二階導數

微积分中，函數 ${\displaystyle f}$ 的二階導數（英語：second derivative或second order derivative）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用萊布尼茲記法（英语：Leibniz notation）：

二次函数的二階導數是常數。

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}},}$

其中 ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ 為加速度，${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ 為速度，${\displaystyle t}$ 為時間，${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ 為位置，而 ${\displaystyle \mathrm {d} }$ 表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。最後一式 ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ 是位置 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ 對時間的二階導數。

繪製函数图形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（${\displaystyle \cup }$）。反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（${\displaystyle \cap }$）。

二階導數的冪法則

連續兩次用一階導數的冪法則（英语：power rule），則會推導出二階導數的冪法則，如下所示：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.}$ 

公式對任意實數 ${\displaystyle n}$  成立。

記法

更多信息：微分記法（英语：Notation for differentiation）

函數 ${\displaystyle f}$  的二階導函數常記為 ${\displaystyle f''}$ ，其於 ${\displaystyle x}$  處取值為 ${\displaystyle f''(x)}$ 。^[1][2]換言之，

${\displaystyle f''=\left(f'\right)',}$ 

其中 ${\displaystyle '}$  表示一階求導。若用萊布尼茲記法（英语：Leibniz's notation）表示導數，則因變數 ${\displaystyle y}$  關於自變數 ${\displaystyle x}$  的二階導數記為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.}$ 

此種寫法的理由是，${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$  表示對 ${\displaystyle x}$  求導，從而求導兩次應寫成：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\,=\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.}$ 

其他記法

如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}$ 。然而，無法視之為純代數符號作運算。意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。^{[註 1]}不過，可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則。^[3]倘若視 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$  為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有：

${\displaystyle {\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)'\\&={\frac {(\mathrm {d} y)'\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot (\mathrm {d} x)'}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {d} y)\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} x^{2}}}.\end{aligned}}}$ 

上式中，${\displaystyle y''(x)}$  為二階導數，但 ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}$  則不然。${\displaystyle \mathrm {d} u}$  表示微分算子施用於 ${\displaystyle u}$  的結果，即 ${\displaystyle \mathrm {d} (u)}$ ，而 ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}u}$  表示微分算子疊代兩次的結果，即 ${\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} (u))}$ 。最後 ${\displaystyle \mathrm {d} u^{2}}$  是先微分再平方，即 ${\displaystyle (\mathrm {d} (u))^{2}}$ 。

若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函數公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。^[4]

例

考慮

${\displaystyle f(x)=x^{3},}$ 

運用冪法則，${\displaystyle f}$  的導數 ${\displaystyle f'}$  由下式給出：

${\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}.}$ 

${\displaystyle f}$  的二階導數即是對導數 ${\displaystyle f'}$  再次求導的結果，由下式給出：

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.}$ 

另一個例子，考慮正弦函數 ${\displaystyle \sin }$ 。有

${\displaystyle \sin '(x)=\cos(x),}$ 

而再次求導後，得到

${\displaystyle \sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x).}$ 

換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。

與圖像的關係

 

${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$  的圖像，其中 ${\displaystyle x}$  的取值範圍是由 ${\displaystyle -\pi /4}$  至 ${\displaystyle 5\pi /4}$ 。當曲線向上彎時，切線為藍色。向下彎時則為綠。於拐點（即 ${\displaystyle 0,\ \pi /2,\ \pi }$ ）處則為紅。

凹向

函數 ${\displaystyle f}$  的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即凹性（concavity）。^[2]若二階導數在某區間恆正，則函數在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切线總位於圖像下方「承托」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函數在該區間向下凹（向下彎，又稱為凹函數或上凸函數），其切線總位於圖像的上方「壓制」着。

拐點

主条目：拐點

若函數的二階導數在某點的左右異號，則圖像由向上彎轉變成向下彎，或反之。此種點稱為拐點（inflection point）。假設二階導數連續，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如 ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$  有 ${\displaystyle f''(0)=0}$ ，但 ${\displaystyle f}$  在實數系上為凸，無拐點。

