黑塞矩陣, 此條目包含過多僅特定讀者會感興趣的過度細節內容, 2020年12月17日, 請重新整理本條目以切合主題, 並移除与維基百科內容方針相悖的過度細節內容, 詳細信息請參見討論頁, 德語, hesse, matrix, 英語, hessian, matrix, hessian, 又譯作海森矩阵, 海塞, 矩陣或海瑟矩陣等, 是一個由多變量實值函數的所有二階偏導數組成的方陣, 由德國數學家奧托, 黑塞引入並以其命名, 目录, 定義, 性質, 應用, 函數的極值條件, 拓展閱讀, 參考文獻定義, 编辑假設有一實值. 此條目包含過多僅特定讀者會感興趣的過度細節內容 2020年12月17日 請重新整理本條目以切合主題 並移除与維基百科內容方針相悖的過度細節內容 詳細信息請參見討論頁 黑塞矩陣 德語 Hesse Matrix 英語 Hessian matrix 或 Hessian 又譯作海森矩阵 海塞 赛 矩陣或海瑟矩陣等 是一個由多變量實值函數的所有二階偏導數組成的方陣 由德國數學家奧托 黑塞引入並以其命名 目录 1 定義 2 性質 3 應用 3 1 函數的極值條件 4 拓展閱讀 5 參考文獻定義 编辑假設有一實值函數f x 1 x 2 x n displaystyle f x 1 x 2 dots x n nbsp 如果 f displaystyle f nbsp 的所有二階偏導數都存在並在定義域內連續 那麼函數f displaystyle f nbsp 的黑塞矩陣為 H 2 f x 1 2 2 f x 1 x 2 2 f x 1 x n 2 f x 2 x 1 2 f x 2 2 2 f x 2 x n 2 f x n x 1 2 f x n x 2 2 f x n 2 displaystyle mathbf H begin bmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x 1 partial x n frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 f partial x 2 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x 2 partial x n vdots amp vdots amp ddots amp vdots frac partial 2 f partial x n partial x 1 amp frac partial 2 f partial x n partial x 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x n 2 end bmatrix nbsp 或使用下標記號表示為 H i j 2 f x i x j displaystyle mathbf H ij frac partial 2 f partial x i partial x j nbsp 顯然黑塞矩陣 H displaystyle mathbf H nbsp 是一個n n displaystyle n times n nbsp 方陣 黑塞矩陣的行列式被稱爲黑塞式 英語 Hessian 而英語環境下使用Hessian一詞時可能指上述矩陣也可能指上述矩陣的行列式 1 性質 编辑由高等數學知識可知 若一元函數f x displaystyle f x nbsp 在x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 點的某個鄰域內具有任意階導數 則函數f x displaystyle f x nbsp 在x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 點處的泰勒展開式為 f x f x 0 f x 0 D x f x 0 2 D x 2 displaystyle f x f x 0 f x 0 Delta x frac f x 0 2 Delta x 2 cdots nbsp 其中 D x x x 0 displaystyle Delta x x x 0 nbsp 同理 二元函數f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處的泰勒展開式為 f x 1 x 2 f x 10 x 20 f x 1 x 10 x 20 D x 1 f x 2 x 10 x 20 D x 2 1 2 f x 1 x 1 x 10 x 20 D x 1 2 2 f x 1 x 2 x 10 x 20 D x 1 D x 2 f x 2 x 2 x 10 x 20 D x 2 2 displaystyle f x 1 x 2 f x 10 x 20 f x 1 x 10 x 20 Delta x 1 f x 2 x 10 x 20 Delta x 2 frac 1 2 f x 1 x 1 x 10 x 20 Delta x 1 2 2f x 1 x 2 x 10 x 20 Delta x 1 Delta x 2 f x 2 x 2 x 10 x 20 Delta x 2 2 cdots nbsp 其中 D x 1 x 1 x 10 displaystyle Delta x 1 x 1 x 10 nbsp D x 2 x 2 x 20 displaystyle Delta x 2 x 2 x 20 nbsp f x 1 f x 1 displaystyle f x 1 frac partial f partial x 1 nbsp f x 2 f x 2 displaystyle f x 2 frac partial f partial x 2 nbsp f x 1 x 1 2 f x 1 2 displaystyle f x 1 x 1 frac partial 2 f partial x 1 2 nbsp f x 2 x 2 2 f x 2 2 displaystyle f x 2 x 2 frac partial 2 f partial x 2 2 nbsp f x 1 x 2 2 f x 1 x 2 2 f x 2 x 1 displaystyle f x 1 x 2 frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 nbsp 將上述展開式寫成矩陣形式 則有 f x f x 0 f x 0 T D x 1 2 D x T G x 0 D x displaystyle f x f x 0 nabla f x 0 mathrm T