戴德金分割, 是数学中对于全序集的操作, 对于给定的全序集a, displaystyle, 及其中某个元素x, displaystyle, 而言, 将a, displaystyle, 分拆为两个非空集合, 使得两者其一中所有元素, 按照顺序, 均在x, displaystyle, 之前, 另一真子集中所有元素均在x, displaystyle, 之后, 常见的是对于全体有理数的操作, 即a, displaystyle, mathbb, 对于有理数x, displaystyle, 将有理数集合分拆为两个非空集合a, . 戴德金分割是数学中对于全序集的操作 对于给定的全序集A displaystyle A 及其中某个元素x displaystyle x 而言 将A displaystyle A 分拆为两个非空集合 使得两者其一中所有元素 按照顺序 均在x displaystyle x 之前 另一真子集中所有元素均在x displaystyle x 之后 常见的是对于全体有理数的操作 即A Q displaystyle A mathbb Q 对于有理数x displaystyle x 将有理数集合分拆为两个非空集合A displaystyle A 和A displaystyle A 若A displaystyle A 和A displaystyle A 满足条件 a Q displaystyle forall a in mathbb Q 关系式a A displaystyle a in A 和a A displaystyle a in A 必有且只有一个成立 a A displaystyle forall a in A a A displaystyle forall a in A 必有a lt a displaystyle a lt a 并且a x displaystyle a leq x 和x a displaystyle x leq a 两者在不同时取等号时均成立 则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割 记为A A displaystyle A A 其中集合A displaystyle A 称为戴德金分割的下组 集合A displaystyle A 称为戴德金分割的上组 目录 1 分类 2 例子 3 定義大小 4 参阅 5 参考文献分类 编辑根据戴德金分割中A displaystyle A 和A displaystyle A 是否有最大数 最小数 可以将戴德金分割分为三种类型 A displaystyle A 中有最大数 A displaystyle A 中无最小数 A displaystyle A 中无最大数 A displaystyle A 中有最小数 A displaystyle A 中无最大数 A displaystyle A 中无最小数可以证明 A displaystyle A 中有最大数 A displaystyle A 中有最小数 的情况并不存在 证明如下 如果A displaystyle A 有最大数a displaystyle a A displaystyle A 有最小数b displaystyle b 则根据分割的定义可知 a lt b displaystyle a lt b 但是 a b 2 displaystyle a b 2 显然也是有理数 并且 a lt a b 2 lt b displaystyle a lt a b 2 lt b 因此 a b 2 displaystyle a b 2 既不在 A displaystyle A 中 也不在 A displaystyle A 中 这就与 A A displaystyle A cup A 是全体有理数矛盾 第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种 空隙 A displaystyle A 和A displaystyle A 之间的界数 这个 空隙 所对应的数既不属于A displaystyle A 也不属于A displaystyle A 因此它不是有理数 它所对应的数就是无理数 因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数 作为一个直观的理解 我们可以把上面三种分化分别看成 d d displaystyle infty d cup d infty d d displaystyle infty d cup d infty 和 d d displaystyle infty d cup d infty 而 A displaystyle A 中有最大数 A displaystyle A 中有最小数 的情况就是 d d displaystyle infty d cap d infty 中间的分割点d同时 不合法地 属于两边集合 例子 编辑将所有小于或等于0的有理数划分为集合A displaystyle A 将所有余下的有理数 即大于0的有理数 划分为集合A displaystyle A 则A A displaystyle A A 是一个戴德金分割 并属于上述分类中的第1种情形 将所有小于0的有理数划分为集合A displaystyle A 将所有余下的有理数 即大于或等于0的有理数 划分为集合A displaystyle A 则A A displaystyle A A 是一个戴德金分割 并属于上述分类中的第2种情形 将所有小于或等于0 其平方小于或等于3的正有理数 即满足 a Q a 0 a 2 3 displaystyle forall a in mathbb Q a leq 0 a 2 leq 3 的数 划分到集合A displaystyle A 将余下的有理数 即其平方大于3的正有理数 划分到集合A displaystyle A 则A A displaystyle A A 是一个戴德金分割 并属于上述分类中的第3种情形 此时戴德金分割A A displaystyle A A 定义了无理数3 displaystyle sqrt 3 定義大小 编辑假设无理数a displaystyle alpha 由分划A A displaystyle A A 所确定 无理数b displaystyle beta 由分划B B displaystyle B B 所确定 则 若集合A B displaystyle A B 或A B displaystyle A B 则称无理数a displaystyle alpha 与b displaystyle beta 相等 记为a b displaystyle alpha beta 若集合A B displaystyle A supset B A B displaystyle A neq B 则称无理数a displaystyle alpha 大于b displaystyle beta 记为a gt b displaystyle alpha gt beta 无理数小于 lt displaystyle lt 的概念可由大于 gt displaystyle gt 的概念定义 即b lt a displaystyle beta lt alpha 当且仅当a gt b displaystyle alpha gt beta 如此得到實數系的大小關係 其性質有 任意实数a b displaystyle alpha beta 必有且只有下列关系式之一成立 a b a gt b a lt b displaystyle alpha beta alpha gt beta alpha lt beta 传递性 若实数a gt b b gt g displaystyle alpha gt beta beta gt gamma 则a gt g displaystyle alpha gt gamma 对于小于 lt displaystyle lt 的情形 传递性同样成立 所以該大小關係是全序關係 参阅 编辑无理数 實數的構造参考文献 编辑菲赫金哥尔茨 杨弢亮 译 叶彦谦 译 郭思旭 校 微积分学教程 第一卷 第8版 高等教育出版社 5 6 ISBN 5 9221 0436 5 取自 https zh wikipedia org w index php title 戴德金分割 amp oldid 73676242, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,