Treisman, Zachary. A young person's guide to the Hopf fibration. arXiv:0908.1205.
Adams, J.F.; Atiyah, M.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics, 1966, 17 (1): 31–38, doi:10.1093/qmath/17.1.31
Husemoller, Dale. Fibre Bundles Third. New York: Springer. 1994. ISBN 978-0-387-94087-8.
十月 05, 2023
霍普夫纤维化, 在拓扑学中, 霍普夫纖維化, hopf, fibration, 亦称霍普夫纖維丛, 是最早提出的纤维化, 其中的纤维是圆圈, 球面, 基空间是三维空间中的球面, 球面, 而全空间是四维空间中的超球面, 球面, 容易验证, 它是非平凡的, 即全空间s, 3与积空间s, 2不是拓扑同构的, 目录, 解释, 记号, 主丛, 拓展, 演示, 参见, 参考解释, 编辑运用基本的拓扑学语言, 可以解释为一个连续满射, 称为投影, displaystyle, rightarrow, nbsp, 使得, displ. 在拓扑学中 霍普夫纖維化 Hopf fibration 亦称霍普夫纖維丛 是最早提出的纤维化 其中的纤维是圆圈 1 球面 S 1 基空间是三维空间中的球面 2 球面 S 2 而全空间是四维空间中的超球面 3 球面 S 3 容易验证 它是非平凡的 即全空间S 3与积空间S 1 S 2不是拓扑同构的 目录 1 解释 2 记号 3 主丛 4 拓展 5 演示 6 参见 7 参考解释 编辑运用基本的拓扑学语言 霍普夫纤维化可以解释为一个连续满射 称为投影 p S 3 S 2 displaystyle pi S 3 rightarrow S 2 nbsp 使得 x S 2 displaystyle forall x in S 2 nbsp p 1 x displaystyle pi 1 x nbsp x 在映射p 下的原像 称为纤维 与 S 1 displaystyle S 1 nbsp 同胚 首先注意到 p 是一个映射 这就意味着 任意两个纤维是不交集 且所有的纤维的并等于全空间S 3 于是所有的纤维是S 3的一个划分 通俗地说 霍普夫纖維化描述了用圆圈来填满S 3的一种方式 其中每个圆圈对应S 2里面的一个点 上面的条件还不足以使它成为一个纤维化 后者需要更强的条件 x S 2 displaystyle forall x in S 2 nbsp 存在 x 的一个邻域 U x 使得 p 1 U x displaystyle pi 1 U x nbsp 与 S 1 U x displaystyle S 1 times U x nbsp 同胚 这个条件意味着 全空间S 3与积空间S 1 S 2在局部的拓扑性质上是不可区分的 如果全空间与积空间在整体的拓扑性质上也不可区分 即两者同胚 则这个纤维化就是平凡的纤维化 例子如切丛 全空间与积空间的局部等价性又称为局部平凡条件 霍普夫纤维化的重要性在于它是第一个非平凡纤维丛的例子 并且为纤维丛等数学概念的定义提供了模型基础 记号 编辑上面描述的霍普夫纤维化可以记作 S 1 S 3 p S 2 displaystyle S 1 hookrightarrow S 3 xrightarrow pi S 2 nbsp 主丛 编辑S 3中的元素在四元数乘法下形成一个群G 给定一个纤维化之后 S 3中对应于包含单位元的那个S 1纤维的元素自然地构成了G 的一个子群H 现在考虑这个子群H 中的元素对G 中元素的右乘 它自然地构成了S 3的一个自同构 这个自同构保持了纤维不变 即把纤维映射为纤维 霍普夫纤维化给出了S 3上的纤维用S 2中的元素来进行参数化的一种方式 现在 我们说霍普夫纤维丛是一个主H 丛 意味着用H 中的元素对S 3进行变换后 我们仍然可以采用相同的参数化 即相同的映射p 唯一不同的 是每条纤维到S 1的同胚映射变为了另一个同胚映射 拓展 编辑上面提到的霍普夫纤维化是最早的霍普夫纤维化 有时也用这个词来指代更广泛的一类纤维丛 注意到前述纤维丛中涉及的三个超球面分别与复数域上的一些结构同胚 参见复射影直线 S 3 and S 2 C S 1 and S 0 C S 2 and C P 1 displaystyle S 3 text and S 2 mathbb C S 1 text and S 0 mathbb C S 2 text and mathbb CP 1 nbsp 一个很自然的拓展是把上面的复数域换成实数或超复数 与实数 复数 四元数 八元数对应的霍普夫丛用上面的记号分别表为 S 0 S 1 S 1 displaystyle S 0 hookrightarrow S 1 rightarrow S 1 nbsp S 1 S 3 S 2 displaystyle S 1 hookrightarrow S 3 rightarrow S 2 nbsp S 3 S 7 S 4 displaystyle S 3 hookrightarrow S 7 rightarrow S 4 nbsp S 7 S 15 S 8 displaystyle S 7 hookrightarrow S 15 rightarrow S 8 nbsp 同伦论的研究表明 霍普夫丛只有上面四个 它们都不是平凡丛 演示 编辑在计算机图形影片 Dimensions 英语 Dimensions animation 的第7 8章中提供了关于霍普夫纖維化的演示 也就是给出一个具体的p 的构造方式 该演示中涉及到更多的概念 如Villarceau circles 英语 Villarceau circles 参见 编辑海因茨 霍普夫 纤维丛参考 编辑Treisman Zachary A young person s guide to the Hopf fibration arXiv 0908 1205 nbsp Adams J F Atiyah M F K Theory and the Hopf Invariant The Quarterly Journal of Mathematics 1966 17 1 31 38 doi 10 1093 qmath 17 1 31 Husemoller Dale Fibre Bundles Third New York Springer 1994 ISBN 978 0 387 94087 8 取自 https zh wikipedia org w index php title 霍普夫纤维化 amp oldid 53926112, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,