Delta x frac 1 2 Delta x mathrm T G x 0 Delta x cdots nbsp 其中 D x D x 1 D x 2 displaystyle Delta x begin bmatrix Delta x 1 Delta x 2 end bmatrix nbsp D x T D x 1 D x 2 displaystyle Delta x mathrm T begin bmatrix Delta x 1 amp Delta x 2 end bmatrix nbsp 是D x displaystyle Delta x nbsp 的轉置 f x 0 f x 1 f x 2 displaystyle nabla f x 0 begin bmatrix frac partial f partial x 1 frac partial f partial x 2 end bmatrix nbsp 是函數f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 的梯度 矩陣 G x 0 2 f x 1 2 2 f x 1 x 2 2 f x 2 x 1 2 f x 2 2 x 0 displaystyle G x 0 begin bmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 f partial x 2 2 end bmatrix x 0 nbsp 即函數f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處的2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp 黑塞矩阵 它是由函数f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 点处的所有二階偏導數所組成的方陣 由函數的二次連續性 有 2 f x 1 x 2 2 f x 2 x 1 displaystyle frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 nbsp 所以 黑塞矩陣G x 0 displaystyle G x 0 nbsp 为對稱矩陣 將二元函數的泰勒展開式推廣到多元函數 函數f x 1 x 2 x n displaystyle f x 1 x 2 cdots x n nbsp 在x 0 x 1 x 2 x n displaystyle x 0 x 1 x 2 cdots x n nbsp 點處的泰勒展開式為 f x f x 0 f x 0 T D x 1 2 D x T G x 0 D x displaystyle f x f x 0 nabla f x 0 mathrm T Delta x frac 1 2 Delta x mathrm T G x 0 Delta x cdots nbsp 其中 f x 0 f x 1 f x 2 f x n x 0 T displaystyle nabla f x 0 begin bmatrix frac partial f partial x 1 amp frac partial f partial x 2 amp cdots amp frac partial f partial x n end bmatrix x 0 T nbsp 為函數f x displaystyle f x nbsp 在x 0 x 1 x 2 x n displaystyle x 0 x 1 x 2 cdots x n nbsp 點的梯度 G x 0 2 f x 1 2 2 f x 1 x 2 2 f x 1 x n 2 f x 2 x 1 2 f x 2 2 2 f x 2 x n 2 f x n x 1 2 f x n x 2 2 f x n 2 x 0 displaystyle G x 0 begin bmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x 1 partial x n frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 f partial x 2 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x 2 partial x n vdots amp vdots amp ddots amp vdots frac partial 2 f partial x n partial x 1 amp frac partial 2 f partial x n partial x 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x n 2 end bmatrix x 0 nbsp 為函數f x displaystyle f x nbsp 在x 0 x 1 x 2 x n displaystyle x 0 x 1 x 2 cdots x n nbsp 點的n n displaystyle n times n nbsp 黑塞矩陣 若函數有n displaystyle n nbsp 次連續性 則函數的n n displaystyle n times n nbsp 黑塞矩陣是對稱矩陣 說明 在優化設計領域中 黑塞矩陣常用G displaystyle G nbsp 表示 且梯度有時用g displaystyle g nbsp 表示 2 函數f displaystyle f nbsp 的黑塞矩陣和雅可比矩陣有如下關係 H f J f T displaystyle mathrm H f mathrm J nabla f T nbsp 即函數f displaystyle f nbsp 的黑塞矩陣等於其梯度的雅可比矩陣 應用 编辑函數的極值條件 编辑 對於一元函数f x displaystyle f x nbsp 在給定區間內某x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 點處可導 並在x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 點處取得極值 其必要條件是 f x 0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp 即函數f x displaystyle f x nbsp 的極值必定在駐點處取得 或者說可導函數f x