環面曲線

環面曲線（toric section）是平面和環面相交形成的曲線，正如圓錐曲線是圓錐面和平面相交而成的。其方程為：

伯努利雙紐線的外形如∞

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0}$

它們都是四次曲線。

伯努利雙紐線

伯努利雙紐線（Lemniscate of Bernoulli）的方程為

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})}$ 

求雙紐線的弧長需要應用橢圓積分。雙紐線可視為雙曲線的反演變換，反演圓心在双曲线的中心。

卡西尼卵形線

 

卡西尼卵形線

取兩個定點${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ 為焦點。卡西尼卵形線（Cassini oval）是所有這樣的點P的軌跡：${\displaystyle P}$ 和焦點的距離的積為常數（這類似橢圓的定義——點${\displaystyle P}$ 和焦點的距離的和為常數）。即${\displaystyle d(P,Q_{1})\times d(P,Q_{2})=b^{2}}$ 。

在直角坐標系，若焦點分別在${\displaystyle (a,0)}$ 和${\displaystyle (-a,0)}$ ，卵形線的方程可寫成：

${\displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}}$ 

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}}$ 

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}=b^{4}}$ 

在極坐標系：

${\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}}$ 

卵形線經過反演變換，依然是卵形線。

卵形線的形狀由${\displaystyle b/a}$ 的值決定。若${\displaystyle b/a>1}$ ，軌跡是一個封閉的圈。若${\displaystyle b/a<1}$ ，軌跡是兩個封閉的圈。若${\displaystyle b/a=1}$ ，軌跡為伯努利雙紐線。

Hippopede曲線

 

Hippopedes: a=1, b=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0

 

Hippopedes: b=1, a=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0

Hippopede曲線（或Hippopede of Proclus）的極坐標方程為：

${\displaystyle r^{2}=4b(a-b\sin ^{2}\theta )}$ 

直角坐標系：

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4b(b-a)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}}$ 

當${\displaystyle b=2a}$ ，Hippopede曲線為伯努利雙紐線。