星形四角化菱形十二面體

在幾何學中，星形四角化菱形十二面體又稱為第一種星形菱形十二面體（First stellation of rhombic dodecahedron），是一種星形菱形十二面體，菱形十二面體的星形化體之一，也是空間填充多面體之一^[2]。在藝術領域中，這種形狀又稱為艾雪立體（Escher's Solid）^[3][4]，出現於莫里茲·柯尼利斯·艾雪的作品《瀑布》和一個研究艾雪作品《群星》的研究中。

星形四角化菱形十二面體

（按這裡觀看STL模型）
類別	艾雪立體 星形菱形十二面體 星形多面體
數學表示法
康威表示法	k(h=0.76)KjC^[1]
性質
面	48
邊	72
頂點	26
歐拉特徵數	F=48, E=72, V=26 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	簡單多面體： 等腰三角形 複雜多面體： 非凸六邊形
對稱性
對稱群	Oh, B3, [4,3], *432
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	O, [4,3]^+, (432)
特性
面可遞
查 论 编

星形四角化菱形十二面體的STL模型

其拓樸結構與四角化菱形十二面體相同

星形四角化菱形十二面體的模型

性質

星形四角化菱形十二面體共有三種形式，第一種為菱形十二面體的星形化體，共有12個面，面的幾何中心位置與菱形十二面體相同。第二種為簡單多面體，由48個等腰三角形組成，可以視為在菱形十二面體的每個面上疊上一個菱形錐來構成。星形四角化菱形十二面體共有26個頂點和72條邊，在26個頂點中，其中有6個頂點度為8, 、8個頂點度為6和12個度為4的頂點。在72條邊中有48條長邊和24條較短的邊。對應的欧拉示性数26 + 48 − 72 = +2。最後一種是3個雙四角錐的複合體^[6][7]。

第一種菱形十二面體的星形化體	48個等腰三角形組成的簡單多面體	3個扁八面體的複合體

此外，星形四角化菱形十二面體可以獨立填滿三維空間^[8][9]，所構成的幾何結構為星形四角化菱形十二面體堆砌。

星形四角化菱形十二面體的骨架圖為四角化菱形十二面體圖^[10]。

 

體積與表面積

一個最短邊邊長為a的星形四角化菱形十二面體，其表面積A、體積V為^[10]：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=16{\sqrt {2}}\,a^{2}\approx 22.6274\,a^{2}\\V&={\tfrac {32{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}\approx 6.1584\,a^{3}\end{aligned}}}$ 

若一個最長邊邊長為單位長，則其體積為4^[11]，若最長邊的邊長為a，則體積為：^[12]

${\displaystyle V=4a^{3}}$ 

面的組成

星形四角化菱形十二面體作為一個簡單多面體時由48個全等的等腰三角形組成；作為一個星形多面體時由12個非凸六邊形組成；作為一個複合立體時由3個雙四角錐組成^[7]：

等腰三角形	非凸六邊形
48個等腰三角形組成的簡單多面體	第一種菱形十二面體的星形化體

若每個等腰三角形底邊為1，則兩側邊的邊長為${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ^[11]。

頂點坐標

若一個星形四角化菱形十二面體最長邊長為單位長且幾何中心位於原點，則其頂點坐標為^[13]：

${\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad 0\,,\quad 0\right)}$ 、${\displaystyle \left(0\,,\quad \pm 1\,,\quad 0\right)}$ 、${\displaystyle \left(0\,,\quad 0\,,\quad \pm 1\right)}$ 

${\displaystyle \left(0\,,\quad \pm 1\,,\quad \pm 1\right)}$ 、${\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad 0\,,\quad \pm 1\right)}$ 、${\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad \pm 1\,,\quad 0\right)}$ 

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}}\,,\quad \pm {\frac {1}{2}}\,,\quad \pm {\frac {1}{2}}\right)}$ 

歷史

1957年多爾曼·露可（Dorman Luke）在他的論文中描述了一些菱形十二面體的星形化體^[14]。1961年，星形四角化菱形十二面體被艾雪描繪在其作品《瀑布》（英语：Waterfall_(M._C._Escher)）中^[15]。1986年 ，阿瑟斯·洛布（Arthur Loeb）發表了一篇針對艾雪作品《群星》的研究，其探討了星形四角化菱形十二面體的性質^[16]，然而《群星》中所出現的形狀不是星形四角化菱形十二面體而是三複合正八面體^[17]。後續的研究指出《瀑布》（英语：Waterfall_(M._C._Escher)）和《群星》中出現的2個相似的形狀是不同的形狀，前者是星形四角化菱形十二面體，後者是三複合正八面體^[7]。1971年吉本直貴發現了由兩個星形菱形十二面體拼湊成立方體的結構，並利用其發表了一種可以變形成星形四角化菱形十二面體的吉本魔方^[18]。

相關多面體與鑲嵌

星形四角化菱形十二面體可以將菱形十二面體透過四角化變換來完成，其等價於將菱形十二面體每個面替換成一個頂點和四個三角形^[19]，而菱形十二面體是一個由立方體透過康威變換的結果。其他也是由立方體透過康威變換的形狀有：

半正正八面体家族多面体

对称性: [4,3], (*432)							[4,3]^+, (432)	[1^+,4,3], (*332)	[4,3^+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

菱形十二面體	四角化菱形十二面體	星形四角化菱形十二面體	反平行四邊形二十四面體

星形四角化菱形十二面體是一種星形菱形十二面體，其他星形菱形十二面體有^[2]：

星形化次數	0	1	2	3
名稱	菱形十二面體	艾雪立體	(未獲命名)
圖像
星狀圖

星形四角化菱形十二面體堆砌

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星形四角化菱形十二面體可以獨立填滿三維空間^[8][20]，其所形成的幾何結構稱為星形四角化菱形十二面體堆砌。

