正弦, sine, 重定向至此, 關於sine的其他意思, 請見, sine, 消歧义, 性質奇偶性奇定義域, 到達域, 周期2, displaystyle, displaystyle, circ, 特定值當x, 00當x, a當x, a最大值, displaystyle, left, left, tfrac, right, right, displaystyle, left, circ, circ, right, 最小值, displaystyle, left, left, tfrac, right, right. SINE 重定向至此 關於SINE的其他意思 請見 SINE 消歧义 正弦性質奇偶性奇定義域 到達域 1 1 周期2 p displaystyle 2 pi 360 displaystyle 360 circ 特定值當x 00當x N A當x N A最大值 2 k 1 2 p 1 displaystyle left left 2k tfrac 1 2 right pi 1 right 360 k 90 1 displaystyle left 360 circ k 90 circ 1 right 最小值 2 k 1 2 p 1 displaystyle left left 2k tfrac 1 2 right pi 1 right 360 k 90 1 displaystyle left 360 circ k 90 circ 1 right 其他性質渐近线N A根k p displaystyle k pi 180 k displaystyle 180 circ k 臨界點k p p 2 displaystyle k pi tfrac pi 2 180 k 90 displaystyle 180 circ k 90 circ 拐點k p displaystyle k pi 180 k displaystyle 180 circ k 不動點0k是一個整數 在數學中 正弦 英語 sine 縮寫sin displaystyle sin 是一種週期函數 是三角函数的一種 它的定义域是整个实数集 值域是 1 1 displaystyle 1 1 它是周期函数 其最小正周期为2 p displaystyle 2 pi 360 displaystyle 360 circ 在自变量为 4 n 1 p 2 displaystyle frac 4n 1 pi 2 360 n 90 displaystyle 360 circ n 90 circ 其中n displaystyle n 为整数 时 该函数有极大值1 在自变量为 4 n 3 p 2 displaystyle frac 4n 3 pi 2 360 n 270 displaystyle 360 circ n 270 circ 时 该函数有极小值 1 正弦函数是奇函数 其图像于原点对称 在半个最小正周期内 正弦函数有反函数 称为反正弦函数 目录 1 符号史 2 定义 2 1 直角三角形中 2 2 直角坐标系中 2 3 单位圆定义 2 4 級數定義 2 5 微分方程定义 2 6 指数定义 3 恒等式 3 1 用其它三角函数来表示正弦 3 2 两角和差公式 3 3 二倍角公式 3 4 三倍角公式 3 5 半角公式 3 6 和差化积公式 3 7 万能公式 4 含有正弦的积分 5 特殊值 6 正弦定理 7 参考文献 8 外部链接 9 參見符号史正弦的符号为sin displaystyle sin 取自拉丁文sinus 词源是梵文的jiva 弓弦 如今多写作jya 这个词在阿拉伯语里转写为jiba جيب 但该词无意义 阿拉伯语又好省略元音 故只写作jb جب 然而在从阿拉伯文翻译到拉丁文时 jb被解释为jayb جيب 意为 胸部 或 乳房 而拉丁文sinus便是克雷莫纳的杰拉德由此词翻译而来 该符号最早由法国数学家阿尔贝 热拉尔 Albert Gerard 使用 但他只使用了正弦 余弦和正切 其余三个符号则是被欧拉补足的 定义直角三角形中 直角三角形 C displaystyle angle C 為直角 A displaystyle angle A 的角度為8 displaystyle theta 對於 A displaystyle angle A 而言 a為對邊 b為鄰邊 c為斜邊 在直角三角形中 一个锐角 A displaystyle angle A 的正弦定义为它的对边与斜边的比值 也就是 sin 8 a c displaystyle sin theta frac mathrm a mathrm c 其定義與餘割函數互為倒數 直角坐标系中 设a displaystyle alpha 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角 P x y displaystyle P left x y right 是角的终边上一点 r x 2 y 2 gt 0 displaystyle r sqrt x 2 y 2 gt 0 是P到原点O的距离 则a displaystyle alpha 的正弦定义为 sin a y r displaystyle sin alpha frac y r 单位圆定义 单位圆 图像中给出了用弧度度量的某个公共角 逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角 设一个过原点的线 同x轴正半部分得到一个角8 displaystyle theta 并与单位圆相交 这个交点的y坐标等于sin 8 displaystyle sin theta 在这个图形中的三角形确保了这个公式 半径等于斜边并有长度1 所以有了sin 8 y 1 displaystyle sin theta frac y 1 单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式 对于大于2 p displaystyle 2 pi 或小于 2 p displaystyle 2 pi 的角度 简单的继续绕单位圆旋转 在这种方式下 正弦变成了周期为2p的周期函数 sin 8 sin 8 2 p k displaystyle sin theta sin left theta 2 pi k right 对于任何角度8 displaystyle theta 和任何整数k displaystyle k 級數定義 正弦函数 蓝色 的七阶泰勒公式 粉色 在以原点为中心的一个周期内紧密地逼近原函数 sin