二階導數檢驗

主条目：二階導數檢驗（英语：Second derivative test）

二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函數 ${\displaystyle f}$  的驻点（即滿足 ${\displaystyle f'(x)=0}$  的點 ${\displaystyle x}$ ）是否為局部極大點或極小點。具體言之：

• 若 ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0}$ ，則 ${\displaystyle f}$  於 ${\displaystyle x}$  點取得局部極大值。
• 若 ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0}$ ，則 ${\displaystyle f}$  於 ${\displaystyle x}$  點取得局部極小值。
• 若 ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0}$ ，則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點，也可能是極大或極小點。

直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。

極限

二階導數若存在，則可以衹用一個极限寫出：

${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$ 

以上極限稱為二階對稱導數（英语：second symmetric derivative）。^[5][6]但是，有時二階對稱導數存在，則函數仍沒有（平常的）二階導數。

右側欲求極限的分式，可理解成差商的差商：

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$ 

故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而，上述極限存在並不推出函數 ${\displaystyle f}$  二階可導。該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。反例有符号函数 ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ，其定義為：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若 }}\ x<0,\\0,&{\text{若 }}\ x=0,\\1,&{\text{若 }}\ x>0.\end{cases}}}$ 

符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在 ${\displaystyle x=0}$  處，二階對稱導數存在：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$ 

二次近似

正如導數與线性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影随形。某函數 ${\displaystyle f}$  於某點的二次近似，是一個二次函数，與 ${\displaystyle f}$  在該點處具有一樣的一、二階導數。函數 ${\displaystyle f}$  於 ${\displaystyle a}$  附近的二次近似可寫成：

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$ 

函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式。

本徵值與本徵函數

因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子，從而可以研究其譜。換言之，可求微分方程 ${\displaystyle v''=\lambda v}$  的函數解 ${\displaystyle v}$ （本徵向量）與常數 ${\displaystyle \lambda }$ （本徵值）。對於許多種邊界條件，可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量（英语：eigenvalues and eigenvectors of the second derivative）。

舉例，以閉區間 ${\displaystyle [0,L]}$  為定義域，邊界採用齊次狄利克雷条件（即 ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$ ），則諸本徵值為 ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ ，對應本徵向量（亦稱本徵函數）${\displaystyle v_{j}}$  由

${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$ 

給出。此處 ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}$ ，${\displaystyle j}$  為任意正整數。

其他情況的解，見二階導數的本徵值與本徵向量（英语：eigenvalues and eigenvectors of the second derivative）。

高維推廣

黑塞方陣

主条目：黑塞矩陣

二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏导数 ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$ 。對於三元函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ ，二階偏導數包括

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$ 

以及混合偏導數

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}$ 

還有其他次序的混合偏導數，如 ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$ ，但由二階導數的對稱性，衹要 ${\displaystyle f}$  滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為黑塞方陣（英語：Hessian或Hessian matrix）。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為二階偏導數檢驗（英语：second partial derivative test））。

拉普拉斯算子

主条目：拉普拉斯算子

另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到拉普拉斯算子（Laplace operator或Laplacian）。拉氏微分算子記作 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$  或 ${\displaystyle \Delta }$ 。以三維情形為例，定義為

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$ 

函數的拉氏算子等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。

參見

• 啁啾度——某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。

註

1. 相對之下，一階導數的記法可以較好地「當成」分數作代數運算，如鏈式法則中的抵銷。

參考文獻

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4. Editors. Reviews [評論]. Mathematics Magazine. December 20, 2019, 92 (5): 396–397. S2CID 218542586. doi:10.1080/0025570X.2019.1673628 （英语）. 
5. A. Zygmund. Trigonometric Series [三角級數]. Cambridge University Press. 2002: 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3 （英语）. 
6. Thomson, Brian S. Symmetric Properties of Real Functions [實函數的對稱性質]. Marcel Dekker. 1994: 1. ISBN 0-8247-9230-0 （英语）. 

延伸閱讀

紙本

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網上

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