displaystyle f x nbsp 的極值點必定是駐點 但反過來 函數的駐點不一定是極值點 檢驗駐點是否為極值點 可以採用二階導數的正負號來判斷 根據函數f x displaystyle f x nbsp 在x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 點處的泰勒展開式 考慮到上述極值必要條件 有 f x f x 0 f x 0 2 D x 2 displaystyle f x f x 0 frac f x 0 2 Delta x 2 cdots nbsp 若f x displaystyle f x nbsp 在x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 點處取得極小值 則要求在x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 某一鄰域內一切點x displaystyle x nbsp 都必須滿足 f x f x 0 gt 0 displaystyle f x f x 0 gt 0 nbsp 即要求 f x 0 2 D x 2 gt 0 displaystyle frac f x 0 2 Delta x 2 gt 0 nbsp 亦即要求 f x 0 gt 0 displaystyle f x 0 gt 0 nbsp f x displaystyle f x nbsp 在x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 點處取得極大值的討論與之類似 於是有極值充分條件 設一元函数f x displaystyle f x nbsp 在x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 點處具有二階導數 且f x 0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp f x 0 0 displaystyle f x 0 neq 0 nbsp 則 當f x 0 gt 0 displaystyle f x 0 gt 0 nbsp 時 函數f x displaystyle f x nbsp 在x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 處取得極小值 當f x 0 lt 0 displaystyle f x 0 lt 0 nbsp 時 函數f x displaystyle f x nbsp 在x x 0 displaystyle x x 0 nbsp 處取得極大值 而當f x 0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp 時 無法直接判斷 還需要逐次檢驗其更高階導數的正負號 由此有一个規律 若其開始不為零的導數階數為偶數 則駐點是極值點 若為奇數 則為拐點 而不是極值點 對於二元函数f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在給定區域內某x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處可導 並在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處取得極值 其必要條件是 f x 1 x 0 f x 2 x 0 0 displaystyle f x 1 x 0 f x 2 x 0 0 nbsp 即 f x 0 0 displaystyle nabla f x 0 0 nbsp 同樣 這只是必要條件 要進一步判斷x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 是否為極值點需要找到取得極值的充分條件 根據函數f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處的泰勒展開式 考慮到上述極值必要條件 有 f x 1 x 2 f x 10 x 20 1 2 f x 1 x 1 x 0 D x 1 2 2 f x 1 x 2 x 0 D x 1 D x 2 f x 2 x 2 x 0 D x 2 2 displaystyle f x 1 x 2 f x 10 x 20 frac 1 2 f x 1 x 1 x 0 Delta x 1 2 2f x 1 x 2 x 0 Delta x 1 Delta x 2 f x 2 x 2 x 0 Delta x 2 2 cdots nbsp 設A f x 1 x 1 x 0 displaystyle A f x 1 x 1 x 0 nbsp B f x 1 x 2 x 0 displaystyle B f x 1 x 2 x 0 nbsp C f x 2 x 2 x 0 displaystyle C f x 2 x 2 x 0 nbsp 則 f x 1 x 2 f x 10 x 20 1 2 A D x 1 2 2 B D x 1 D x 2 C D x 2 2 displaystyle f x 1 x 2 f x 10 x 20 frac 1 2 A Delta x 1 2 2B Delta x 1 Delta x 2 C Delta x 2 2 cdots nbsp 或 f x 1 x 2 f x 10 x 20 1 2 A A D x 1 B D x 2 2 A C B 2 D x 2 2 displaystyle f x 1 x 2 f x 10 x 20 frac 1 2A A Delta x 1 B Delta x 2 2 AC B 2 Delta x 2 2 cdots nbsp 若f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處取得極小值 則要求在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 某一鄰域內一切點x displaystyle x nbsp 都必須滿足 f x 1 x 2 f x 10 x 20 gt 0 displaystyle f x 1 x 2 f x 10 x 20 gt 0 nbsp 即要求 1 2 A A D x 1 B D x 2 2 A C B 2 D x 2 2 gt 0 displaystyle frac 1 2A A Delta x 1 B Delta x 2 2 AC B 2 Delta x 2 2 gt 0 