可表函子, 是在数学中范畴论里的概念, 指从任意范畴到集合范畴的一种特殊函子, 这种函子将抽象的范畴表达成人们熟知的结构, 即集合与函数, 从而使得对集合范畴的了解可以尽可能应用到其它环境中, 从另外一个角度看, 范畴的是随范畴而生的, 因此, 理论可以视作偏序集合理论中的上闭集合以及群论中的凱萊定理的极大的推广, 目录, 定义, 泛元素, 范例, 性质, 唯一性, 保极限性, 左伴随, 与泛态射及伴随的关联, 注释, 参考文献定义, 编辑设, displaystyle, mathcal, nbsp, 为局部小范畴. 可表函子是在数学中范畴论里的概念 指从任意范畴到集合范畴的一种特殊函子 这种函子将抽象的范畴表达成人们熟知的结构 即集合与函数 从而使得对集合范畴的了解可以尽可能应用到其它环境中 从另外一个角度看 范畴的可表函子是随范畴而生的 因此 可表函子理论可以视作偏序集合理论中的上闭集合以及群论中的凱萊定理的极大的推广 目录 1 定义 2 泛元素 3 范例 4 性质 4 1 唯一性 4 2 保极限性 4 3 左伴随 5 与泛态射及伴随的关联 6 注释 7 参考文献定义 编辑设 C displaystyle mathcal C nbsp 为局部小范畴 并记集合范畴为 S e t displaystyle mathbf Set nbsp 对 C displaystyle mathcal C nbsp 中的每个对象 A displaystyle A nbsp 以 Hom A displaystyle operatorname Hom A nbsp 指代将对象 X displaystyle X nbsp 映到集合 Hom A X displaystyle operatorname Hom A X nbsp 的Hom函子 函子 F C S e t displaystyle F mathcal C to mathbf Set nbsp 是可表的当存在某个 C displaystyle mathcal C nbsp 中的对象 A displaystyle A nbsp 使得 F displaystyle F nbsp 自然同构于 Hom A displaystyle operatorname Hom A nbsp 而满足 F Hom A F displaystyle Phi operatorname Hom A to F nbsp 为自然同构的对 A F displaystyle A Phi nbsp 则称为 F displaystyle F nbsp 的一个表示 从 C displaystyle mathcal C nbsp 到 S e t displaystyle mathbf Set nbsp 的反变函子 G displaystyle G nbsp 不过是 协变 函子 G C o p S e t displaystyle G mathcal C mathrm op to mathbf Set nbsp 常被称作预层 与协变的情况相似 预层是可表的当它自然同构与某个反变的Hom函子 Hom A displaystyle operatorname Hom A nbsp 其中 A displaystyle A nbsp 是 C displaystyle mathcal C nbsp 中的某个对象 泛元素 编辑根据米田引理 从 Hom A displaystyle operatorname Hom A nbsp 到 F displaystyle F nbsp 的自然变换与集合 F A displaystyle F A nbsp 一一对应 给定自然变换 F Hom A F displaystyle Phi operatorname Hom A to F nbsp 与之对应的元素 u F A displaystyle u in F A nbsp 由 u F A i d A displaystyle u Phi A mathrm id A nbsp 给出 反之 给定元素 u F A displaystyle u in F A nbsp 可以如下定义自然变换 F Hom A F displaystyle Phi operatorname Hom A to F nbsp F X f F f u displaystyle Phi X f Ff u nbsp 其中 f displaystyle f nbsp 是 Hom A X displaystyle operatorname Hom A X nbsp 中的任意元素 为了得到 F displaystyle F nbsp 的表示 我们需要确定 u displaystyle u nbsp 诱导的自然变换何时会是同构 这引导出如下定义 函子 F C S e t displaystyle F mathcal C to mathbf Set nbsp 的泛元素是由 C displaystyle mathcal C nbsp 中的对象 A displaystyle A nbsp 与 F A displaystyle F A nbsp 中的元素 u displaystyle u nbsp 组成的一对 A u displaystyle A u nbsp 使得对于任意满足 v F X displaystyle v in F X nbsp 的对 X v displaystyle X v nbsp 都存在唯一映射 f A X displaystyle f A to X nbsp 使得 F f u v displaystyle Ff u v nbsp 泛元素还可看作从单点集合 displaystyle cdot nbsp 到函子 F displaystyle F nbsp 的泛态射 又或者看作 F displaystyle F nbsp 的元素范畴中的始对象 这样 由元素 u F A displaystyle u in F A nbsp 诱导的自然变换是自然同构当且仅当 A u displaystyle A u nbsp 是 F displaystyle F nbsp 的泛元素 由此可以得出 F displaystyle F nbsp 的表示与 F displaystyle F nbsp 的泛元素之间的一一对应 为此 泛元素 A u