高斯消去法

提示：此条目的主题不是高斯-若爾當消元法。

高斯消去法（英語：Gaussian Elimination）是线性代数中的一个算法，可以把矩阵转化为行阶梯形矩阵。^[1]高斯消去法可用來為線性方程組求解，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。

历史

该方法以数学家卡尔·高斯命名，但最早出现于中国古籍《九章算术》，成书于约公元前150年。^[2]

例子

高斯消去法可用來找出下列方程組的解或其解的限制： ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+y-z=8\quad (L_{1})\\-3x-y+2z=-11\quad (L_{2})\\-2x+y+2z=-3\quad (L_{3})\\\end{matrix}}\right.}$ 

這個算法的原理是：

首先，要將${\displaystyle L_{1}}$ 以下的等式中的${\displaystyle x}$ 消除，然後再將${\displaystyle L_{2}}$ 以下的等式中的${\displaystyle y}$ 消除。這樣可使整个方程組變成一個三角形似的格式。之後再將已得出的答案一個個地代入已被簡化的等式中的未知數中，就可求出其餘的答案了。

在剛才的例子中，我們將${\displaystyle {\frac {3}{2}}L_{1}}$ 和${\displaystyle L_{2}}$ 相加，就可以將${\displaystyle L_{2}}$ 中的${\displaystyle x}$ 消除了。然後再將${\displaystyle L_{1}}$ 和${\displaystyle L_{3}}$ 相加，就可以將${\displaystyle L_{3}}$ 中的${\displaystyle x}$ 消除。

我們可以這樣寫：

${\displaystyle L_{2}+{\frac {3}{2}}L_{1}\rightarrow L_{2}}$ 

${\displaystyle L_{3}+L_{1}\rightarrow L_{3}}$ 

結果就是：

${\displaystyle 2x+y-z=8\,}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{2}}z=1\,}$ 

${\displaystyle 2y+z=5\,}$ 

現在將${\displaystyle -4L_{2}}$ 和${\displaystyle L_{3}}$ 相加，就可將${\displaystyle L_{3}}$ 中的${\displaystyle y}$ 消除：

${\displaystyle L_{3}+-4L_{2}\rightarrow L_{3}}$ 

其結果是：

${\displaystyle 2x+y-z=8\,}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{2}}z=1\,}$ 

${\displaystyle -z=1\,}$ 

這樣就完成了整個算法的初步，一個三角形的格式（指：變數的格式而言，上例中的變數各為3,2,1個）出現了。

第二步，就是由尾至頭地將已知的答案代入其他等式中的未知數。第一個答案就是：

${\displaystyle z=-1\quad (L_{3})}$ 

然後就可以將${\displaystyle z}$ 代入${\displaystyle L_{2}}$ 中，立即就可得出第二個答案：

${\displaystyle y=3\quad (L_{2})}$ 

之後，將${\displaystyle z}$ 和${\displaystyle y}$ 代入${\displaystyle L_{1}}$ 之中，最後一個答案就出來了：

${\displaystyle x=2\quad (L_{1})}$ 

就是這樣，這個方程組就被高斯消去法解決了。

這種算法可以用來解決所有線性方程組。即使一個方程組不能被化為一個三角形的格式，高斯消去法仍可找出它的解。例如，如果在第一步化簡後，${\displaystyle L_{2}}$ 及${\displaystyle L_{3}}$ 中沒有出現任何${\displaystyle y}$ ，沒有三角形的格式，照著高斯消去法而產生的格式仍是一個行阶梯形矩阵。這情況之下，這個方程組會有超過一個解，當中會有至少一個變數作為答案。每當變數被鎖定，就會出現一個解。

通常人或電腦在應用高斯消去法的時候，不會直接寫出方程組的等式來消去未知數，反而會使用矩陣來計算。以下就是使用矩陣來計算的例子：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}$ 

跟著以上的方法來運算，這個矩陣可以轉變為以下的樣子：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}$ 

這矩陣叫做「行阶梯形矩阵」。

最後，可以利用同樣的算法產生以下的矩陣，便可把所得出的解或其限制簡明地表示出來：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}$ 