 

星形四角化菱形十二面體堆砌

北炯立體

哲養·北炯曾在其論文中探討星形十二面體^[21]，但不慎將以五邊形組成的正十二面體之星形化體與菱形組成的菱形十二面體之星形化體搞混了。後來莫雷帝將其描述為在正十二面體的面上加入五角錐組成的立體^[22]，即小星形十二面體。 漢士·史梅斯特（Hans Smessaert）等人才以星形四角化菱形十二面體的結構完成北炯最初探討的議題^[23]。後來在部分文獻中，這種立體被稱為北炯立體（Béziau's solid）或北炯的星形菱形十二面體（Béziau's stellar rhombic dodecahedron）。

莫雷帝描述的北炯立體

漢士·史梅斯特描述的北炯立體

三複合正八面體

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三複合正八面體是一個外觀與星形四角化菱形十二面體十分相似的形狀，皆出現於艾雪的木版畫中。^[7][24]

 

三複合正八面體

四角化菱形十二面體

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星形四角化菱形十二面體與四角化菱形十二面體皆為菱形十二面體透過四角化變換後的結果，差別只在四角化時在面上加入之菱形錐的錐高不同，四角化菱形十二面體為加入的菱形錐^[19]，且其錐高不超過外接球的結果。

四角化菱形十二面體

星形四角化菱形十二面體

參見

• 吉本魔方

參考文獻

1. Chris (Kit) Wallace. Escher's Solid. kitwallace.co.uk. [2019-09-09]. 
2. George Hart. Stellations. georgehart.com. [2019-09-06]. （原始内容于2018-11-30）. 
3. Berger, Jonathan Bernard, The Design and Modeling of Periodic Materials with Novel Properties (PDF), UC Santa Barbara, 2014 [2019-11-14], （原始内容 (PDF)于2019-09-22） 
4. Escher, Maurits Cornelis, The Info List-MC Escher, TheInfoList.com 
5. Silva, Ederson Marcelino da; et al, Poliedros de Arquimedes, Catalan, Kepler-Poinsot, Platão e o Sólido de Escher: contribuições para o ensino e aprendizagem de poliedros (PDF), Universidade Tecnológica Federal do Paraná, 2018  引文格式1维护：显式使用等标签 (link)
6. Silva, Ederson Marcelino da, Poliedros de Arquimedes, Catalan, Kepler-Poinsot, Platão e o Sólido de Escher: contribuições para o ensino e aprendizagem de poliedros,^[5] 2018: p.60
7. The compound of three octahedra and a remarkable compound of three square dipyramids, the Escher's solid （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Livio Zefiro, University of Genova.
8. Ioana Mihaila. Tessellations from Group Actions and the Mystery of Escher’s Solid (PDF). [2013-05-09]. （原始内容存档于2013-06-27）. 
9. US patent 9370765,Peter Haaland,「Space-filling polyhedral sorbents」,发表于2016-06-21,发行于2016-06-21,指定于Innerproduct Partners Fund Lp , US 2016/0096164 A1 (PDF). [2019-09-09]. Suitable regular shaped space-filling polyhedra includ, but are not limited to, an acute golden rhombohedron, ...... an Escher's solid, ......and a truncated octahedron. 
10. Weisstein, Eric W. (编). Escher's Solid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
11. David I. McCooey. Other Solids: Escher's Solid. dmccooey.com. 2015 [2019-09-02]. （原始内容于2019-09-05）. 
12. Silva, Ederson Marcelino da, Poliedros de Arquimedes, Catalan, Kepler-Poinsot, Platão e o Sólido de Escher: contribuições para o ensino e aprendizagem de poliedros,^[5] 2018: p.85
13. . dmccooey.com. （原始内容存档于2019-09-05）. 
14. Luke, D. Stellations of the rhombic dodecahedron. The Mathematical Gazette. 1957, 337: 189–194. 
15. Bool, F. H.; Kist, J. R.; Locher, J. L.; and Wierda, F., M. C. Escher: His Life and Complete Graphic Work, New York: Harry N. Abrams, Inc.: p.323, 1992年9月1日, ISBN 9780810981133  引文格式1维护：冗余文本 (link)
16. Arthur Loeb, "Polyhedra in the Work of M.C. Escher," in Coxeter et al. (eds.), M.C. Escher: Art and Science, 1986.
17. George Hart. The Polyhedra of M.C. Escher. [2019-09-05]. （原始内容于2019-01-15）. 
18. Yoshimoto Cube No. 1 | MoMA Design Store. Museum of Modern Art Store. [20 August 2018]. （原始内容于2019-09-05）. 
19. Hexakis Octahedron. Florida Center for Instructional Technology, College of Education, University of South Florida. [2019-09-03]. （原始内容于2015-01-21）. 
20. Alan Holden, Shapes, Space and Symmetry, Columbia University Press, NY, 1971.
21. Béziau, Jean-Yves. New light on the square of oppositions and its nameless corner. Logical Investigations. 2003, 10 (2003): 218––232. 
22. Moretti, Alessio. The critics of paraconsistency and of many-valuedness and the geometry of oppositions. Logic and Logical Philosophy. 2010, 19 (1-2): 63––94. 
23. Smessaert, Hans and Demey, Lorenz, Béziau’s contributions to the logical geometry of modalities and quantifiers, The road to universal logic (Springer), 2015: 475––493 
24. Coxeter, H. S. M., A special book review: M. C. Escher: His life and complete graphic work, The Mathematical Intelligencer, 1985, 7 (1): 59–69, doi:10.1007/BF03023010  Coxeter's analysis of Stars is on pp. 61–62.

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. 星形四角化菱形十二面體. MathWorld.