nbsp 亦即要求A gt 0 displaystyle A gt 0 nbsp A C B 2 gt 0 displaystyle AC B 2 gt 0 nbsp 即 2 f x 1 2 x 0 gt 0 displaystyle left frac partial 2 f partial x 1 2 right x 0 gt 0 nbsp 2 f x 1 2 2 f x 2 2 2 f x 1 x 2 2 x 0 gt 0 displaystyle begin bmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 frac partial 2 f partial x 2 2 frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 2 end bmatrix x 0 gt 0 nbsp 此條件反映了f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處的黑塞矩陣G x 0 displaystyle G x 0 nbsp 的各階主子式都大於零 即對於 G x 0 2 f x 1 2 2 f x 1 x 2 2 f x 2 x 1 2 f x 2 2 x 0 displaystyle G x 0 begin bmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 f partial x 2 2 end bmatrix x 0 nbsp 要求 2 f x 1 2 x 0 gt 0 displaystyle left frac partial 2 f partial x 1 2 right x 0 gt 0 nbsp G x 0 2 f x 1 2 2 f x 1 x 2 2 f x 2 x 1 2 f x 2 2 x 0 gt 0 displaystyle G x 0 begin vmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 f partial x 2 2 end vmatrix x 0 gt 0 nbsp f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處取得極大值的討論與之類似 於是有極值充分條件 設二元函数f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點的鄰域內連續且具有一階和二階連續偏導數 又有f x 1 x 0 f x 2 x 0 0 displaystyle f x 1 x 0 f x 2 x 0 0 nbsp 同時令A f x 1 x 1 x 0 displaystyle A f x 1 x 1 x 0 nbsp B f x 1 x 2 x 0 displaystyle B f x 1 x 2 x 0 nbsp C f x 2 x 2 x 0 displaystyle C f x 2 x 2 x 0 nbsp 則 當A gt 0 displaystyle A gt 0 nbsp A C B 2 gt 0 displaystyle AC B 2 gt 0 nbsp 時 函數f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 處取得極小值 當A lt 0 displaystyle A lt 0 nbsp A C B 2 gt 0 displaystyle AC B 2 gt 0 nbsp 時 函數f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 處取得極大值 此外可以判斷 當A C B 2 lt 0 displaystyle AC B 2 lt 0 nbsp 時 函數f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處沒有極值 此點稱爲鞍點 而當A C B 2 0 displaystyle AC B 2 0 nbsp 時 無法直接判斷 對此 補充一個規律 當A C B 2 0 displaystyle AC B 2 0 nbsp 時 如果有A 0 displaystyle A equiv 0 nbsp 那麼函數f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 有極值 且當C gt 0 displaystyle C gt 0 nbsp 有極小值 當C lt 0 displaystyle C lt 0 nbsp 有極大值 由線性代數的知識可知 若矩陣G x 0 displaystyle G x 0 nbsp 滿足 2 f x 1 2 x 0 gt 0 displaystyle left frac partial 2 f partial x 1 2 right x 0 gt 0 nbsp 2 f x 1 2 2 f x 1 x 2 2 f x 2 x 1 2 f x 2 2 x 0 gt 0 displaystyle begin vmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 f partial x 2 2 end vmatrix x 0 gt 0 nbsp 則矩陣G x 0 displaystyle G x 0 nbsp 是正定矩陣 或者說矩陣G x 0 displaystyle G x 0 nbsp 正定 若矩陣G x 0 displaystyle G x 0 nbsp 滿足 2 f x 1 2 x 0 lt 0 displaystyle left frac partial 2 f partial x 1 2 right x 0 lt 0 nbsp 2 f x 1 2 2 f x 1 x 2 2 f x 2 x 1 2 f x 2 2 x 0 gt 0 displaystyle begin vmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 f partial x 2 2 end vmatrix x 0 gt 0 nbsp 則矩陣G x 0 displaystyle G x 0 nbsp 是負定矩陣 或者說矩陣G x 0 displaystyle G x 0 nbsp 負定 3 於是 二元函數f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處取得極值的條件表述為 