在三複合正八面體中,由三個正八面體共同相交出來的區域是一個四角化六面體,其具有24個面,並可以視為在立方體的每個面上疊上四角錐的結果[3]。而四角化六面體的面皆可以與三複合正八面體的其中一個面共面,因此三複合正八面體也可以視為是一種星形四角化六面體,即四角化六面體的星形化體。另外有一種形式的四角化六面體也為等邊三角面多面體,其同樣是在立方體的每個面上疊上四角錐的結果,但加入的四角錐之錐高比卡塔蘭立體的四角化六面體更高,使得四角錐的側面變成正三角形(等邊三角形),並形成凹多面體,其正三角形面也與三複合正八面體的面位於相同的平面上;這是另外一個已知也與三複合正八面體的面位於相同的平面上的等邊三角面多面體。第三種已知也與三複合正八面體的面位於相同的平面上的幾何結構是六複合正四面體(英语:Compound of six tetrahedra),其為三複合正八面體的三個正八面體星形化成星形八面體的結果。第四種已知也與三複合正八面體的面位於相同的平面上的幾何結構同樣是三複合正八面體的星形化體,其排列方式與四角化六面體相同,但其加入的是倒錐體,即將立方體的面替換成向內凹陷的四角錐側面。[8]
在皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡的15世紀手稿《Libellus De Quinque Corporibus Regularibus》中,德拉·弗朗西斯卡描繪了圍繞著立方體內接的正八面體圖形,其立方體的其中八條邊分別位於正八面體的八個面上。若將三個正八面體以上述方式內接入立方體中則可以形成三複合正八面體,不過德拉·弗朗西斯卡並未描繪這種幾何結構[9]。
三個正八面體除了可以透過上述方式組合外,亦有其他組合方式,但通常會討論具有較高對稱性的形式。另一種對稱性較高的三複合正八面體是將正八面體視為三角反稜柱,三個三角反稜柱可以形成具有D3d、階數為12之對稱性的均勻角柱狀複合反角柱(英语:Prismatic compound of antiprisms),每個三角反稜柱皆相對於其他三角反稜柱旋轉了40度,其頂面可以視為是一個複合圖形組成的九角星,在施萊夫利符號中可以用{9/3}或3{3}表示。[13]
註解
^原文為:「It is remarkable that Escher, without any knowledge of algebra or analytic geometry, was able to rediscover this highly symmetrical figure.」
^Thull. Compound of Three Octahedra. origametry.net. [2019-09-18]. (原始内容于2021-05-08).
^ 2.02.1Bakos, T.; Johnson, Norman W., Octahedra inscribed in a cube, The Mathematical Gazette, 1959, 43 (343): 17–20, JSTOR 3608867
^ 3.03.13.23.33.4Coxeter, H. S. M., A special book review: M. C. Escher: His life and complete graphic work, The Mathematical Intelligencer, 1985, 7 (1): 59–69, doi:10.1007/BF03023010. The discussion of the compound of three octahedra is on pp. 61–62.
^Wenninger, M. J., Some interesting octahedral compounds, The Mathematical Gazette, 1968, 52 (379): 16–23, JSTOR 3614454
^Weisstein, Eric W. Octahedron 3-Compound. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-07]. (原始内容于2019-09-02).
^Cromwell, P.R. Polyhedra. Cambridge University Press. 1999: 363. ISBN 9780521664059. LCCN 96009420.
^McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822.
^Hart, George W., Piero della Francesca's Polyhedra, Virtual Polyhedra, 1998 [2019-09-09], (原始内容于2017-11-26).
^Brückner, Max, Vielecke und Vielflache, Leipzig: Teubner, p. 188 and Tafel VIII 12, 1900. As cited by Coxeter (1985).
^ 11.011.1Hart, George W., The Polyhedra of M.C. Escher, Virtual Polyhedra, 1996 [2019-09-09], (原始内容于2019-01-15).
^The compound of three octahedra and a remarkable compound of three square dipyramids, the Escher's solid (页面存档备份,存于互联网档案馆), Livio Zefiro, University of Genova.
^Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79 (3): 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440