最後這矩陣叫做「簡化行阶梯形矩阵」，亦是高斯-若爾當消元法指定的步驟。^[3]

其他應用

找出逆矩陣

高斯消去法可以用來找出一個可逆矩陣的逆矩陣。設${\displaystyle A}$ 為一個${\displaystyle n\times n}$ 的矩陣，其逆矩陣可被兩個分塊矩陣表示出來。將一個${\displaystyle n\times n}$  單位矩陣放在${\displaystyle A}$ 的右手邊，形成一個${\displaystyle n\times 2n}$ 的分塊矩陣${\displaystyle B=[A,I]}$ 。經過高斯消去法的計算程序後，矩陣${\displaystyle B}$ 的左手邊會變成一個單位矩陣${\displaystyle I}$ ，而逆矩陣${\displaystyle A^{-1}}$ 會出現在${\displaystyle B}$ 的右手邊。

假如高斯消去法不能將${\displaystyle A}$ 化為三角形的格式，那就代表${\displaystyle A}$ 是一個不可逆的矩陣。

應用上，高斯消去法極少被用來求出逆矩陣。高斯消去法通常只為線性方程組求解。^[4]

計出秩和基底的基本算法

高斯消去法可應用在任何${\displaystyle m\times n}$ 的矩陣${\displaystyle A}$ 。在不可減去某數的情況下，我們都只有跳到下一行。以一個${\displaystyle 6\times 9}$ 的矩陣作例，它可能可以變化為一個行阶梯形矩阵：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&*&0&0&*&*&0&*&0\\0&0&1&0&*&*&0&*&0\\0&0&0&1&*&*&0&*&0\\0&0&0&0&0&0&1&*&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}}$ 

而矩陣中的*是一些數字。這個行阶梯形矩阵${\displaystyle T}$ 會有一些關於${\displaystyle A}$ 的資訊：

• ${\displaystyle A}$ 的秩是5，因為${\displaystyle T}$ 有5行非0的行；
• ${\displaystyle A}$ 的列空間Col(A)，將以${\displaystyle A}$ 的第1、3、4、7和9列為基底，就是那些在矩陣${\displaystyle T}$ 之中擁有主元的行；
• 矩陣中的*表示了${\displaystyle A}$ 的該行如何寫為上述基底的線性組合。

分析

高斯消去法的算法复杂度是O(n³)；这就是说，如果系數矩阵的是n × n，那么高斯消去法所需要的计算量大约与n³成比例。

高斯消去法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。不過，如果有過百萬條等式時，這個算法會十分費時。一些極大的方程組通常會用迭代法來解決。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列的係數的方程組。

高斯消去法可用在任何域中。

高斯消去法對於一些矩陣來說是穩定的。對於普遍的矩陣來說，高斯消去法在應用上通常也是穩定的，不過亦有例外。^[5]

伪代码

高斯消去法的其中一种伪代码：

 i = 1  j = 1  while (i ≤ m and j ≤ n) do  Find pivot in column j, starting in row i // 从第i行(row)开始，找出第j列(column )中的最大值（i、j值应保持不变） #台湾与大陆的列、行定义相反。台湾列为row行为column，大陆列为column行为row。  maxi = i  for k = i+1 to m do  if abs(A[k,j]) > abs(A[maxi,j]) then  maxi = k // 使用交换法找出最大值（绝对值最大）  end if  end for  if A[maxi,j] ≠ 0 then // 判定找到的绝对值最大值是否为零：若不为零就进行以下操作；若为零则说明该列第(i+1)列以下（包括第(i+1)列）均为零，不需要再处理，直接跳转至第(j+1)行第(i+1)列  swap rows i and maxi, but do not change the value of i // 将第i行与找到的最大值所在行做交换，保持i值不变（i值记录了本次操作的起始行）  Now A[i,j] will contain the old value of A[maxi,j].  divide each entry in row i by A[i,j] // 将交换后的第i列归一化（第i列所有元素分别除以A[i,j]）  Now A[i,j] will have the value 1.  for u = i+1 to m do // 第j行中，第(i+1)列以下（包括第(i+1)列）所有元素都减去A[i,j]，直到第j行的i+1列以後元素均為零  subtract A[u,j] * row i from row u  Now A[u,j] will be 0, since A[u,j] - A[i,j] * A[u,j] = A[u,j] - 1 * A[u,j] = 0.  end for  i = i + 1   end if  j = j + 1 // 第j行中，第(i+1)列以下（包括第(i+1)列）所有元素均为零。移至第(j+1)行，从第(i+1)列开始重复上述步骤。  end while 

