差分, 此条目页的主題是数学当中的一种函数或运算, 关于电子系统设计与信号传输中的传输, 請見, 信号, 又名函數或運算, 一般是指有限, 英語, finite, difference, 是数学中的一个概念, 将原函数, displaystyle, 映射到, displaystyle, 運算, 相應於微分運算, 是微积分中重要的一个概念, 目录, 定义, 前向, 逆向, 的阶, 的性质, 牛頓級數, 單位步長情況, 實例, 一般情況, 参考, 参见, 参考文献定义, 编辑分为前向和逆向, 前向, 编辑, 函数的前向. 此条目页的主題是数学当中的一种函数或运算 关于电子系统设计与信号传输中的差分传输 請見 差分信号 差分 又名差分函數或差分運算 一般是指有限差分 英語 Finite difference 是数学中的一个概念 将原函数 f x displaystyle f x 映射到 f x a f x b displaystyle f x a f x b 差分運算 相應於微分運算 是微积分中重要的一个概念 目录 1 定义 1 1 前向差分 1 2 逆向差分 2 差分的阶 3 差分的性质 4 牛頓級數 4 1 單位步長情況 4 2 實例 4 3 一般情況 5 参考 6 参见 7 参考文献定义 编辑差分分为前向差分和逆向差分 前向差分 编辑 函数的前向差分通常简称为函数的差分 对于函数 f x displaystyle f x nbsp 如果在等距节点 xk x0 kh k 0 1 n displaystyle x k x 0 kh k 0 1 n nbsp Df xk f xk 1 f xk displaystyle Delta f x k f x k 1 f x k nbsp 则称 Df x displaystyle Delta f x nbsp 函数在每个小区间上的增量yk 1 yk displaystyle y k 1 y k nbsp 为 f x displaystyle f x nbsp 一阶差分 1 在微积分学中的有限差分 finite differences 前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算 差分方程的解法也与微分方程的解法相似 当 f x displaystyle f x nbsp 是多项式时 前向差分为Delta算子 称D displaystyle Delta nbsp 为差分算子 2 一种线性算子 前向差分会将多项式阶数降低 1 逆向差分 编辑 对于函数 f xk displaystyle f x k nbsp 如果 f xk f xk f xk 1 displaystyle nabla f x k f x k f x k 1 nbsp 则称 f xk displaystyle nabla f x k nbsp 为 f x displaystyle f x nbsp 的一阶逆向差分 差分的阶 编辑一阶差分的差分为二阶差分 二阶差分的差分为三阶差分 其余类推 记 Dn f x displaystyle Delta n f x nbsp 为 f x displaystyle f x nbsp 的 n displaystyle n nbsp 阶差分 如果 Dn f x displaystyle Delta n f x nbsp D Dn 1 f x displaystyle Delta Delta n 1 f x nbsp Dn 1 f x 1 Dn 1 f x displaystyle Delta n 1 f x 1 Delta n 1 f x nbsp 根据数学归纳法 有 Dn f x i 0n ni 1 n if x i displaystyle Delta n f x sum i 0 n n choose i 1 n i f x i nbsp 其中 ni displaystyle n choose i nbsp 为二项式系数 特别的 有 D2 f x f x 2 2f x 1 f x displaystyle Delta 2 f x f x 2 2f x 1 f x nbsp 前向差分有时候也称作数列的二项式变换差分的性质 编辑对比解析函数中的微分的属性 差分的性质有 如果C为常数 则有DC 0 displaystyle Delta C 0 nbsp dd 线性 如果 a displaystyle a nbsp 和 b displaystyle b nbsp 为常数 则有D af bg aDf bDg displaystyle Delta af bg a Delta f b Delta g nbsp dd 乘法定则 D fg fDg gDf DfDg displaystyle Delta fg f Delta g g Delta f Delta f Delta g nbsp fg f g g f f g displaystyle nabla fg f nabla g g nabla f nabla f nabla g nbsp dd 除法定则 fg 1gdet f gfg det g g11 1 displaystyle nabla left frac f g right frac 1 g det begin bmatrix nabla f amp nabla g f amp g end bmatrix det begin bmatrix g amp nabla g 1 amp 1 end bmatrix 1 nbsp D fg 1gdet DfDgfg det gDg 11 1 displaystyle Delta left dfrac f g right dfrac 1 g det begin bmatrix Delta f amp Delta g f amp g end bmatrix det begin bmatrix g amp Delta g 1 amp 1 end bmatrix 1 nbsp dd 或 fg g f f gg g g displaystyle nabla left frac f g right frac g nabla f f nabla g g cdot g nabla g nbsp D fg gDf fDgg g Dg displaystyle Delta left frac f g right frac g Delta f f Delta g g cdot g Delta g nbsp dd 级数 n abDf n f b 1 f a displaystyle sum n a b Delta f n f b 1 f a nbsp n ab f n f b f a 1 displaystyle sum n a b nabla f n f b