玫瑰线

玫瑰线是极坐标系中的正弦曲线，可以用以下的方程来表示：

七个瓣的玫瑰线

八个瓣的玫瑰线（k=4）

各种各样的玫瑰线

${\displaystyle \!\,r=\cos(k\theta ).}$

如果k是偶数，玫瑰线就有2k个瓣，如果k是奇数，则有k个瓣。

如果k是有理数，玫瑰线就是封闭的，其长度有限。如果k是无理数，则曲线不是封闭的，长度为无穷大。在这种情况下，玫瑰线的图形便形成了一个稠密集。

由于对于所有的${\displaystyle \theta }$，都有：

${\displaystyle \sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)}$

因此由以下方程所确定的玫瑰线

${\displaystyle \,r=\sin(k\theta )}$和${\displaystyle \,r=\cos(k\theta )}$

除了角度的不同以外，是全等的。

面积

由以下方程所确定的玫瑰线

${\displaystyle r=a\cos(k\theta )\,}$ 

其中k是正整数，具有面积：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}$ 

如果k是偶数；

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}$ 

如果k是奇数。

相同的公式也适用于以下形式的玫瑰线：

${\displaystyle r=a\sin(k\theta )\,}$ 

参见

• 利萨茹曲线
• 四叶线──k=2时的玫瑰线。

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Rose. MathWorld.