餘代數

在數學中，餘代數是帶單位元的結合代數的對偶結構，後者的公理由一系列交換圖給出，將這些圖中的箭頭反轉，便得到餘代數的公理。

餘代數的概念可用於李群及群概形等領域中。

定義

形式上來說，域 ${\displaystyle K}$  上的餘代數是一個 ${\displaystyle K}$ -向量空間 ${\displaystyle C}$  及 ${\displaystyle K}$ -線性映射 ${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes _{K}C}$ （餘乘法）與 ${\displaystyle \epsilon :C\to K}$ （餘單位元），使得：

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$ 
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$ .

等價的說法是：以下圖表交換：

 

在第一個圖表中，我們等同了 ${\displaystyle C\otimes (C\otimes C)}$  與 ${\displaystyle (C\otimes C)\otimes C}$ ；同理，在第二個圖表中，我們等同了 ${\displaystyle C}$ 、${\displaystyle C\otimes K}$  與 ${\displaystyle K\otimes C}$ 。

第一個圖表是代數乘法結合律的對偶版本，稱為餘乘法之餘結合律。第二個圖表是代數單位元的對偶版本。

Sweedler 記法

處理餘代數時，以下記法可以大大地簡化式子，稱為 Sweedler 記法。這套記法在數學界中頗為流行。給定餘代數 ${\displaystyle (C,\Delta ,\epsilon )}$  中的一個元素 ${\displaystyle c}$ ，存在一族元素 ${\displaystyle c_{(1)}^{i},c_{(2)}^{i}\in C}$ ，使得

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}.}$ 

在 Sweedler 記法中，上式寫作

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$ 

舉例明之，餘單位元 ${\displaystyle \epsilon }$  之公理可表成

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\epsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\epsilon (c_{(2)}).\;}$ 

餘乘法 ${\displaystyle \Delta }$  則可表成

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$ 

在 Sweedler 記法中，這些式子都被寫作

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$ 

一些作者會省略求和符號，此時 Sweedler 記法表成

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$ 

與

${\displaystyle c=\epsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\epsilon (c_{(2)}).\;}$ 

相關文獻

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0