十五面體

在幾何學中，十五面體是指具有15個面的多面體。在十五面體當中沒有任何一個形狀是正多面體，換言之即正十五面體並不存在，十五面體亦無法填充空間，換言之即空間填充十五面體並不存在^[1]:88。雖然正十五面體不存在，但仍有存在一些等面或等角的十五面體，亦有一些十五面體皆由正多邊形組成，例如十三角柱和雙五角錐柱。

十五面體

部分的十五面體
三角帳塔柱的對偶	雙五角錐柱
正十三角柱	七角錐柱

在化學中，有些原子簇呈十五面體^[2]。計算表明，有一種十五面體的晶胞在晶體中是穩定的^[3]。

此外，有一種帳篷的結構是設計為等十五面體。^[4]然而這個十五面體不包含底面，若計入底面，該立體應為十六面體。

凸十五面體

所有十五面體中一共有23,833,988,129個拓撲不同構的凸十五面體，不包括鏡像，並且至少需要包含10個頂點^[5]（如果兩個多面體具有本質上不同的面排列、邊與頂點的相接方式，則它們是“拓撲不同構”，因為如果兩個立體間有不同的面排列、邊與頂點的相接方式，則就無法僅透過改變邊的長度或邊或面之間的角度來將一個多面體形變成另一個）。

常見的十五面體

十三角柱

 

正十三角柱

十三角柱是一種底面為十三邊形的柱體，是十五面體的一種，其由15個面、26個頂點和39個邊組成。正十三角柱代表每個面都是正多邊形的十三角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個十三邊形的公共頂點，頂點圖以${\displaystyle 4{.}4{.}13}$ 表示，在施萊夫利符號中可以利用{13}×{} 或 t{2, 13}來表示；在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以利用     來表示；在威佐夫符號（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 13 | 2來表示；在康威多面體表示法中可以利用P13來表示。若一個正十三角柱底邊的邊長為${\displaystyle s}$ 、高為${\displaystyle h}$ ，則其體積${\displaystyle V}$ 和表面積${\displaystyle S}$ 為^[6]：

${\displaystyle V={\frac {13hs^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}}{4}}\approx 13.1858hs^{2}}$ 

${\displaystyle S=13s\left(h+{\frac {1}{2}}s\cot {\frac {\pi }{13}}\right)\approx 13s\left(h+2.02858s\right)}$ 

十四角錐

 

十四角錐

十四角錐是一種底面為十四邊形的錐體，是十五面體的一種，其具有15個面、28條邊和15個頂點，其對偶多面體是自己本身^[7]。正十四角錐是一種底面為正十四邊形的十四角錐。若一個正十四角錐底邊的邊長為${\displaystyle s}$ 、高為${\displaystyle h}$ ，則其體積${\displaystyle V}$ 和表面積${\displaystyle S}$ 為^[7]：

${\displaystyle V={\frac {7hs^{2}\cot {\frac {\pi }{14}}}{6}}\approx 5.1115hs^{2}}$ 

${\displaystyle S={\frac {7s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{14}}}}+s\cot {\frac {\pi }{14}}\right)}{2}}\approx 3.5s\left({\sqrt {4h^{2}+19.1957s^{2}}}+4.38129s\right)}$ 

詹森多面體

在詹森多面體中只有一種具有十五個面^[8]，其為雙五角錐柱。

雙五角錐柱

詹森多面體對偶

部分詹森多面體具有15個頂點^[9]，因此其對偶多面體為十五面體，這些立體有正五角帳塔的對偶、正三角帳塔柱的對偶、三側錐六角柱的對偶、側帳塔截角四面體的對偶等多面體。

正五角帳塔	三角帳塔柱	正三角帳塔反角柱
正五角帳塔的對偶 （十五面體）	三角帳塔柱的對偶 （十五面體）	正三角帳塔反角柱的對偶 （十五面體）

十五面體列表

名稱	種類	圖像	符號	頂點	邊	面	χ	面的種類	對稱性	展開圖
十三角柱	稜柱體		t{2,13} {13}x{}	26	39	15	2	2個十三邊形 13個矩形	D13h, [13,2], (*13 2 2)
十四角錐	稜錐體		( )∨{14}	15	28	15	2	1個十四邊形 14個三角形	C14v, [14], (*14 14)
七角錐柱	角錐柱			15	28	15	2	7個三角形 7個矩形 1個七邊形	D7h, [7,2], (*227), order 28
七角錐台錐	截角雙錐			15	28	15	2	7個三角形 7個梯形 1個七邊形	D7h, [7,2], (*227), order 28
雙五角錐柱	雙角錐柱 詹森多面體			12	25	15	2	10個三角形 5個正方形	D5h, [5,2], (*225)
正五角帳塔的對偶	詹森多面體的對偶			12	25	15	2	10個三角形 5個鷂形	D5h, [5,2], (*225)
三角帳塔柱的對偶	詹森多面體的對偶			14	27	15	2	6個等腰三角形 9個四邊形	C3v
正三角帳塔反角柱的對偶	詹森多面體的對偶			16	33	15	2	6個五邊形 3個四邊形 6個鷂形	C3v

参考资料

1. 帕克麥特. 數學大觀念2：從掐指一算到穿越四次元的數學魔術. 貓頭鷹書房. Mao tou ying chu ban. 2020 [2022-08-28]. ISBN 9789862624265. （原始内容于2022-08-28）. 
2. Montejano, JM and Rodríguez, JL and Gutierrez-Wing, C and Miki, M and José-Yacamán, M. Crystallography and Shape of Nanoparticles and Clusters (PDF). Encyclopedia of Nanoscience and Nanotechnology X. 2004: 1–44 [2022-08-28]. （原始内容 (PDF)于2022-08-28）. 
3. Lagunov, VA and Sinani, AB. Formation of a bistructure of a solid in a computer experiment. Physics of the Solid State (Springer). 1998, 40 (10): 1742–1747 [2022-08-28]. doi:10.1134/1.1130648. （原始内容于2022-08-28）. 
4. CN patent 201280830Y,卓新 & 吴建挺,「等十五面体帐篷结构」,发表于2009-07-29,指定于浙江大学和浙江展诚建设集团股份有限公司 
5. Counting polyhedra. numericana.com. [2022-08-28]. （原始内容于2016-05-06）. 
6. Wolfram, Stephen. "Tridecagonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
7. Wolfram, Stephen. "Tetradecagon pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
8. Johnson, Norman W. Convex Solids with Regular Faces. Canadian Journal of Mathematics. 1966, 18: 169–200. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. doi:10.4153/cjm-1966-021-8. 
9. Gagnon, Sylvain. Les polyèdres convexes aux faces régulières [Convex polyhedra with regular faces] (PDF). Structural Topology. 1982, (6): 83–95 [2022-08-28]. （原始内容 (PDF)于2017-12-12）.