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側錐球狀屋頂

側錐球狀屋頂(日語:側錐球形屋根、英語:Augmented sphenocorona)是一種由16個三角形和1個正方形組成的十七面體[1],為詹森多面體的其中一個,索引為J87[2]。它雖然可由球狀屋頂(J86)於正方形面上增加一正四角錐(J1)來構成[2],但無法由柏拉圖立體(正多面體)和阿基米得立體(半正多面體)經過切割、增補而得來。詹森多面體是凸多面體,面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體,共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森英语Norman Johnson (mathematician)(Norman Johnson)命名並給予描述[3]

側錐球狀屋頂
類別詹森多面體
J86 - J87 - J88
識別
名稱側錐球狀屋頂
augmented sphenocorona
別名側錐球形屋根(日語)
參考索引J87
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
auwaco
性質
17
26
頂點11
歐拉特徵數F=17, E=26, V=11 (χ=2)
組成與佈局
面的種類4+6×2個三角形
1個正方形
頂點圖1個(34)
2個(33.4)
3×2個(35)
2個(34.4)
對稱性
對稱群Cs
特性
圖像

展開圖

性質 编辑

側錐球狀屋頂共由17個、26條和11個頂點所組成[4][5][6][7]。在其17個面中,有16個三角形面和1個正方形面[5]。在其11個頂點中有1個頂點是4個三角形的公共頂點[7],在頂點圖中可以用[34]來表示[8]、還有6個頂點是5個三角形的公共頂點[7],在頂點圖中可以用[35]來表示[8]、還有2個頂點是3個三角形和1個正方形的公共頂點,在頂點圖中可以用[33,4]來表示[8]、剩下的2個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點,在頂點圖中可以用[34,4]來表示[8]

構成 编辑

側錐球狀屋頂可以透過在球狀屋頂(J86)的正方形面上疊上一個正四角錐構成,疊上之後正四角錐側面與球狀屋頂另一個正方形面的角度將會非常接近平角,幾乎是共面的,但還未達到共面的狀態:其二面角約為171.8°。[6]

體積與表面積 编辑

若一個側錐球狀屋頂邊長為 ,則其表面積 為:[9]

 [10]

而其體積 為:

 [11]

頂點座標 编辑

要計算側錐球狀屋頂的頂點座標可以從球狀屋頂開始計算,然後再補上側錐多出來的頂點。邊長為2的球狀屋頂的頂點座標之計算可以先令k ≈ 0.85273為下列四次式的最小實根:

 

則邊長為2的球狀屋頂之頂點座標可以由下列頂點的軌道的並集在沿xz平面和yz平面鏡射所產生的空間對稱群群作用下給出:[12]

 

最後計算其中一個正方形面的質心和該正方形面的法向量後,可以得出其最後一個頂點的位置為:

 

另一個角度的邊長為2的側錐球狀屋頂頂點座標也可以表示為:[6]

 
 
 
 
 

其中,     為下列方程式的實根:[6]

 
 
 
 
 

其中,  是同個方程式但不同實根。 可以表達為 [6]

這些數值的近似值為:[6]

  ≈ 1.705453885692834
  ≈ 1.044713857367277
  ≈ 1.914399800381786
  ≈ 1.578855253321743
  ≈ 2.626590848527109

相關多面體 编辑

參見 编辑

參考文獻 编辑

  1. ^ Santiago Alvarez. Polyhedra in (Inorganic) Chemistry (PDF). Electronic Supplementary Information for Dalton Transactions. 2005 [2022-09-25]. (原始内容 (PDF)于2022-01-21). 
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (编). Augmented Sphenocorona. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ Johnson, Norman W.英语Norman Johnson (mathematician), Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics英语Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
  4. ^ V.Bulatov. augmented sphenocorona. [2022-09-11]. (原始内容于2022-12-07). 
  5. ^ 5.0 5.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Augmented Sphenocorona. [2022-09-07]. (原始内容于2022-09-11). 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 The Augmented Sphenocorona. qfbox.info. [2022-09-11]. (原始内容于2022-12-31). 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 Augmented sphenocorona. polyhedra.tessera.li. [2022-09-11]. (原始内容于2023-01-03). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 Richard Klitzing. augmented sphenocorona, auwaco. bendwavy.org. [2022-09-11]. (原始内容于2022-11-14). 
  9. ^ Wolfram, Stephen. "Augmented Sphenocorona". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  10. ^ Wolfram Research, Inc. Wolfram|Alpha Knowledgebase. Champaign, IL. 2020. PolyhedronData[{"Johnson", 87}, "SurfaceArea"] 
  11. ^ Wolfram Research, Inc. Wolfram|Alpha Knowledgebase. Champaign, IL. 2020. PolyhedronData[{"Johnson", 86}, "Volume"] + PolyhedronData["SquarePyramid", "Volume"] 
  12. ^ Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 718. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0. 

