預層 (范疇論)

在數學的一支，范疇論中，範疇${\displaystyle C}$上的一${\displaystyle V}$值預層${\displaystyle F}$是一函子${\displaystyle F:C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$。“預層”常常被定義為Set值預層。若${\displaystyle C}$是拓撲空間中所有開集構成的偏序集（作為範疇理解），那麼我們就回到了拓撲空間上的預層的概念。

預層間的態射被定義為函子間的自然變換，這使得${\displaystyle C}$上所有預層的搜集構成了一個範疇${\displaystyle {\hat {C}}}$。到${\displaystyle {\hat {C}}}$的函子常被稱為Profunctor。

性質

• 一個局部小範疇${\displaystyle C}$ 可以通過米田嵌入${\displaystyle \mathrm {Y} _{c}}$ 完全且忠實地嵌入Set值預層${\displaystyle {\hat {C}}}$ ，它將${\displaystyle C}$ 的每個對象${\displaystyle A}$ 送到態射函子${\displaystyle C(-,A)}$ 。
• 預層${\displaystyle {\hat {C}}}$ （精確到範疇等價）是${\displaystyle C}$ 的自由余極限完備化。