displaystyle A u nbsp 常常也被称为表示 范例 编辑考虑反变函子 P S e t S e t displaystyle P mathbf Set to mathbf Set nbsp 将集合映到其冪集 将函数映到其原像映射 要表示这个函子 我们需要一对 A u displaystyle A u nbsp 其中 A displaystyle A nbsp 是集合而 u displaystyle u nbsp 是 A displaystyle A nbsp 的子集 即 P A displaystyle P A nbsp 中的元素 使得对于任意集合 X displaystyle X nbsp 态射集合 Hom X A displaystyle operatorname Hom X A nbsp 通过函数 F X f P f u f 1 u displaystyle Phi X f Pf u f 1 u nbsp 与 P X displaystyle P X nbsp 双射 取 A 0 1 displaystyle A 0 1 nbsp 及 u 1 displaystyle u 1 nbsp 那么给定任意子集 S X displaystyle S subseteq X nbsp 对应的函数 X A displaystyle X to A nbsp 正是 S displaystyle S nbsp 的示性函数 映到 S e t displaystyle mathbf Set nbsp 的遺忘函子常常是可表的 特别地 每当 A displaystyle A nbsp 是由单个生成元 u displaystyle u nbsp 组成的单元素集合上的自由對象 遗忘函子都由 A u displaystyle A u nbsp 所表示 如 群范畴上的遗忘函子 G r p S e t displaystyle mathbf Grp to mathbf Set nbsp 由 Z 1 displaystyle mathbb Z 1 nbsp 所表示 环范畴上的遗忘函子 R i n g S e t displaystyle mathbf Ring to mathbf Set nbsp 由整系数单变元多项式环 Z x x displaystyle mathbb Z x x nbsp 所表示 k displaystyle k nbsp 向量空间范畴上的遗忘函子 k V e c t S e t displaystyle k textrm mathbf Vect to mathbf Set nbsp 由 k 1 displaystyle k 1 nbsp 所表示 拓撲空間範疇上的遗忘函子 T o p S e t displaystyle mathbf Top to mathbf Set nbsp 由单元素拓扑空间和其唯一元素所表示 群 G displaystyle G nbsp 甚至广群 可以视作只有单个对象 记作 displaystyle cdot nbsp 的范畴 从这个范畴 G displaystyle G nbsp 到 S e t displaystyle mathbf Set nbsp 的每个函子都对应于一个 G displaystyle G nbsp 集合 其中从 G displaystyle G nbsp 到 S e t displaystyle mathbf Set nbsp 唯一的Hom函子 Hom displaystyle operatorname Hom cdot nbsp 对应于底集合为 G displaystyle G nbsp 作用为 G displaystyle G nbsp 中左乘法的典范 G displaystyle G nbsp 集合 借助群论中的标准论证可知从 G displaystyle G nbsp 到 S e t displaystyle mathbf Set nbsp 函子可表当且仅当其对应的 G displaystyle G nbsp 集合为正则的 即自由且可递 这类 G displaystyle G nbsp 集合也称为 G displaystyle G nbsp 旋子或堆 而为这个函子选择一个表示即相当于为这个堆选择一个恒等元 设 C displaystyle mathcal C nbsp 为对象是CW复形 态射为连续映射的同伦类的范畴 对于每个自然数 n displaystyle n nbsp 存在一个反变函子 H n C A b displaystyle H n mathcal C to mathbf Ab nbsp 将每个CW复形映到其 n displaystyle n nbsp 阶 整系数 上同调群 与阿贝尔群范畴上的遗忘函子复合后即得到一个从 C displaystyle mathcal C nbsp 到 S e t displaystyle mathbf Set nbsp 的反变函子 代数拓扑中的布朗可表性定理声明这个函子可由一个CW复形 K Z n displaystyle K mathbb Z n nbsp 所表示 这个CW复形被称为艾伦伯格 麦克兰恩空间 性质 编辑唯一性 编辑 函子的表示在同构的意义下唯一 换言之 如果 A 1 F 1 displaystyle A 1 Phi 1 nbsp 与 A 2 F 2 displaystyle A 2 Phi 2 nbsp 表示同一个函子 那么存在唯一的同构 f A 1 A 2 displaystyle varphi A 1 to A 2 nbsp 使得 F 1 1 F 2 H o m f displaystyle Phi 1 1 circ Phi 2 mathrm Hom varphi nbsp 作为从 Hom A 2 displaystyle operatorname Hom A 2 nbsp 到 Hom A 1 displaystyle operatorname Hom A 1 nbsp 自然同构相等 这一事实可由米田引理简单得出 用泛元素的语言表述如下 如果 A 1 u 1 displaystyle A 1 u 1 nbsp 与 A 2 u 2 displaystyle A 2 u 2 nbsp 表示同一个函子 那么存在唯一的同构 f A 1 A 2 