遞進階乘與遞降階乘

在数学中，階乘冪（英語：Factorial power）是基于自然數数列积的一种运算，分為遞進階乘（英語：Rising factorial）和遞降階乘（英語：Falling factorial），或稱上升階乘和下降階乘，

定义

遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。

由里奧·珀赫哈默尔（英语：Leo August Pochhammer）引进的珀赫哈默尔符號（Pochhammer symbol）是常用的一种，分別為${\displaystyle \ x^{(n)}}$  与 ${\displaystyle \ (x)_{n}}$  。

一种较为少见的写法将遞進階乘記作 ${\displaystyle \ (x)_{n}^{+}}$  。

葛立恒、高德纳与奧倫·帕塔什尼克（英语：Oren Patashnik）在《具体数学》一书中，則引进符號 ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$  与 ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$  。

遞進階乘

在组合学和特殊函数理论中，遞進階乘用于表达上升自然數数列的积，定义为

${\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}$ 

遞降階乘

在组合学中也常用遞降階乘：

${\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}}$ 

另外，值得一提的是遞降階乘实际上是排列 ${\displaystyle P_{n}^{x}}$ ，详见排列。

两者的关系

遞進階乘与遞降階乘，两者之间的关系为：

${\displaystyle x^{\overline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}}$ 

它們与阶乘的关系为：

${\displaystyle 1^{\overline {n}}=n^{\underline {n}}=n!}$ 

擴展

零次幂

零次幂的遞進階乘与遞降階乘都定義為空積 1 :

${\displaystyle x^{\overline {0}}=x^{\underline {0}}=1}$  。

实数

運用伽玛函数，階乘冪的定義域可以扩展到实数。

遞進階乘的定义變為

${\displaystyle x^{\overline {n}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\quad x,x+n\neq 0,-1,-2,\cdots }$ 

遞降階乘则为

${\displaystyle x^{\underline {n}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\quad x,x+n\neq -1,-2,-3,\cdots }$ 

特性

遞進階乘与遞降階乘都能以二项式系数形式表达：

${\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}={x+n-1 \choose n}}$ 

${\displaystyle {\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}={x \choose n}}$ 

于是二项式系数适用的许多性质都适用于遞進階乘与遞降階乘。

显然，遞進階乘与遞降階乘作为 n 个连续整数的积，它定能被 n 整除，即

${\displaystyle n|x^{\overline {n}}}$  ；

${\displaystyle n|x^{\underline {n}}}$  。

當 n=4 ，遞進階乘与遞降階乘必定能表达为一个完全平方数减1，即

${\displaystyle x^{\overline {4}}=k^{2}-1}$ ；

${\displaystyle x^{\underline {4}}=k^{2}-1}$  。

遞進階乘与遞降階乘遵从一个类似二项式定理的规则:

${\displaystyle (a+b)^{\overline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\overline {n-r}}b^{\overline {r}}}$ 

${\displaystyle (a+b)^{\underline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\underline {n-r}}b^{\underline {r}}}$ 

其中系数为二项式系数。

因为遞降階乘是多项式环的基础，我们可以将遞降階乘的积表示为遞降階乘的线性组合：

${\displaystyle x^{\underline {m}}x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,x^{\underline {m+n-k}}}$ 

等式右边的系数则为二项式系数。

一般化

階乘冪能一般化至任意函數和公差：

${\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)}$ 

${\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)}$ 

使用這個記號，原來的遞進階乘与遞降階乘便記作 ${\displaystyle [x]^{k/1}}$  和 ${\displaystyle [x]^{k/-1}}$  。

与亚微积分的關係

差分方程里常使用遞降階乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似，不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中，遞降階乘 ${\displaystyle x^{\underline {k}}}$  替代微分中的 ${\displaystyle x^{k}}$  例如：

${\displaystyle \Delta x^{\underline {k}}=kx^{\underline {k-1}}\,}$ 

与

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{x^{k}}=kx^{k-1}\,}$ 

这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。

程序实现

Mathematica

${\displaystyle {\text{Pochhammer}}[x,n]=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}$ ^[1]

参考文献

• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 .
• Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 .

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Pochhammer Symbol. MathWorld. 
• Elementary Proofs （页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. Pochhammer—Wolfram 语言参考资料. reference.wolfram.com. [2022-08-23].