外部連結 编辑

側錐球狀屋頂, 日語, 側錐球形屋根, 英語, augmented, sphenocorona, 是一種由16個三角形和1個正方形組成的十七面體, 為詹森多面體的其中一個, 索引為j87, 它雖然可由球狀屋頂, 於正方形面上增加一正四角錐, 來構成, 但無法由柏拉圖立體, 正多面體, 和阿基米得立體, 半正多面體, 經過切割, 增補而得來, 詹森多面體是凸多面體, 面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體, 共有92種, 這些立體最早在1966年由諾曼, 詹森, 英语, norman, johnson, mathema. 側錐球狀屋頂 日語 側錐球形屋根 英語 Augmented sphenocorona 是一種由16個三角形和1個正方形組成的十七面體 1 為詹森多面體的其中一個 索引為J87 2 它雖然可由球狀屋頂 J86 於正方形面上增加一正四角錐 J1 來構成 2 但無法由柏拉圖立體 正多面體 和阿基米得立體 半正多面體 經過切割 增補而得來 詹森多面體是凸多面體 面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體 共有92種 這些立體最早在1966年由諾曼 詹森 英语 Norman Johnson mathematician Norman Johnson 命名並給予描述 3 側錐球狀屋頂類別詹森多面體 J86 J87 J88識別名稱側錐球狀屋頂augmented sphenocorona別名側錐球形屋根 日語 參考索引J87鮑爾斯縮寫 verse and dimensions的wikia Bowers acronym auwaco性質面17邊26頂點11歐拉特徵數F 17 E 26 V 11 x 2 組成與佈局面的種類4 6 2個三角形 1個正方形頂點圖1個 34 2個 33 4 3 2個 35 2個 34 4 對稱性對稱群Cs群特性凸圖像 展開圖 查论编 目录 1 性質 1 1 構成 1 2 體積與表面積 1 3 頂點座標 2 相關多面體 3 參見 4 參考文獻 5 外部連結性質 编辑側錐球狀屋頂共由17個面 26條邊和11個頂點所組成 4 5 6 7 在其17個面中 有16個三角形面和1個正方形面 5 在其11個頂點中有1個頂點是4個三角形的公共頂點 7 在頂點圖中可以用 34 來表示 8 還有6個頂點是5個三角形的公共頂點 7 在頂點圖中可以用 35 來表示 8 還有2個頂點是3個三角形和1個正方形的公共頂點 在頂點圖中可以用 33 4 來表示 8 剩下的2個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點 在頂點圖中可以用 34 4 來表示 8 構成 编辑 側錐球狀屋頂可以透過在球狀屋頂 J86 的正方形面上疊上一個正四角錐構成 疊上之後正四角錐側面與球狀屋頂另一個正方形面的角度將會非常接近平角 幾乎是共面的 但還未達到共面的狀態 其二面角約為171 8 6 體積與表面積 编辑 若一個側錐球狀屋頂邊長為a displaystyle a nbsp 則其表面積A displaystyle A nbsp 為 9 A 1 43 a2 7 92820a2 displaystyle A left 1 4 sqrt 3 right a 2 approx 7 92820a 2 nbsp 10 而其體積V displaystyle V nbsp 為 V 121 332 13 36 132 a3 1 75105a3 displaystyle V left frac 1 2 sqrt 1 3 sqrt frac 3 2 sqrt 13 3 sqrt 6 frac 1 3 sqrt 2 right a 3 approx 1 75105a 3 nbsp 11 頂點座標 编辑 要計算側錐球狀屋頂的頂點座標可以從球狀屋頂開始計算 然後再補上側錐多出來的頂點 邊長為2的球狀屋頂的頂點座標之計算可以先令k 0 85273為下列四次式的最小實根 60x4 48x3 100x2 56x 23 displaystyle 60x 4 48x 3 100x 2 56x 23 nbsp 則邊長為2的球狀屋頂之頂點座標可以由下列頂點的軌道的並集在沿xz平面和yz平面鏡射所產生的空間對稱群之群作用下給出 12 0 1 21 k2 2k 1 0 0 1 3 4k21 k2 1 2k21 k2 1 0 2 4k 4k2 displaystyle left 0 1 2 sqrt 1 k 2 right 2k 1 0 left 0 1 frac sqrt 3 4k 2 sqrt 1 k 2 frac 1 2k 2 sqrt 1 k 2 right left 1 0 sqrt 2 4k 4k 2 right nbsp 最後計算其中一個正方形面的質心和該正方形面的法向量後 可以得出其最後一個頂點的位置為 k 2 2k2 0 k 2 2k2 displaystyle left k sqrt 2 2k 2 0 k sqrt 2 2k 2 right nbsp 另一個角度的邊長為2的側錐球狀屋頂頂點座標也可以表示為 6 0 0 1 displaystyle left 0 0 pm 1 right nbsp A B 1 displaystyle left pm A sqrt B pm 1 right nbsp 0 C D displaystyle left 0 sqrt C pm D right nbsp 1 E 0 displaystyle left pm 1 sqrt E 0 right nbsp A B22 B A22 0 displaystyle left frac A B sqrt 2 2 frac B A sqrt 2 2 0 right nbsp 其中 A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp C displaystyle C nbsp D displaystyle D nbsp 和E displaystyle E nbsp 為下列方程式的實根 6 15A4 24A3 100A2 112A 92 0 1 A 2 displaystyle 15A 4 24A 3 100A 2 112A 92 0 qquad 1 leqslant A leqslant 2 nbsp 225B4 24B3 3176B2 