全集, 数学上, 特别是在集合论和数学基础的应用中, 全类, universe, 若是集合, 则为, 大约是这样一个类, 在某种程度上, 包含了所有的研究对象和集合, 文氏圖的, 餘集的關係, 目录, 在特定场合下, 在一般数学中, 在集合论中, 参见, 参考书目, 外部链接在特定场合下, 编辑这个一般概念有數個精确的版本, 最简单的可能就是, 任意集合都可以是, 当研究一个特定集合的时候, 这个集合就是, 若研究实数, 则所有实数的集合实数线r, displaystyle, mathbb, nbsp, 就是, 在. 数学上 特别是在集合论和数学基础的应用中 全类 Universe 若是集合 则为全集 大约是这样一个类 它 在某种程度上 包含了所有的研究对象和集合 文氏圖的全集 餘集的關係 目录 1 在特定场合下 2 在一般数学中 3 在集合论中 4 参见 5 参考书目 6 外部链接在特定场合下 编辑这个一般概念有數個精确的版本 最简单的可能就是 任意集合都可以是全集 当研究一个特定集合的时候 这个集合就是全集 若研究实数 则所有实数的集合实数线R displaystyle mathbb R nbsp 就是全集 在1870年代和1880年代 康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以應用於实分析 這時他默认地使用著的全集就是实数线R displaystyle mathbb R nbsp 康托尔一开始关心的也只是R displaystyle mathbb R nbsp 的子集 这种全集概念在文氏图的应用中有所反映 在文氏图中 所有的操作按例都是在一个表示全集U displaystyle U nbsp 的大长方形內進行 集合通常表示为圆形 但这些集合只能是U displaystyle U nbsp 的子集 集合A displaystyle A nbsp 的补集则为长方形中表示A displaystyle A nbsp 的圆形的外面的部分 严格地说 这是A displaystyle A nbsp 对U displaystyle U nbsp 的相对补集 U A displaystyle U backslash A nbsp 但在U displaystyle U nbsp 是全集的场合下 这可以被当成是A displaystyle A nbsp 的绝对补集 A C displaystyle A C nbsp 同样的 有一個稱為空交集的概念 即零个集合的交集 指没有集合 而不是空集 要是没有全集 空交集就會是所有东西组成的集合 这一般被认为是不可能的 但有了全集 空交集可以被当成是有条件 即U displaystyle U nbsp 下的所有东西组成的集合 在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时 这种惯例非常有用 但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此 例如新基础集合论 这里所有集合的类并不是布尔格 而仅仅是相对有补格 相反 U displaystyle U nbsp 的幂集 即U displaystyle U nbsp 的所有子集组成的集合 是一个布尔格 上述的绝对补集是布尔格中的补运算 而空交集U displaystyle U nbsp 则作为布尔格中的最大元 或空交 这里 适用于补运算 交运算和并运算 集合论中的并集 的德 摩根律成立 而且对空交和空并 即空集 也成立 在一般数学中 编辑然而 當考虑過给定集合X displaystyle X nbsp 的子集 在康托尔的例子中 X R displaystyle X mathbb R nbsp 可能就会进一步关心X displaystyle X nbsp 的子集组成的集合 例如 X displaystyle X nbsp 上的一个拓扑就是一个X displaystyle X nbsp 的子集组成的集合 这些不同的X displaystyle X nbsp 的子集组成的集合本身 一般而言并不是X displaystyle X nbsp 的子集 却是X displaystyle X nbsp 的幂集P X displaystyle mathbf P X nbsp 的子集 当然 这还没有完 可以进一步考虑X displaystyle X nbsp 的子集组成的集合所组成的集合 等等 另一个方向是 可以考慮笛卡尔积X X displaystyle X times X nbsp 或从X displaystyle X nbsp 映射到其自身的函数 接著 還可以考慮笛卡尔积上的函数 或从X displaystyle X nbsp 映射到X P X displaystyle X times mathrm P X nbsp 的函数 等等 这样 尽管主要关心的是X displaystyle X nbsp 仍然需要一个比X displaystyle X nbsp 大很多的全集 顺着上面的思路 可能需要X displaystyle X nbsp 上的超结构 这可以通过结构递归来定义 如下 设S 0 X displaystyle mathbf S 0 X nbsp 为X displaystyle X nbsp 自身 设S 1 X displaystyle mathbf S 1 X nbsp 为X displaystyle X nbsp 和P X displaystyle mathbf P X nbsp 的并集 设S 2 X displaystyle mathbf S 2 X nbsp 为S 1 X displaystyle mathbf S 1 X nbsp 和P S 1 X displaystyle mathbf P mathbf S 1 X nbsp 的并集 一般的 设S n 1 X displaystyle mathbf S n 1 X nbsp 为S n X displaystyle mathbf S n X nbsp 和P S n X displaystyle mathbf P S n X nbsp 的并集 则X displaystyle X nbsp 上的超结构 写作S X displaystyle mathbf S X nbsp 为S 0 X displaystyle mathbf S 0 X nbsp S 1 X displaystyle mathbf S 1 X nbsp S 2 X displaystyle mathbf S 2 X nbsp 等等 的并集 或S X i 0 S i X displaystyle mathbf S X bigcup i 0 infty mathbf S i X mbox nbsp 注意到 无论初始集合X displaystyle X nbsp 如何 空集总是属于S 1 X displaystyle mathbf S 1 X nbsp 重定义空集为冯 诺伊曼序数 0 displaystyle 0 nbsp 则 0 displaystyle 0 nbsp 是仅含有空集為元素的集合 属于S 2 X displaystyle mathbf S 2 X nbsp 定义为冯 诺伊曼序数 1 displaystyle 1 nbsp 类似的 1 displaystyle 1 nbsp 属于S 3 X displaystyle mathbf S 3 X nbsp 则 0 displaystyle 0 nbsp 和 1 displaystyle 1 nbsp 的并集 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 也属于该集合 定义为冯 诺伊曼序数 2 displaystyle 2 nbsp 重复这个过程 所有的自然数都通过其冯 诺伊曼序数在超结构中表现出来 