康托尔函数, 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑, 2014年1月22日, 請邀請適合的人士改善本条目, 更多的細節與詳情請參见討論頁, 在数学中, 以数学家格奥尔格, 康托尔命名的, 是一个一致连续, 却不绝对连续的函数, 区间, 上的, 目录, 定义, 其它定义, 性质构造, 迭代构造定义, 编辑, 对于x, 其函数值c, 可由以下步骤得到, 以三进制表示x, 如果x中有数字1, 就将第一个1之后的所有数字换成0, 将所有数字2换成数字1, 以二进制读取转换之后的数, 这个数即为c, 例如, 4以. 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑 2014年1月22日 請邀請適合的人士改善本条目 更多的細節與詳情請參见討論頁 在数学中 以数学家格奥尔格 康托尔命名的康托尔函数 是一个一致连续 却不绝对连续的函数 区间 0 1 上的康托尔函数 目录 1 定义 2 其它定义 2 1 性质构造 2 2 迭代构造定义 编辑康托尔函数 c 0 1 0 1 对于x 0 1 其函数值c x 可由以下步骤得到 以三进制表示x 如果x中有数字1 就将第一个1之后的所有数字换成0 将所有数字2换成数字1 以二进制读取转换之后的数 这个数即为c x 例如 1 4以三进制表示为0 020202 其中并没有1 因此经过第二步仍然是0 020202 第三步转换为0 010101 将其视为二进制 则为1 3 因此c 1 4 1 3 1 5以三进制表示为0 01210121 第二步转换为0 01 由于其中没有2 因此经过第三步后仍是0 01 视为二进制则为1 4 因此c 1 5 1 4 200 243以三进制表示为0 21102 即0 2110122222 第二步转换为0 21 第三步转换为0 11 视为二进制则为3 4 因此c 200 243 3 4 其它定义 编辑性质构造 编辑 若在 0 1 上定义的f x 满足下列四个条件 则f x 即为康托尔函数 1 0 x lt y 1 f x f y displaystyle forall 0 leq x lt y leq 1 f x leq f y nbsp f 0 0 displaystyle f 0 0 nbsp f 1 3 x 1 2 f x displaystyle f frac 1 3 x frac 1 2 f x nbsp f 1 x 1 f x displaystyle f 1 x 1 f x nbsp 迭代构造 编辑 nbsp 下面我们构造一个函数序列 fn x 这个序列将收敛于康托尔函数 首先定义 f 0 x x displaystyle f 0 x x nbsp 接下来 对于每个正整数n 函数fn 1 x 都由函数fn x 定义 f n 1 x 1 2 f n 3 x if 0 x lt 1 3 1 2 if 1 3 x lt 2 3 1 2 1 2 f n 3 x 2 if 2 3 x 1 displaystyle f n 1 x begin cases frac 1 2 times f n 3x amp mbox if 0 leq x lt frac 1 3 frac 1 2 amp mbox if frac 1 3 leq x lt frac 2 3 frac 1 2 frac 1 2 times f n 3x 2 amp mbox if frac 2 3 leq x leq 1 end cases nbsp 检查 fn x 是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数 我们可以发现 max x 0 1 f n 1 x f n x 1 2 max x 0 1 f n x f n 1 x n 1 displaystyle max x in 0 1 f n 1 x f n x leq frac 1 2 max x in 0 1 f n x f n 1 x quad n geq 1 nbsp 设f x 是极限函数 那么对于任意非负整数n都有 max x 0 1 f x f n x 2 n 1 max x 0 1 f 1 x f 0 x displaystyle max x in 0 1 f x f n x leq 2 n 1 max x in 0 1 f 1 x f 0 x nbsp 另外可以注意到只要满足f0 0 0 f0 1 1 且f0 有界 起始函数f0 x 具体是什么函数并不重要 Weisstein Eric W 编 Cantor Function at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 2014 01 23 原始内容存档于2019 02 14 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 康托尔函数 amp oldid 74740936, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,