能以單子餘單子理論類比模态逻辑。

推廣

亦可定義2-範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的單子。

參見

• 單子間的分配律（英语：Distributive law between monads）
• 洛維爾理論（英语：Lawvere theory）
• 单子 (函数式编程)——函數式編程中，用作構造通用類型的設計模式
• 多子 (範疇論)（英语：Polyad）
• 強單子（英语：Strong monad）

參考文獻

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