四次平面曲线

四次平面曲线（quartic plane curve）是四次（英语：degree of a polynomial）的平面代數曲線，可以表示為以下的多變數四次方程：

${\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,}$

A, B, C, D, E中至少要有一個不為0。方程式有15個常數，不過方程式若乘以非零的任意數，不會改變曲線，因此可以將其中一個常數固定為1，留下14個可調整的常數。四次曲线的空間可以視為是${\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}}$的实射影空间。依照克萊姆定理（英语：Cramer's theorem (algebraic curves)），若考慮一般位置下14個不同的點，通過這十四個點的四次平面曲线唯一，因此四次平面曲线的自由度為14。

四次曲线最多可以有：

• 四個相連的部份
• 28個雙切線（英语：bitangent）
• 3個一般的二重點。

也可以考慮在其他數學域（甚至是环）中的四次曲线，例如在复数中的四次曲线。此時可以得到黎曼曲面，在C上是一維的物件，但在R上是二維的物件。例如Klein四次曲線（英语：Klein quartic），另外也可以探討射影平面下的曲線，由齐次多项式所定義。

舉例

 

&符號曲線

 

Bean曲線

 

Bicuspid曲線

 

Bow 曲線

 

Cruciform曲線，紅色的參數(b,a)為(1,1)，綠色的參數為(2,2)

 

Cruciform曲線，紅色的參數(b,a)為(1,1)，綠色的參數為(2,1)，藍色的參數為(3,1)

 

Spiric截面（英语：Spiric section）

 

笛卡儿坐标系下的三葉線

 

极坐标系下的三葉線

上述曲線中，係數的不同組合產生了以下重要的曲線族。

Bicorn（英语：Bicorn） 子弹头曲线（英语：Bullet-nose curve） 笛卡儿椭圆形（英语：Cartesian oval） 卡西尼卵形线 三尖瓣线 Hippopede（英语：Hippopede） 杖头线 Klein四次曲線（英语：Klein quartic）

双扭线 伯努利双纽线 8字型线 帕斯卡蜗线 Lüroth四次曲線（英语：Lüroth quartic） Spiric截面（英语：Spiric section） 方圓形 拉梅的特殊四次曲線（英语：Lamé's special quartic） 環面截面（英语：Toric section） 特洛特曲线（英语：Trott curve）

&符號曲線

&符號曲線（ampersand curve）是以下方程對應的四次曲線

${\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$ 

其亏格為0，有三個一般的雙點，都在實數平面上。^[1]

Bean曲線

Bean曲線（bean curve）是以下方程對應的四次曲線

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}$ 

其亏格為0，在原點有一個奇点，是一個一般的三次點^[2][3]。

Bicuspid曲線

bicuspid是方程式如下的四次曲線：

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}$ 

其中a決定了曲線的大小。 bicuspid只有二個node為奇異點，因此是虧格為1的曲線。 ^[4]

Bow曲線

Bow曲線是方程式如下的四次曲線：

${\displaystyle x^{4}=x^{2}y-y^{3}.\,}$ 

在x=0, y=0處有單一的三重點，是有理曲線，虧格為0。 ^[5]

Cruciform曲線

Cruciform曲線是以下方程的四次曲線

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$ 

其中a和b為決定曲線形狀的参数。 Cruciform曲線可以透過一個標準的二次變換x ↦ 1/x, y ↦ 1/y轉變為橢圓a²x² + b²y² = 1，因此是虧格為0的有理平面代數曲線。Cruciform曲線在实射影平面中有三個雙重點，是（x=0、y=0），（x=0 、z=0） 以及（y=0、z=0）。 ^[6]

此曲線是有理曲線，參數化後的結果也是有理函數。例如，令a=1及b=2，可得以下的參數式

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$ 

其中唯一一個無法參數化的點是會讓參數式分母為零的點。

Spiric截面

Spiric截面（英语：Spiric section）可以定義成對x軸及y軸對稱的圓代數（英语：Circular algebraic curve）四次平面曲线。Spiric截面包括在環面曲線中，其中包括了hippopede（英语：hippopede）及卡西尼卵形线。其英文名稱Spiric源自古希臘文的環面σπειρα。

笛卡儿坐标系下的方程式為

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$ 

極座標系的方程式為

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$ 

三葉線

三葉線（three-leaved clover）是以下方程的四次平面曲線

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$ 

在求解y後，曲線可以表示為以下的方程：

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}$ 

其中二個±是彼此獨立的，因此每一個x會對應四個y值。

三葉線的參數式為

${\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}$ ^[7]

在極坐標（x = r cos φ, y = r sin φ）下的方程如下

${\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}$ 

這是玫瑰线中k = 3的特例。 三葉線在原點處為三重點，有三個二切線。

參考資料

1. Weisstein, Eric W. (编). Ampersand Curve. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
2. Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P., Mathematical models 2nd, Clarendon Press, Oxford: 72, 1961 [1952], ISBN 978-0-906212-20-2, MR 0124167 
3. 埃里克·韦斯坦因. Bean Curve. MathWorld. 
4. Weisstein, Eric W. (编). Bicuspid Curve. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
5. Weisstein, Eric W. (编). Bow. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
6. Weisstein, Eric W. (编). Cruciform curve. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
7. Gibson, C. G., Elementary Geometry of Algebraic Curves, an Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3. Pages 12 and 78.