康托尔空间

在数学中，以格奥尔格·康托尔命名的康托尔空间是对经典康托尔集的拓扑学抽象：即与康托尔集同胚的拓扑空间。在集合论中，拓扑空间2^ω也就是康托尔空间。

例子

康托尔集自身就组成康托尔空间不过，康托尔空间的一般标准例子是可数无限多个离散两点空间{0, 1}的积，一般写作${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ 或2^ω（其中2表示离散拓扑中的2-元素集合{0,1}）。2^ω中的一个点是一个由0和1组成的无穷二进制序列，给定这样一个序列a₀，a₁，a₂……，可以将其映射为实数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n+1}}}}$ 

这个映射指出了从2^ω到康托尔集的同胚，表明2^ω是一个康托尔空间。

康托尔空间常见于实分析。例如，它们作为子空间存在于每个完美完备空间（要了解这一点，请注意在这样的空间中，任何非空完美集都包含两个直径任意小的不交非空完美子集，因此我们可以模仿通常的康托尔集的构造。）。另外，每个可分不可数完全可度量空间都有康托尔空间作为其子空间。这包括实分析中的大多数常见空间。

特征

布劳威尔定理给出了康托尔空间的拓扑特征：^[1]

任意两个无孤点、非空的紧豪斯多夫空间（有可数基，包含闭开集）都是互相同胚的。

具有由闭开集构成的基的拓扑空间，也称为“零维空间”。布劳威尔定理可以重述为

拓扑空间是康托尔空间，当且仅当其非空、是完美集、是紧空间、是完全不连通空间、是可度量的。

该定理还通过Stone布尔代数表示定理等价于：任意两个可数无原子布尔代数都同构。

性质

正如布劳威尔定理指出的那样，康托尔空间可以以多种形式出现。但是，康托尔空间的许多性质都可以用2^ω确定，因为康托尔空间可以构造为它们的积。

康托尔空间有以下性质：

• 任何康托尔空间的势是${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ，也就是连续统的势。
• 两个（直至任何有限个或可数个）康托尔空间的积仍然是康托尔空间。这一事实与康托尔函数一同，可以构造空间填充曲线。
• 当且仅当一个（非空）豪斯多夫拓扑空间是一个康托尔空间的连续像时，它是紧可度量空间。^[2][3][4]

令C(X)表示拓扑空间X上所有实值有界连续函数的空间；令K表示紧可度量空间，令Δ表示康托尔集。那么康托尔集具有以下性质：

• C(K)与C(Δ)的一个闭子空间等距同构。^[5]

一般来说，这种同构性不唯一，因此并不是范畴论意义上的泛性质。

• 康托尔空间的所有同胚群都是单群。^[6]

另见

• 空间 (数学)
• 康托尔集
• 康托尔立方体

参考文献

1. Brouwer, L. E. J., On the structure of perfect sets of points (PDF), Proc. Koninklijke Akademie van Wetenschappen, 1910, 12: 785–794 .
2. N.L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, London Mathematical Society Student Texts 64, (2005) Cambridge University Press. See Chapter 12
3. Willard, op.cit., See section 30.7
4. Pugh "Real Mathematical Analysis" Page 108-112 Cantor Surjection Theorem. 
5. Carothers, op.cit.
6. R.D. Anderson, The Algebraic Simplicity of Certain Groups of Homeomorphisms, American Journal of Mathematics 80 (1958), pp. 955-963.

• Kechris, A. Classical Descriptive Set Theory  Graduate Texts in Mathematics 156. Springer. 1995. ISBN 0-387-94374-9.  含有內容需登入查看的頁面 (link)