二元函數f x 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 nbsp 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處的黑塞矩陣正定 則取得極小值 在x 0 x 10 x 20 displaystyle x 0 x 10 x 20 nbsp 點處的黑塞矩陣負定 則取得極大值 對於多元函數f x 1 x 2 x n displaystyle f x 1 x 2 cdots x n nbsp 若在x 0 x 1 x 2 x n displaystyle x 0 x 1 x 2 cdots x n nbsp 點處取得極值 則極值存在的必要條件為 f x 0 f x 1 f x 2 f x n x 0 T 0 displaystyle nabla f x 0 begin bmatrix frac partial f partial x 1 amp frac partial f partial x 2 amp cdots amp frac partial f partial x n end bmatrix x 0 T 0 nbsp 取得極小值的充分條件為 G x 0 2 f x 1 2 2 f x 1 x 2 2 f x 1 x n 2 f x 2 x 1 2 f x 2 2 2 f x 2 x n 2 f x n x 1 2 f x n x 2 2 f x n 2 x 0 displaystyle G x 0 begin bmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x 1 partial x n frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 f partial x 2 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x 2 partial x n vdots amp vdots amp ddots amp vdots frac partial 2 f partial x n partial x 1 amp frac partial 2 f partial x n partial x 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x n 2 end bmatrix x 0 nbsp 正定 即要求G x 0 displaystyle G x 0 nbsp 的各階主子式都大於零 即 2 f x 1 2 x 0 gt 0 displaystyle left frac partial 2 f partial x 1 2 right x 0 gt 0 nbsp 2 f x 1 2 2 f x 1 x 2 2 f x 2 x 1 2 f x 2 2 x 0 gt 0 displaystyle begin vmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 f partial x 2 2 end vmatrix x 0 gt 0 nbsp displaystyle vdots nbsp G x 0 gt 0 displaystyle G x 0 gt 0 nbsp 取得極大值的充分條件為 G x 0 2 f x 1 2 2 f x 1 x 2 2 f x 1 x n 2 f x 2 x 1 2 f x 2 2 2 f x 2 x n 2 f x n x 1 2 f x n x 2 2 f x n 2 x 0 displaystyle G x 0 begin bmatrix frac partial 2 f partial x 1 2 amp frac partial 2 f partial x 1 partial x 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x 1 partial x n frac partial 2 f partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 f partial x 2 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x 2 partial x n vdots amp vdots amp ddots amp vdots frac partial 2 f partial x n partial x 1 amp frac partial 2 f partial x n partial x 2 amp cdots amp frac partial 2 f partial x n 2 end bmatrix x 0 nbsp 負定 4 5 6 拓展閱讀 编辑雅可比矩陣 梯度參考文獻 编辑 Binmore Ken Davies Joan Calculus Concepts and Methods Cambridge University Press 2007 190 ISBN 9780521775410 OCLC 717598615 白清顺 孙靖明 梁迎春 编 机械优化设计 第6版 北京 机械工业出版社 2017 6 2018 11重印 35 36页 ISBN 978 7 111 56643 4 请检查 date 中的日期值 帮助 刘二根 谢霖铨 编 线性代数 江西高校出版社 2015 7 164 166页 ISBN 978 7 5493 3588 6 请检查 date 中的日期值 帮助 白清顺 孙靖明 梁迎春 编 机械优化设计 第6版 北京 机械工业出版社 2017 6 2018 11重印 37 39页 ISBN 978 7 111 56643 4 请检查 date 中的日期值 帮助 同济大学数学系 编 高等数学 第七版 上册 高等教育出版社 2014 7 155页 ISBN 978 7 04 039663 8 请检查 date 中的日期值 帮助 同济大学数学系 编 高等数学 第七版 下册 高等教育出版社 2014 7 113页 ISBN 978 7 04 039662 1 请检查 date 中的日期值 帮助 取自 https zh wikipedia org w index php title 黑塞矩陣 amp oldid 79725522, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,