利萨茹曲线

数学上，利萨茹（Lissajous）曲线（又称利萨茹图形、李萨如图形或鲍迪奇（Bowditch）曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

示波器上的利萨茹图形

三维利萨茹图形

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

数学定义

利萨茹曲线由以下参数方程定义：

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(\theta )\\y(\theta )=b\sin(n\theta +\phi )\end{cases}}}$ 

其中${\displaystyle 0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}}$ ，${\displaystyle n\geq 1\,}$ 。

$n$ 称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则${\displaystyle n={\frac {q}{p}}\,}$ ，参数方程可以写作：

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(p\theta )\\y(\theta )=b\sin(q\theta +\phi )\\0\leq \theta \leq 2\pi \end{cases}}}$ ，

其中${\displaystyle 0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2p}}}$ 。

性质

• 若$n$ 为无理数，曲线在长方形${\displaystyle [-a,a]\times [-b,b]}$ 中稠密。
• 若$n$ 为有理数，
  • 曲线是$2q$ 次代数曲线若${\displaystyle \phi \in \left(0,{\frac {\pi }{2p}}\right]}$ 对奇数$p$ ，或${\displaystyle \phi \in \left[0,{\frac {\pi }{2p}}\right)}$ 对偶数$p$ 。
  • 曲线是$q$ 次代数曲线的一部份若${\displaystyle \phi =0\,}$ 对奇数$p$ ，或${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2p}}}$ 对偶数$p$ 。

• 若$n$ 为偶数而${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ ，或若$n$ 为奇数而${\displaystyle \phi =0\,}$ ，则曲线是第$n$ 个切比雪夫多项式$T_{n}$ 的曲线的一部份。

特别情况

• 若$a=b$ ，$n=1$ ，则曲线是椭圆。
  • 若${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ ，则这椭圆其实是圆。
  • 若${\displaystyle \phi =0\,}$ ，则这椭圆其实是线段。
• 若$a=b$ ，${\displaystyle n=q=2}$ （所以$p=1$ ），则曲线是besace。
  • 若${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ ，则这besace是拋物线一部份。
  • 若${\displaystyle \phi =0\,}$ ，则这besace是一个热罗诺双纽线。

以下是利萨茹曲线的例子，其中${\displaystyle \phi =0}$ ，$a=b$ , $p$ 是奇数，$q$ 是偶数，${\displaystyle |p-q|=1}$ 。

•  

  p = 1, q = 2

•  

  p = 3, q = 2

•  

  p = 3, q = 4

•  

  p = 5, q = 4

•  

  p = 5, q = 6

•  

  p = 9, q = 8

•  

频率比1:n和n:1的情况

Δφ	1:1	1:2	1:3		2:1
0
¹/₄·π
¹/₂·π
³/₄·π
1·π
1¹/₄·π
1¹/₂·π
1³/₄·π
2·π

频率比n₁:n₂的情况

Δφ	2:3		Δφ	3:4
0			0
¹/₂·¹/₄·π			¹/₃·¹/₄·π
¹/₂·¹/₂·π			¹/₃·¹/₂·π
¹/₂·³/₄·π			¹/₃·³/₄·π
¹/₂·π			¹/₃·π
5/8·π			5/12·π
³/₄·π			¹/₂·π
7/8·π			7/12·π
1·π			²/₃·π

演示

鼠标悬浮在两个数字上时，通过滚轮可以调节数字大小。

在電子學上的應用

藉由使用利萨茹圖形可以測量出兩個信號的頻率比與相位差。

外部連結

• 利萨茹曲线的Java 3D示範 （页面存档备份，存于互联网档案馆）