Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 See section 1.7.
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7See Chapter 1.
二月 16, 2023
主丛, 数学上, 一个g, principal, bundle, 是一种特殊的纤维丛, 其纤维为拓扑群g的作用的扭子, torsor, 也称为主齐性空间, 主g丛是g丛, 因为群g也是丛的结构群, 在拓扑学和微分几何中有重要应用, 他们在物理学中也有应用, 他们组成了规范理论的基础框架的一部分, 为纤维丛的理论提供了一个统一的框架, 因为所有纤维丛及其结构群g决定了一个唯一的主g丛, 从该可以重建原来的那个丛, 目录, 形式化定义, 的表述, 参看, 参考形式化定义, 编辑一个主g丛是一个纤维丛π, 及一个拓扑群g. 数学上 一个G主丛 principal G bundle 是一种特殊的纤维丛 其纤维为拓扑群G的作用的扭子 torsor 也称为主齐性空间 主G丛是G丛 因为群G也是丛的结构群 主丛在拓扑学和微分几何中有重要应用 他们在物理学中也有应用 他们组成了规范理论的基础框架的一部分 主丛为纤维丛的理论提供了一个统一的框架 因为所有纤维丛及其结构群G决定了一个唯一的主G丛 从该主丛可以重建原来的那个丛 目录 1 形式化定义 2 例 3 主丛的表述 4 参看 5 参考形式化定义 编辑一个主G丛是一个纤维丛p P X 及一个拓扑群G的连续右作用P G P 该作用保持P的纤维不变并在纤维上自由和推移式的作用 经常会要求基空间X是豪斯多夫空间 还可能要求仿紧 丛的抽象纤维取为G本身 由此可知 G作用的轨道正好就是p P X的纤维而轨道空间P G和基空间X同胚 要求G在纤维上自由和推移的作用意味着纤维具有G 旋子的结构 一个G 旋子是同胚于G的空间但没有群的结构 因为它没有一个特定的单位元的选择 主G丛的局部平凡化必须是G等变 equivariant 映射 使得纤维的G 旋子结构得到保持 确切地说 这表示如果 ϕ p 1 U U G displaystyle phi pi 1 U to U times G 是一个有ϕ p p p ps p displaystyle phi p pi p psi p 形式的局部平凡化 则 ϕ p g p p ps p g displaystyle phi p cdot g pi p psi p g 主丛也可定义在光滑流形的范畴中 这里p P X要求是一个光滑流形间的光滑映射 G要求为李群 而相应的P上的作用也要光滑 例 编辑最普通的光滑主丛的例子是光滑流形M的标架丛 这里 M中一点x上的纤维是切空间TxM的所有标架 有序的基 一般线性群 general linear group GL n R 在这些标架上简单推移的作用 这些纤维可以一种自然的方式粘在一起 从而得到一个M上的主GL n R 丛 上面这个例子的变种包括黎曼流形的正交标架丛 orthonormal frame bundle 这里 标架必须对于度量张量正交 结构群是正交群O n 一个正则 正规 覆叠空间p C X是一个主丛 其中 结构群p 1 X p p 1 C displaystyle pi 1 X p pi 1 C 通过单值作用 monodromy action 作用在C上 特别的有 X的万有覆叠 universal cover 是以p 1 X displaystyle pi 1 X 为结构群的X上的主丛 令G为李群而H为闭子群 则G是G H H的左陪集空间 上的主H丛 这里H在G上的作用就是右乘 射影空间提供了更多主丛的有趣例子 回想一下 n 球 Sn是一个实射影空间 real projective space RPn的两层的覆叠空间 O 1 在Sn上的自然作用给它RPn上的主O 1 丛的结构 同样 S2n 1是一个复射影空间 complex projective space CPn上的主U 1 丛 而S4n 3是四元数射影空间 quaternionic projective space HPn上的主Sp 1 丛 这样 对每个正的n 我们有一系列的主丛 O 1 S R n 1 R P n displaystyle mbox O 1 to S mathbb R n 1 to mathbb RP n U 1 S C n 1 C P n displaystyle mbox U 1 to S mathbb C n 1 to mathbb CP n Sp 1 S H n 1 H P n displaystyle mbox Sp 1 to S mathbb H n 1 to mathbb HP n 这里S V 表示V 用欧氏度量 中的单位球 对于所有这些例子 n 1的情况给出了所谓的霍普夫丛 主丛的表述 编辑如果p P X是一个光滑主G丛 则G在P上的作用是自由和真 proper 的 使得轨道空间P G微分同胚于基空间X 事实上 这些性质完全归纳了光滑主从的特征 也就是说 如果P是一个光滑流形 G是李群而m P G P是一个光滑 自由 和真的右作用 则 P G 是一个光滑流形 自然投影p P P G是一个光滑淹没 submersion P是一个P G上的光滑主G从 参看 编辑关联丛 associated bundle 向量丛 G结构 规范场论参考 编辑Jurgen Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis 2002 Springer Verlag Berlin ISBN 3 540 4267 2 See section 1 7 David Bleecker Gauge Theory and Variational Principles 1981 Addison Wesley Publishing ISBN 0 201 10096 7 See Chapter 1 取自 https zh wikipedia org w index php title 主丛 amp oldid 53150107, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,