这个算法和之前谈到的有点不同，它由绝对值最大的部分开始做起，这样可以改善算法的稳定性。本算法由左至右地计算，每作出以下三个步骤，才跳到下一行和下一列：

1. 定出每行的绝对值最大的一个非0的数，将第一列的值与该列交换，使得第一列拥有这一行的最大值；
2. 将第一行的数字除以该数，使得该列的第一个数成为1；
3. 對每一列減去第一列乘以每一列的第一個數，使得每一列的第一個數變為0。

所有步骤完成后，这个矩阵会变成一个行阶梯形矩阵，再用代入法就可以求解该方程组。

随着多核处理器的日益普及，现在的程序员可以利用线程级并行高斯消元算法来提高计算的速度。内存共享模式（而不是消息交换模式）的伪代码如下所示：

void parallel(int num_threads,int matrix_dimension) { int i; for(i=0; i<num_threads; i++) create_thread(&threads[i],i); pthread_attr_destroy(&attr); // Free attribute and wait for the other threads for(i=0; i<p; i++) pthread_join(threads[i],NULL); } void *gauss(int thread_id) { int i,k,j; for(k=0; k<matrix_dimension-1; k++) { if(thread_id==(k%num_thread)) //interleaved-row work distribution { for(j=k+1; j<matrix_dimension; j++) M[k][j]=M[k][j]/M[k][k]; M[k][k]=1; } barrier(num_thread,&mybarrier); //wait for other thread finishing this round for(i=k+1; i<matrix_dimension; i=i+1) if(i%p==thread_id) { for(j=k+1; j<matrix_dimension; j++) M[i][j]=M[i][j]-M[i][j]*M[k][j]; M[i][k]=0; } barrier(num_thread,&mybarrier); } return NULL; } void barrier(int num_thread, barrier_t * mybarrier) { pthread_mutex_lock(&(mybarrier->barrier_mutex)); mybarrier->cur_count++; if(mybarrier->cur_count!=num_thread) pthread_cond_wait(&(mybarrier->barrier_cond),&(mybarrier->barrier_mutex)); else { mybarrier->cur_count=0; pthread_cond_broadcast(&(mybarrier->barrier_cond)); } pthread_mutex_unlock(&(mybarrier->barrier_mutex)); } 

參考文獻

1. Steven J. Leon. Linear Algebra With Applications. 培生教育. 2014: 第13頁. ISBN 9781292025148. 
2. 第八章 方程. . 150bc [2007年12月25日]. （原始内容存档于2009年4月19日）.  请检查|date=中的日期值 (帮助)
3. Steven J. Leon. Linear Algebra With Applications. 培生教育. 2014: 第17頁. ISBN 9781292025148. 
4. Atkinson, 1989年，第514頁
5. Golub and Van Loan, §3.4.6

• Atkinson, Kendall A. An Introduction to Numerical Analysis, 第二版, John Wiley & Sons, New York, 1989年 ISBN 978-0-471-50023-0
• Golub, Gene H., and Van Loan, Charles F. Matrix computations, 第三版, Johns Hopkins, Baltimore, 1996年 ISBN 978-0-8018-5414-9
• Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. Schaum's Outlines: Linear Algebra, Tata McGraw-hill edition.Delhi 2001年, 第69-80頁

參見

• 高斯－約當消去法
• 行阶梯形矩阵
• 線性方程組求解
• 四元玉鑒

外部链接

• 高斯消去法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• ，只能取自然数。
• python语言的高斯消去法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）