克萊姆法則

克萊姆法則或克拉瑪公式（英語：Cramer's rule / formula）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积） · 内积（数量积） 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 跡 · 單位矩陣 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反對稱矩陣 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展開 · 克罗内克积 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 線性無關 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
查 论 编

基本方程

一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示：

${\displaystyle Ax=c\,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)}$ 

其中的${\displaystyle A}$ 是一个${\displaystyle n\times n}$ 的方塊矩陣，而向量 ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{T}}$  是一个长度为n的行向量(中國大陸為列向量）。${\displaystyle c=(c_{1},c_{2},\cdots c_{n})^{T}}$  也一样。

克莱姆法则说明：如果${\displaystyle A}$ 是一个可逆矩陣（ ${\displaystyle \det {A}\neq 0}$  ），那么方程(1)有解 ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{T}}$ ，其中

${\displaystyle x_{i}={\det(A_{i}) \over \det(A)}}$  (1)

当中${\displaystyle x_{i}}$ 是列向量${\displaystyle x}$ 的第i行（行向量与列向量不一样，解释默认列向量）

當中${\displaystyle A_{i}}$ 是列向量${\displaystyle c}$ 取代了${\displaystyle A}$ 的第i列后得到的矩阵。為了方便，我們通常使用${\displaystyle \Delta }$ 來表示${\displaystyle \det(A)}$ ，用${\displaystyle \Delta _{i}}$ 來表示${\displaystyle \det(A_{i})}$ 。所以等式(1)可以寫成為：

${\displaystyle x_{i}={\Delta _{i} \over \Delta }\,}$ 。

抽象方程

更多信息：餘因子矩陣

設${\displaystyle R}$ 為一個環，${\displaystyle A}$ 就是一個包含${\displaystyle R}$ 的系數的${\displaystyle n\times n}$ 矩陣。所以：

${\displaystyle \mathrm {adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,}$ 

當中${\displaystyle \det(A)}$ 就是${\displaystyle A}$ 的行列式，以及${\displaystyle I}$ 就是單位矩陣。

證明概要

对于${\displaystyle n}$ 元线性方程组 ${\displaystyle Ax=c}$ 

把系数矩阵 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}A\end{smallmatrix}}}$  表示成行向量的形式

${\displaystyle A=\left(u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n}\right)}$ 

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解${\displaystyle x^{*}=A^{-1}c}$ .

设${\displaystyle x^{*}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{T}}$ ，即

${\displaystyle Ax^{*}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k}=c}$ 

考虑${\displaystyle \Delta _{i}}$ 的值，利用行列式的線性和交替性質，有

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{i}&=det\left(\cdots ,u_{i-1},c,u_{i+1},\cdots \right)\\&=det\left(\cdots ,u_{i-1},\sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k},u_{i+1},\cdots \right)\\&=\sum _{k=1}^{n}x_{k}\cdot det\left(\cdots ,u_{i-1},u_{k},u_{i+1},\cdots \right)\\&=x_{i}\cdot det\left(\cdots ,u_{i-1},u_{i},u_{i+1},\cdots \right)\\&=x_{i}\Delta \end{aligned}}}$ 

于是

${\displaystyle x_{i}={\frac {\Delta _{i}}{\Delta }}}$ 

例子

运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知：

${\displaystyle ax+by={\color {red}e}\,}$ 

${\displaystyle cx+dy={\color {red}f}\,}$ 

使用矩陣來表示時就是：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}$ 

当矩阵可逆时，x和y可以從克萊姆法則中得出：

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}$ 

以及

${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}}$ 

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知：

${\displaystyle ax+by+cz={\color {red}j}\,}$ 

${\displaystyle dx+ey+fz={\color {red}k}\,}$ 

${\displaystyle gx+hy+iz={\color {red}l}\,}$ 

當中的矩陣表示為：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}$ 

当矩阵可逆时，可以求出x、y和z：

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$ 、   ${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$    以及   ${\displaystyle z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$ 

微分幾何上的應用

克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式${\displaystyle F(x,y,u,v)=0\,}$ 和${\displaystyle G(x,y,u,v)=0\,}$ 。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我們可定義${\displaystyle x=X(u,v)\,}$ 和${\displaystyle y=Y(u,v)\,}$ 。

找出一條等式適合${\displaystyle \partial x/\partial u}$ 是克萊姆法則的簡單應用。

首先，我們要計算${\displaystyle F}$ 、${\displaystyle G}$ 、${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 的導數：

${\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0}$ 

${\displaystyle dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0}$ 

${\displaystyle dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv}$ 

${\displaystyle dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv}$ 

將${\displaystyle dx}$ 和${\displaystyle dy}$ 代入${\displaystyle dF}$ 和${\displaystyle dG}$ ，可得出：

${\displaystyle dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0}$ 

${\displaystyle dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0}$ 

因為${\displaystyle u}$ 和${\displaystyle v}$ 互不相关，所以${\displaystyle du}$ 和${\displaystyle dv}$ 的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成：

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}}$ 

現在用克萊姆法則就可得到：

${\displaystyle {\cfrac {\partial x}{\partial u}}={\cfrac {\begin{vmatrix}-{\cfrac {\partial F}{\partial u}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\-{\cfrac {\partial G}{\partial u}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial F}{\partial x}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\{\cfrac {\partial G}{\partial x}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}}$ 

用兩個雅可比矩陣來表示的方程：

${\displaystyle {\cfrac {\partial x}{\partial u}}=-{\cfrac {\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}}$ 

用類似的方法就可以找到${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}}$ 、${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial u}}}$ 以及${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial v}}}$ 。

基本代數上的應用

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理，當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

缺点

克莱姆法则在电子计算机出现后，被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个${\displaystyle n}$ 阶线性方程组时，所需乘法次数为${\displaystyle (n+1)!}$  次。例如求解25阶线性方程组时，总计乘法次数需要${\displaystyle 26!}$ （即4.03×10²⁶）次，若计算机每秒能计算100亿次，所需时间约12.79亿年。相比之下，高斯消元法只需3060次乘法，对计算机而言易如反掌。^[1]

參考文獻

1. 张宏伟，金光日，施吉林，董波 (编). 计算机科学计算 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 3. ISBN 9787040365955. 

${\displaystyle }$

外部链接