x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 n 0 1 n x 2 n 1 2 n 1 displaystyle sin x x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots sum n 0 infty frac 1 n x 2n 1 2n 1 微分方程定义 由于正弦的导数是余弦 余弦的导数是负的正弦 因此正弦函数满足初值問題 y y y 0 0 y 0 1 displaystyle y y y 0 0 y 0 1 这就是正弦的微分方程定义 指数定义 正弦函數的指數定義可由歐拉公式導出 sin 8 e i 8 e i 8 2 i displaystyle sin theta frac e i theta e i theta 2i 恒等式用其它三角函数来表示正弦 函数 sin cos tan csc sec cotsin 8 displaystyle sin theta sin 8 displaystyle sin theta 1 cos 2 8 displaystyle sqrt 1 cos 2 theta tan 8 1 tan 2 8 displaystyle frac tan theta sqrt 1 tan 2 theta 1 csc 8 displaystyle frac 1 csc theta sec 2 8 1 sec 8 displaystyle frac sqrt sec 2 theta 1 sec theta 1 1 cot 2 8 displaystyle frac 1 sqrt 1 cot 2 theta 两角和差公式 sin x y sin x cos y cos x sin y displaystyle sin left x y right sin x cos y cos x sin y sin x y sin x cos y cos x sin y displaystyle sin left x y right sin x cos y cos x sin y 二倍角公式 sin 2 8 2 sin 8 cos 8 displaystyle sin 2 theta 2 sin theta cos theta 三倍角公式 sin 3 8 3 sin 8 4 sin 3 8 displaystyle sin 3 theta 3 sin theta 4 sin 3 theta 半角公式 sin 8 2 1 cos 8 2 displaystyle sin frac theta 2 pm sqrt frac 1 cos theta 2 和差化积公式 sin 8 sin ϕ 2 sin 8 ϕ 2 cos 8 ϕ 2 displaystyle sin theta sin phi 2 sin left frac theta phi 2 right cos left frac theta phi 2 right sin 8 sin ϕ 2 cos 8 ϕ 2 sin 8 ϕ 2 displaystyle sin theta sin phi 2 cos left theta phi over 2 right sin left theta phi over 2 right 万能公式 sin a 2 tan a 2 1 tan 2 a 2 displaystyle sin alpha frac 2 tan frac alpha 2 1 tan 2 frac alpha 2 含有正弦的积分 sin c x d x 1 c cos c x displaystyle int sin cx dx frac 1 c cos cx sin x d x cos x displaystyle int sin x dx cos x sin n c x d x sin n 1 c x cos c x n c n 1 n sin n 2 c x d x for n gt 0 displaystyle int sin n cx dx frac sin n 1 cx cos cx nc frac n 1 n int sin n 2 cx dx qquad mbox for n gt 0 mbox sin 2 c x d x x 2 1 4 c sin 2 c x x 2 1 2 c sin c x cos c x displaystyle int sin 2 cx dx frac x 2 frac 1 4c sin 2cx frac x 2 frac 1 2c sin cx cos cx 1 sin x d x cvs x d x 2 cos x 2 sin x 2 cos x 2 sin x 2 cvs x 2 1 sin x displaystyle int sqrt 1 sin x dx int sqrt operatorname cvs x dx 2 frac cos frac x 2 sin frac x 2 cos frac x 2 sin frac x 2 sqrt operatorname cvs x 2 sqrt 1 sin x x sin c x d x sin c x c 2 x cos c x c displaystyle int x sin cx dx frac sin cx c 2 frac x cos cx c x n sin c x d x x n c cos c x n c x n 1 cos c x d x for n gt 0 displaystyle int x n sin cx dx frac x n c cos cx frac n c int x n 1 cos cx dx qquad mbox for n gt 0 mbox a 2 a 2 x 2 sin 2 n p x a d x a 3 n 2 p 2 6 24 n 2 p 2 for n 2 4 6 displaystyle int frac a 2 frac a 2 x 2 sin 2 frac n pi x a dx frac a 3 n 2 pi 2 6 24n 2 pi 2 qquad mbox for n 2 4 6 mbox sin c x x d x i 0 1 i c x 2 i 1 2 i 1 2 i 1 displaystyle int frac sin cx x dx sum i 0 infty 1 i frac cx 2i 1 2i 1 cdot 2i 1 sin c x x n d x sin c x n 1 x n 1 c n 1 cos c x