加長型球狀屋頂

加長型球狀屋頂（日語：長球形屋根、英語：Sphenomegacorona）是一種由16個三角形和2個正方形組成的十八面體^[1]，為詹森多面體的其中一個，索引為J₈₈^[2]。它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來，是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述^[3]。

加長型球狀屋頂

類別	詹森多面體 J87 - J88 - J89
識別
名稱	加長型球狀屋頂 sphenomegacorona
別名	長球形屋根（日語）
參考索引	J88
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	wamco
性質
面	18
邊	28
頂點	12
歐拉特徵數	F=18, E=28, V=12 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	16個三角形 2個正方形
頂點圖	2個(3^4) 2個(3^2.4^2) 2×2個(3^5) 4個(3^4.4)
對稱性
對稱群	C2v群
特性
凸
圖像
（展開圖）
查 论 编

性質

加長型球狀屋頂共由18個面、28條邊和12個頂點所組成^[4][5][6][7]。在其18個面中，有16個正三角形和2個正方形^[5]。在其12個頂點中，有2個頂點是4個正三角形的公共頂點^[7]，在頂點圖中可以用[3⁴]來表示^[8]、還有4個頂點是5個正三角形的公共頂點^[7]，在頂點圖中可以用[3⁵]來表示^[8]、還有4個頂點是4個正三角形和1個正方形的公共頂點^[7]，在頂點圖中可以用[3⁴,4]來表示^[8]、剩下的2個頂點是2個正三角形和2個正方形的公共頂點^[7]，在頂點圖中可以用[3²,4²]來表示^[8]。

體積與表面積

若一個加長型球狀屋頂邊長為${\displaystyle a}$ ，則其表面積${\displaystyle A}$ 為：^[9]

${\displaystyle A=\left(2+4{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 8.92820a^{2},}$ ^[10]

而其體積${\displaystyle V}$ 為：

${\displaystyle V=\xi a^{3}\approx 1.94811a^{3},}$ 

其中的常數${\displaystyle \xi }$ 由  A334114給出^[11]，其為下列多項式的其中一個實根，約為1.948108228859^[11]：

${\displaystyle {\begin{aligned}&1680x^{16}-4800x^{15}-3712x^{14}+17216x^{13}+1568x^{12}-24576x^{11}+2464x^{10}+17248x^{9}\\&\quad {}-3384x^{8}-5584x^{7}+2000x^{6}+240x^{5}-776x^{4}+304x^{3}+200x^{2}-56x-23.\end{aligned}}}$ 

頂點座標

邊長為2的加長型球狀屋頂的頂點座標為：

${\displaystyle \left(\pm 1,\,0,\,2B\right)}$ 

${\displaystyle \left(\pm 1,\,\pm 2k,\,0\right)}$ 

${\displaystyle \left(\pm {\frac {C+B}{B}},\,0,\,{\frac {D}{B}}\right)}$ 

${\displaystyle \left(0,\,\pm 1,\,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right)}$ 

${\displaystyle \left(\pm \left(1+{\frac {CD}{B^{3}}}\right),\,0,\,{\frac {2k^{4}-1}{B^{3}}}\right)}$ 

其中，${\displaystyle B}$ 、${\displaystyle C}$ 和${\displaystyle D}$ 為：

${\displaystyle B={\sqrt {1-k^{2}}}}$ 

${\displaystyle C={\sqrt {3-4k^{2}}}}$ 

${\displaystyle D=1-2k^{2}}$ 

其中，${\displaystyle k}$  ≈ 0.59463是下列多項式的做小實根：

${\displaystyle {\begin{aligned}&1680x^{16}-4800x^{15}-3712x^{14}+17216x^{13}+1568x^{12}-24576x^{11}+2464x^{10}+17248x^{9}\\&\quad {}-3384x^{8}-5584x^{7}+2000x^{6}+240x^{5}-776x^{4}+304x^{3}+200x^{2}-56x-23.\end{aligned}}}$ 

這些座標也可以由下列頂點的軌道的並集在沿xz平面和yz平面鏡射所產生的空間對稱群之群作用下給出：^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(0,1,2{\sqrt {1-k^{2}}}\right),\,(2k,1,0),\,\left(0,{\frac {\sqrt {3-4k^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}}}}+1,{\frac {1-2k^{2}}{\sqrt {1-k^{2}}}}\right),\\&\left(1,0,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right),\,\left(0,{\frac {{\sqrt {3-4k^{2}}}\left(2k^{2}-1\right)}{\left(k^{2}-1\right){\sqrt {1-k^{2}}}}}+1,{\frac {2k^{4}-1}{\left(1-k^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)\end{aligned}}}$ 

相關多面體

•  
  球狀屋頂
  （原始的球狀屋頂立體）
•  
  球狀屋頂欠側錐
  （移除一個五角錐的球狀屋頂）
•  
  側錐球狀屋頂
  （在正方形面疊上正四角錐的球狀屋頂）
•  
  加長型球狀屋頂
  （正方形附近的4個位置上各加上1個正三角形的球狀屋頂）
•  
  廣底加長型球狀屋頂
  （「屋頂」部分由3個正方形組成的球狀屋頂）
•  
  廣底加長型球狀屋頂欠側錐
  （移除一個五角錐的廣底加長型球狀屋頂）
•  
  五角錐球狀屋頂
  （合併兩個移除了兩個正三角形的球狀屋頂）

參見

• 詹森多面體
• 多面體

參考文獻

1. Santiago Alvarez. Polyhedra in (Inorganic) Chemistry (PDF). Electronic Supplementary Information for Dalton Transactions. 2005 [2022-09-25]. （原始内容 (PDF)于2022-01-21）. 
2. Weisstein, Eric W. (编). Sphenomegacorona. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
3. Johnson, Norman W.（英语：Norman Johnson (mathematician)）, Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
4. V.Bulatov. sphenomegacorona. [2022-09-11]. （原始内容于2022-12-08）. 
5. David I. McCooey. Johnson Solids: Sphenomegacorona. [2022-09-07]. （原始内容于2022-09-11）. 
6. The Sphenomegacorona. qfbox.info. [2022-09-11]. （原始内容于2023-01-03）. 
7. Sphenomegacorona. polyhedra.tessera.li. [2022-09-11]. （原始内容于2022-12-05）. 
8. Richard Klitzing. sphenomegacorona, wamco. bendwavy.org. [2022-09-11]. （原始内容于2022-12-08）. 
9. Wolfram, Stephen. "Sphenomegacorona". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
10. Wolfram Research, Inc. Wolfram|Alpha Knowledgebase. Champaign, IL. 2020. PolyhedronData[{"Johnson", 88}, "SurfaceArea"] 
11. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A334114. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
12. Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 720. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0. 

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld. 
  • 埃里克·韦斯坦因. Sphenomegacorona. MathWorld.