displaystyle varphi A 1 to A 2 nbsp 使得 F f u 1 u 2 displaystyle F varphi u 1 u 2 nbsp 保极限性 编辑 可表函子自然同构于Hom函子 因而享有许多后者的性质 尤其值得注意的是 协变 可表函子保持所有极限 由此可得 未能保持某些极限的函子都不是可表的 相似地 反变可表函子把餘极限映到极限 左伴随 编辑 如果函子 K C S e t displaystyle K mathcal C to mathbf Set nbsp 带有左伴随 F S e t C displaystyle F mathbf Set to mathcal C nbsp 那么它就可由 F X h X displaystyle FX eta X cdot nbsp 表示 这里 X displaystyle X cdot nbsp 是某个单元素集合 而 h displaystyle eta nbsp 是伴随的单位 反之 如果 K displaystyle K nbsp 由对 A u displaystyle A u nbsp 表示 且 A displaystyle A nbsp 的任意上幂 1 在 C displaystyle mathcal C nbsp 中都存在 那么 K displaystyle K nbsp 拥有左伴随 F displaystyle F nbsp 后者将任意集合 I displaystyle I nbsp 映到 A displaystyle A nbsp 的 I displaystyle I nbsp 次上幂 所以 如果 C displaystyle mathcal C nbsp 是带所有上幂的范畴 则函子 K C S e t displaystyle K mathcal C to mathbf Set nbsp 是可表的当且仅当它拥有左伴随 与泛态射及伴随的关联 编辑泛态射和伴随函子这两个范畴论概念都可以用可表函子表达 设 G D C displaystyle G mathcal D to mathcal C nbsp 为函子 X displaystyle X nbsp 为 C displaystyle mathcal C nbsp 中的对象 那么 A f displaystyle A varphi nbsp 是从X displaystyle X nbsp 到 G displaystyle G nbsp 的泛态射当且仅当 A f displaystyle A varphi nbsp 是函子 Hom C X G D S e t displaystyle operatorname Hom mathcal C X G mathcal D to mathbf Set nbsp 的表示 由此可知 G displaystyle G nbsp 带有左伴随 记为 F displaystyle F nbsp 当且仅当函子 Hom C X G displaystyle operatorname Hom mathcal C X G nbsp 对于任意 C displaystyle mathcal C nbsp 中的对象 X displaystyle X nbsp 都可表 此外 伴随正由自然同构 F X Hom D F X Hom C X G displaystyle Phi X operatorname Hom mathcal D FX to operatorname Hom mathcal C X G nbsp 给出 即 F X Y H o m D F X Y H o m C X G Y displaystyle Phi X Y colon mathrm Hom mathcal D FX Y to mathrm Hom mathcal C X GY nbsp 对于所有X displaystyle X nbsp 和 Y displaystyle Y nbsp 都是 自然的 双射 与之对偶的陈述也成立 设 F C D displaystyle F mathcal C to mathcal D nbsp 为函子 Y displaystyle Y nbsp 为 D displaystyle mathcal D nbsp 中的对象 那么那么 A f displaystyle A varphi nbsp 是从F displaystyle F nbsp 到 Y displaystyle Y nbsp 的泛态射当且仅当 A f displaystyle A varphi nbsp 是函子 Hom D F Y C S e t displaystyle operatorname Hom mathcal D F Y mathcal C to mathbf Set nbsp 的表示 由此可知 F displaystyle F nbsp 带有右 记为 G displaystyle G nbsp 伴随当且仅当函子 Hom D F Y displaystyle operatorname Hom mathcal D F Y nbsp 对于任意 D displaystyle mathcal D nbsp 中的对象 Y displaystyle Y nbsp 都可表 注释 编辑 对于集合 I displaystyle I nbsp 和 C displaystyle mathcal C nbsp 中的对象 A displaystyle A nbsp A displaystyle A nbsp 的 I displaystyle I nbsp 次上幂是指上积 i I A displaystyle coprod i in I A nbsp 参考文献 编辑Mac Lane Saunders Categories for the Working Mathematician Graduate Texts in Mathematics 5 2nd Springer 1998 ISBN 0 387 98403 8 取自 https zh wikipedia org w index php title 可表函子 amp oldid 76161053, 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