x n 1 d x displaystyle int frac sin cx x n dx frac sin cx n 1 x n 1 frac c n 1 int frac cos cx x n 1 dx d x sin c x 1 c ln tan c x 2 displaystyle int frac dx sin cx frac 1 c ln left tan frac cx 2 right d x sin n c x cos c x c 1 n sin n 1 c x n 2 n 1 d x sin n 2 c x for n gt 1 displaystyle int frac dx sin n cx frac cos cx c 1 n sin n 1 cx frac n 2 n 1 int frac dx sin n 2 cx qquad mbox for n gt 1 mbox d x 1 sin c x 1 c tan c x 2 p 4 displaystyle int frac dx 1 pm sin cx frac 1 c tan left frac cx 2 mp frac pi 4 right x d x 1 sin c x x c tan c x 2 p 4 2 c 2 ln cos c x 2 p 4 displaystyle int frac x dx 1 sin cx frac x c tan left frac cx 2 frac pi 4 right frac 2 c 2 ln left cos left frac cx 2 frac pi 4 right right x d x 1 sin c x x c cot p 4 c x 2 2 c 2 ln sin p 4 c x 2 displaystyle int frac x dx 1 sin cx frac x c cot left frac pi 4 frac cx 2 right frac 2 c 2 ln left sin left frac pi 4 frac cx 2 right right sin c x d x 1 sin c x x 1 c tan p 4 c x 2 displaystyle int frac sin cx dx 1 pm sin cx pm x frac 1 c tan left frac pi 4 mp frac cx 2 right sin c 1 x sin c 2 x d x sin c 1 c 2 x 2 c 1 c 2 sin c 1 c 2 x 2 c 1 c 2 for c 1 c 2 displaystyle int sin c 1 x sin c 2 x dx frac sin c 1 c 2 x 2 c 1 c 2 frac sin c 1 c 2 x 2 c 1 c 2 qquad mbox for c 1 neq c 2 mbox 特殊值徑度 0 displaystyle 0 p 12 displaystyle frac pi 12 p 10 displaystyle frac pi 10 p 6 displaystyle frac pi 6 p 4 displaystyle frac pi 4 p 3 displaystyle frac pi 3 5 p 12 displaystyle frac 5 pi 12 sin 0 displaystyle 0 6 2 4 displaystyle frac sqrt 6 sqrt 2 4 5 1 4 displaystyle frac sqrt 5 1 4 1 2 displaystyle frac 1 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 2 3 2 displaystyle frac sqrt 3 2 6 2 4 displaystyle frac sqrt 6 sqrt 2 4 角度 0 displaystyle 0 circ 30 displaystyle 30 circ 45 displaystyle 45 circ 60 displaystyle 60 circ 90 displaystyle 90 circ sin 0 2 0 displaystyle frac sqrt 0 2 0 1 2 1 2 displaystyle frac sqrt 1 2 1 over 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 2 3 2 displaystyle frac sqrt 3 2 4 2 1 displaystyle frac sqrt 4 2 1 正弦定理主条目 正弦定理 正弦定理說明对于任意三角形 它的边是a displaystyle a b displaystyle b 和c displaystyle c 而相对这些边的角是A displaystyle A B displaystyle B 和C displaystyle C 有 sin A a sin B b sin C c displaystyle frac sin A a frac sin B b frac sin C c 也表示为 a sin A b sin B c sin C 2 R displaystyle frac a sin A frac b sin B frac c sin C 2R 它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明 在这个定理中出现的公共数sin A a displaystyle frac sin A a 是通过A displaystyle A B displaystyle B 和C displaystyle C 三点的圆的直径的倒数 正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度 这是三角测量中常见情况 参考文献外部链接 维基共享资源上的相關多媒體資源 正弦參見维基共享资源中相关的多媒体资源 正弦 数学主题 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 三角学 三角函数 函數 正弦波 取自 https zh wikipedia org w index php title 正弦 amp oldid 76568389, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,