96B 3600 0 1 B 2 displaystyle 225B 4 24B 3 3176B 2 96B 3600 0 qquad 1 leqslant B leqslant 2 nbsp 225C4 24C3 3176C2 96C 3600 0 3 C 4 displaystyle 225C 4 24C 3 3176C 2 96C 3600 0 qquad 3 leqslant C leqslant 4 nbsp 15D4 36D3 82D2 100D 95 0 1 D 2 displaystyle 15D 4 36D 3 82D 2 100D 95 0 qquad 1 leqslant D leqslant 2 nbsp E2 4E 20 0 6 E 7 displaystyle E 2 4E 20 0 qquad 6 leqslant E leqslant 7 nbsp 其中 B displaystyle B nbsp 和C displaystyle C nbsp 是同個方程式但不同實根 E displaystyle E nbsp 可以表達為2 26 displaystyle 2 2 sqrt 6 nbsp 6 這些數值的近似值為 6 A displaystyle A nbsp 1 705453885692834 B displaystyle sqrt B nbsp 1 044713857367277 C displaystyle sqrt C nbsp 1 914399800381786 D displaystyle D nbsp 1 578855253321743 E displaystyle sqrt E nbsp 2 626590848527109相關多面體 编辑 nbsp 球狀屋頂 原始的球狀屋頂立體 nbsp 球狀屋頂欠側錐 移除一個五角錐的球狀屋頂 nbsp 側錐球狀屋頂 在正方形面疊上正四角錐的球狀屋頂 nbsp 加長型球狀屋頂 正方形附近的4個位置上各加上1個正三角形的球狀屋頂 nbsp 廣底加長型球狀屋頂 屋頂 部分由3個正方形組成的球狀屋頂 nbsp 廣底加長型球狀屋頂欠側錐 移除一個五角錐的廣底加長型球狀屋頂 nbsp 五角錐球狀屋頂 合併兩個移除了兩個正三角形的球狀屋頂 參見 编辑詹森多面體 球狀屋頂 正四角錐 多面體參考文獻 编辑 Santiago Alvarez Polyhedra in Inorganic Chemistry PDF Electronic Supplementary Information for Dalton Transactions 2005 2022 09 25 原始内容存档 PDF 于2022 01 21 2 0 2 1 Weisstein Eric W 编 Augmented Sphenocorona at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 Johnson Norman W 英语 Norman Johnson mathematician Convex polyhedra with regular faces Canadian Journal of Mathematics 英语 Canadian Journal of Mathematics 1966 18 169 200 MR 0185507 Zbl 0132 14603 doi 10 4153 cjm 1966 021 8 V Bulatov augmented sphenocorona 2022 09 11 原始内容存档于2022 12 07 5 0 5 1 David I McCooey Johnson Solids Augmented Sphenocorona 2022 09 07 原始内容存档于2022 09 11 6 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 The Augmented Sphenocorona qfbox info 2022 09 11 原始内容存档于2022 12 31 7 0 7 1 7 2 Augmented sphenocorona polyhedra tessera li 2022 09 11 原始内容存档于2023 01 03 8 0 8 1 8 2 8 3 Richard Klitzing augmented sphenocorona auwaco bendwavy org 2022 09 11 原始内容存档于2022 11 14 Wolfram Stephen Augmented Sphenocorona from Wolfram Alpha Computational Knowledge Engine Wolfram Research 英语 Wolfram Research Inc Wolfram Alpha Knowledgebase Champaign IL 2020 PolyhedronData Johnson 87 SurfaceArea Wolfram Research Inc Wolfram Alpha Knowledgebase Champaign IL 2020 PolyhedronData Johnson 86 Volume PolyhedronData SquarePyramid Volume Timofeenko A V The non Platonic and non Archimedean noncomposite polyhedra Journal of Mathematical Science 2009 162 5 718 S2CID 120114341 doi 10 1007 s10958 009 9655 0 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 Johnson Solid MathWorld 埃里克 韦斯坦因 Augmented sphenocorona MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 側錐球狀屋頂 amp oldid 80499011, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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