然后 若x displaystyle x nbsp 和y displaystyle y nbsp 属于这个超结构 则 x x y displaystyle x x y nbsp 这个集合表示了有序对 x y displaystyle x y nbsp 也属于它 从而 这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积 而且 这个超结构也包含各种函数和关系 因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集 以及 还能够得到有序n元组 表示定義域为冯 诺伊曼序数 n displaystyle n nbsp 的函数 等等 所以 就算仅从X displaystyle X nbsp 出发 也可以构造大量的用于数学研究的集合 它们都是在 上的超结构裡的某個元素 但是 這樣S displaystyle mathbf S nbsp 的每个元素都會是有限集合 每个自然数都属于S displaystyle mathbf S nbsp 但 所有 自然数的集合N displaystyle mathbb N nbsp 不属于S displaystyle mathbf S nbsp 尽管它是S displaystyle mathbf S nbsp 的 子集 实际上 X displaystyle X nbsp 上的超结构包含了所有的遗传有限集合 这样 它可以被认为是 有限主义数学的全集 可以想像一下 假若19世纪的有限主义者利奥波德 克罗内克當時能使用到这个全集的話 他會相信每个自然数都存在 而集合N displaystyle mathbb N nbsp 一个 完全的无穷大 則不然 然而 对一般的数学家 它们不是有限主义者 来说 S displaystyle mathbf S nbsp 是不足够的 因为尽管N displaystyle mathbb N nbsp 是S displaystyle mathbf S nbsp 的子集 但N displaystyle mathbb N nbsp 的幂集仍然不是 特别的 任意的实数集合都不是 所以 需要重新开始这个过程 来构造S S displaystyle mathbf S mathbf S nbsp 不過 為简单起见 就只用给出的自然数集合N displaystyle mathbb N nbsp 来构造S N displaystyle mathbf S mathbb N nbsp 即N displaystyle mathbb N nbsp 上的超结构 这通常被认为是 一般数学的全集 其意思是指 一般研究的所有數學對象 都已作為这个全集的元素而包含其中 例如 任何通常的实数的构造方式 比如通過戴德金分割 都會属于S N displaystyle mathbf S mathbb N nbsp 即使是非标准分析 也能够在自然数的一個非标准模型上的超结构中进行 應當注意 这個部分在觀念上有些改变 这裡全集是任何被关心的集合U displaystyle U nbsp 上个部分中 被研究的集合是全集的子集 而现在 它们是全集的元素 这样尽管P S X displaystyle mathbf P mathbf S X nbsp 是一个布尔格 但相应的S X displaystyle mathbf S X nbsp 不是 因此 几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集 在上个部分中 它们被用来描述幂集式的全集 作为替代 可以采用独立的布尔格P A displaystyle mathbf P A nbsp 这里A displaystyle A nbsp 是S X displaystyle mathbf S X nbsp 中任意相应的集合 则P A displaystyle mathbf P A nbsp 是S X displaystyle mathbf S X nbsp 的子集 实际上它属于S X displaystyle mathbf S X nbsp 在集合论中 编辑正式來說 可以給出一個精确定义 來說明為何S N displaystyle mathbf S mathbb N nbsp 为一般數學的全集 这是策梅洛集合论的模型 策梅洛集合论是由恩斯特 策梅洛最初在1908年提出的公理集合论 策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化 一般 数学 完成了康托尔在三十年之前开始的课题 但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作 特别是模型论 是不够的 举一个戏剧性的例子 上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成 最后一步 构造S displaystyle mathbf S nbsp 成为一个无限并集 需要代换公理 这条公理在1922年被加入策梅洛集合论 成为如今通用的策梅洛 弗兰克尔集合论 所以 尽管一般数学可以在S N displaystyle mathbf S mathbb N nbsp 中进行 对S N displaystyle mathbf S mathbb N nbsp 的讨论則不再 一般 而是轉向元数学的領域 但是 若在超级的集合论中 可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始 回到X displaystyle X nbsp 空集 并用 标准的 符号V i displaystyle V i nbsp 表示S i displaystyle mathbf S i nbsp 则有V 0 displaystyle V 0 nbsp V 1 P displaystyle V 1 mathbf P nbsp 等等 和前面一样 但是 所谓 超结构 现在只是这个列中的下一项 V w displaystyle V omega nbsp 这里w displaystyle omega nbsp 为第一个无穷序数 按照序数知识 得到 V i j lt i P V j displaystyle V i bigcup j lt i mathbf P V j nbsp 可以对任意序数i displaystyle i nbsp 定义V i displaystyle V i nbsp 所有V i displaystyle V i nbsp 的并集为冯 诺伊曼全集V displaystyle V nbsp V i V i displaystyle V bigcup i V i nbsp 注意 每个单独的V i displaystyle V i nbsp 都是集合 但他们的并集V displaystyle V nbsp 是一个真类 跟代换公理差不多时候加入ZF系统的正则公理斷言 每个集合都属于V displaystyle V nbsp 参见 编辑自由对象参考书目 编辑Mac Lane Saunders 1998 Categories for the Working Mathematician Springer Verlag New York Inc 外部链接 编辑Hazewinkel Michiel 编 Universe 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 埃里克 韦斯坦因 Universal Set MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 全集 amp oldid 68310847, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,