等邊圖形
在幾何學中，等邊或稱邊可遞是指所有邊都相等的幾何圖形，同時其對稱性可以在其邊上傳遞。通俗地說，這意味著這個幾何結構中只有一種類型的邊，同時在這個立體上任選兩個邊，並透過平移、旋轉或鏡射等變換將一邊變換到另一個邊的位置時，其仍占有相同的空間區域。
邊可遞多邊形 编辑
邊可遞多邊形是偶數邊數的等边多边形。並非所有等边多边形都是邊可遞多邊形。邊可遞多邊形的對偶多邊形是等角多邊形。[1]
通常邊可遞2n邊形具有Dn (*nn)的二面體群對稱性。[2]例如菱形是一種邊可遞多邊形，並具備D2 (*22)的二面體群對稱性。[2]所有正多邊形都是邊可遞多邊形[3]:48，並具有2倍的最小對稱性階數：正n邊形具有Dn (*nn)的二面體群對稱性。
邊可遞2n邊形可以用符號{nα}來表示，其中α代表最外側的內角。第二外側的內角β可能大於或小於180度。星形多邊形也可以是邊可遞多邊形，其可以用符號{(n/q)α}來表示，其中q<n-1且n和q互質（gcd(n,q)=1），而q代表轉數或密度[4]。
| 邊數 （2n） | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {nα} 凸 β<180 凹 β>180 | {2α} | {3α} | {4α} | {5α} | {6α} | {7α} | {8α} |
| 2轉 {(n/2)α} | -- | {(3/2)α} | 2{2α} | {(5/2)α} | 2{3α} | {(7/2)α} | 2{4α} |
| 3轉 {(n/3)α} | -- | -- | {(4/3)α} | {(5/3)α} | 3{2α} | {(7/3)α} | {(8/3)α} |
| 4轉 {(n/4)α} | -- | -- | -- | {(5/4)α} | 2{(3/2)α} | {(7/4)α} | 4{2α} |
| 5轉 {(n/5)α} | -- | -- | -- | -- | {(6/5)α} | {(7/5)α} | {(8/5)α} |
| 6轉 {(n/6)α} | -- | -- | -- | -- | -- | {(7/6)α} | 2{(4/3)α} |
| 7轉 {(n/7)α} | -- | -- | -- | -- | -- | -- | {(8/7)α} |
邊可遞多面體與鑲嵌 编辑
所有正多面體都具備等面（面可遞）、等邊（邊可遞）和等角（點可遞）的特性[5]。
擬正多面體或擬正鑲嵌圖，例如截半立方體和截半二十面体，其同時具備了等角（點可遞）與等邊（邊可遞）的特性，但不具備等面（面可遞）的特性。[6][7]其對偶多面體，如菱形十二面體和菱形三十面體具備等面與等邊的特性，而不具備等角的特性。
| 擬正 多面體 | 對偶擬正 多面體 | 擬正 星形多面體 | 對偶擬正 星形多面體 | 擬正 鑲嵌圖 | 對偶擬正 鑲嵌圖 |
|---|---|---|---|---|---|
| 截半立方體具備等角與等邊的特性 | 菱形十二面體具備等面與等邊的特性 | 大截半二十面体為具備等角與等邊特性的星形多面體 | 大菱形三十面體為具備等面與等邊特性的星形多面體 | 截半六邊形鑲嵌為具備等角與等邊特性的鑲嵌圖 | 菱形鑲嵌為具備等面與等邊特性的鑲嵌圖 |
並非所有由正多邊形組成的多面體或鑲嵌都是邊可遞的，就算他所有邊都等長，也可能因為邊的相鄰面不同（稜的組成不同）而導致其不滿足邊可遞的特性。例如截角二十面體（足球的形狀）就不滿足邊可遞的特性，因為它具有兩種類型的邊：六邊形-六邊形公共邊和六邊形-五邊形公共邊，並且立體的對稱性不允許將六邊形-六邊形邊移動到六邊形-五邊形邊。
邊可遞多面體所有稜的二面角皆相等。
凸多面體的對偶多面體仍為凸多面體[8]；非凸多面體的對偶多面體也仍為非凸多面體[8]；邊可遞多面體的對偶多面體亦仍為邊可遞多面體。
參見 编辑
參考文獻 编辑
- ^ Guy, R.K. and Woodrow, R.E. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History. Spectrum. Mathematical Association of America. 2020. ISBN 9781470457310.
- ^ 2.0 2.1 M Koca and N O Koca. Quasi Regular Polyhedra and Their Duals with Coxeter Symmetries Represented by Quaternions I. Journal of Physics: Conference Series (IOP Publishing). 2011-04, 284: 012039. doi:10.1088/1742-6596/284/1/012039.
- ^ Bisztriczky, T. and McMullen, P. and Schneider, R. and Weiss, A.I. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Nato Science Series C:. Springer Netherlands. 2012 [2022-07-10]. ISBN 9789401109246. （原始内容于2022-07-14）.
- ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns . W. H. Freeman. 1987. ISBN 978-0-7167-1193-3. 2.5 Tilings using star polygons, pp.82-85.
- ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Quasiregular Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ George W. Hart. Quasiregular polyhedra. [2022-07-11]. （原始内容于2013-05-24）.
- ^ 8.0 8.1 duality. maths.ac-noumea.nc. [2020-09-30]. （原始内容于2021-05-08）.
- Peter R. Cromwell. [[:多面體 (書籍)|Polyhedra]]. Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-55432-2. 网址－维基内链冲突 (帮助) p. 371 Transitivity