f a 1 nbsp dd 牛頓級數 编辑参见 均差 nbsp 自然哲學的數學原理 的第三編 宇宙體系 的引理五的图例 這裡在橫坐標上有6個點H I K L M N 對應著6個值A B C D E F 生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值 計算任意點S對應的值R 牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況 牛頓插值公式也叫做牛頓級數 由 牛頓前向差分方程 的項組成 得名於伊薩克 牛頓爵士 最早发表为他在1687年出版的 自然哲學的數學原理 中第三編 宇宙體系 的引理五 3 此前詹姆斯 格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果 一般稱其為連續泰勒展開的離散對應 單位步長情況 编辑 當x displaystyle x nbsp 值間隔為單位步長1 displaystyle 1 nbsp 時 有 f x f a x a1 D1 f a x a 12 D2 f a f a k 1nDk f a i 1k x a i 1 i k 0n x ak Dk f a displaystyle begin aligned f x amp f a frac x a 1 left Delta 1 f a frac x a 1 2 left Delta 2 f a cdots right right amp f a sum k 1 n Delta k f a prod i 1 k frac x a i 1 i amp sum k 0 n x a choose k Delta k f a end aligned nbsp 這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數 這裡的表達式 xk x kk x k x x 1 x 2 x k 1 displaystyle x choose k frac x k k quad quad x k x x 1 x 2 cdots x k 1 nbsp 是二項式係數 其中的 x k displaystyle x k nbsp 是 下降階乘冪 另一種常見的標記法為xk displaystyle x underline k nbsp 空積 x 0 displaystyle x 0 nbsp 被定義為1 displaystyle 1 nbsp 這裡的Dk f x displaystyle Delta k left f right x nbsp 是 前向差分 的特定情況 即間距h 1 displaystyle h 1 nbsp 實例 编辑 為了展示牛頓的這個公式是如何使用的 舉例數列 1 4 9 16 的前幾項 可以找到一個多項式重新生成這些值 首先計算一個差分表 接著將對應於x0 標示了下劃線 的這些差分代換入公式 xD0D1D2D311 3 242 50 3927416f x D0 D1 x x0 1 D2 x x0 x x0 1 2 x0 1 1 3 x 11 2 x 1 x 2 2 1 3 x 1 x 1 x 2 x2 displaystyle begin matrix begin array c c c c c hline x amp Delta 0 amp Delta 1 amp Delta 2 amp Delta 3 hline 1 amp underline 1 amp amp amp amp amp underline 3 amp amp 2 amp 4 amp amp underline 2 amp amp amp 5 amp amp underline 0 3 amp 9 amp amp 2 amp amp amp 7 amp amp 4 amp 16 amp amp amp hline end array amp quad begin aligned f x amp Delta 0 Delta 1 dfrac x x 0 1 Delta 2 dfrac x x 0 x x 0 1 2 quad x 0 1 amp 1 3 cdot dfrac x 1 1 2 cdot dfrac x 1 x 2 2 amp 1 3 x 1 x 1 x 2 amp x 2 end aligned end matrix nbsp 一般情況 编辑 對於x值間隔為非一致步長的情況 牛頓計算均差 在間隔一致但非單位量時 即上述前向差分的一般情況 插值公式為 f x f a x ah Dh1 f a x a h2h Dh2 f a f a k 1nDhk f a k hk i 0k 1 x a ih f a k 1nDhk f a k i 0k 1 x ah i displaystyle begin aligned f x amp f a frac x a h left Delta h 1 f a frac x a h 2h left Delta h 2 f a cdots right right amp f a sum k 1 n frac Delta h k f a k h k prod i 0 k 1 x a ih amp f a sum k 1 n frac Delta h k f a k prod i 0 k 1 left frac x a h i right end aligned nbsp 在最終公式中hk被消去掉了 對於非一致步長的情況則不會出現階乘 参考 编辑 科学出版社 数值分析及科学计算 薛毅 编 第六章 第2节 Newton插值 P204 科学出版社 数值分析及科学计算 薛毅 编 第六章 第2节 Newton插值 P205 Newton Isaac 1687 Principia Book III Lemma V Case 1参见 编辑递归 招差术 遞迴關係式 拉格朗日多项式 吉尔布雷斯猜想 牛顿多项式 牛顿级数表 泰勒级数 时标微积分 分部求和法参考文献 编辑Flajolet Philippe Sedgewick Robert Mellin transforms and asymptotics Finite differences and Rice s integrals Theoretical Computer Science 1995 144 1 2 101 124 doi 10 1016 0304 3975 94 00281 M 永久失效連結 取自 https zh wikipedia org w index php title 差分 amp oldid 76673013, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,