雞爪定理

歐氏幾何中，雞爪定理^[1]（或內心/旁心引理，英語：incenter/excenter lemma）描述三角形的頂點、內心、旁心、外接圓的位置關係。其斷言，三角形某頂點${\displaystyle B}$所對的旁心${\displaystyle I_{B}}$、另兩個頂點${\displaystyle A}$、${\displaystyle C}$、內心${\displaystyle I}$四點共圓，且其圓心（${\displaystyle II_{B}}$中點）位於三角形的外接圓${\displaystyle \odot ABC}$上。此定理的構形常於奧數幾何題出現。^[2]

敍述

 

雞爪定理：三條紅色線段等長

設${\displaystyle \triangle ABC}$ 為任意三角形，${\displaystyle I}$ 為其內心，${\displaystyle \angle ABC}$ 的角平分線${\displaystyle BI}$ 交外接圓${\displaystyle \odot ABC}$ 於${\displaystyle D}$ 。定理斷言，${\displaystyle D}$ 到${\displaystyle A,C,I}$ 三點等遠（英语：equidistant），即${\displaystyle DA=DC=DI}$ 。

等價的說法有：

• 過${\displaystyle A,C,I}$ 三點的圓，圓心位於${\displaystyle D}$ 。這尤其說明該圓的圓心在於原三角形的外接圓上。^[3][4]
• 諸三角形${\displaystyle AID,CID,ACD}$ 皆為等腰，${\displaystyle D}$ 為其頂角。

還有第四點${\displaystyle I_{B}}$ 也到${\displaystyle D}$ 等遠，就是${\displaystyle B}$ 所對的旁心。在以${\displaystyle D}$ 為圓心的圓上，${\displaystyle I_{B}}$ 與${\displaystyle I}$ 互為對徑點，即${\displaystyle D}$ 為${\displaystyle II_{B}}$ 的中點。^[5][6]

證明

由於同弧所對的圆周角相等，有

${\displaystyle \angle IBA=\angle DCA,\quad \angle IBC=\angle DAC.}$ 

又${\displaystyle BI}$ 為角${\displaystyle B}$ 的平分線，有

${\displaystyle \angle DCA=\angle DAC,}$ 

故${\displaystyle DA=DC}$ 得證（等圓周角對等弦）。

最後計角有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle DIA={}&180^{\circ }-\angle AIB\\={}&\angle IAB+\angle IBA\\={}&\angle IAC+\angle DAC\\={}&\angle IAD.\\\end{aligned}}}$ 

所以三角形${\displaystyle DIA}$ 有兩底角相等，證畢${\displaystyle DA=DI}$ 。

應用於求作三角形

定理適用於解決以下問題：已知某三角形的一個頂點${\displaystyle B}$ 、內心${\displaystyle I}$ 和外心${\displaystyle O}$ ，求作該三角形。作法如下：

1. 以${\displaystyle O}$ 為圓心，${\displaystyle OB}$ 為半徑，作圓。此為三角形的外接圓。
2. 作直線${\displaystyle BI}$ ，與外接圓交於（${\displaystyle B}$ 以外的另一點）${\displaystyle D}$ 。
3. 以${\displaystyle D}$ 為圓心，${\displaystyle DI}$ 為半徑作圓，定理保證所得的圓過另兩個頂點${\displaystyle A,C}$ 。
4. 所以，該圓與外接圓的交點${\displaystyle A,C}$ 即為所求。^[7]

然而，並非在平面上任意取三點作為${\displaystyle B,I,O}$ 皆有對應的三角形。若以上作法不能給出三角形，則問題可能出在${\displaystyle IB}$ 與${\displaystyle \odot O}$ 相切，也可能在於最後兩圓相切或外離。而且，若${\displaystyle B,I,O}$ 三點無任何限制，則即使作法確實給出三角形，${\displaystyle I}$ 亦不必為其內心，可能是旁心。該些情況下，不存在三角形以${\displaystyle B}$ 為頂點，${\displaystyle I}$ 為內心、${\displaystyle O}$ 為外心。（對於固定的${\displaystyle B,O}$ 兩點，若要存在此種三角形，則${\displaystyle I}$ 必須位於以${\displaystyle B}$ 為尖點關於${\displaystyle \odot O}$ 作成的心臟線圍成的區域中。）^[8]

其他構作三角形的問題，如給定頂點、內心、九點圓心，求作三角形，有部分情況可化歸為前述問題解決，但一般而言無法尺規作出。^[8]

命名

本定理有許多不同的名稱。「雞爪定理」得名自${\displaystyle DA,DI,DC}$ 諸線段組成的幾何圖形。同樣，俄文稱為лемма о трезубце^[9][5]，謂三叉引理，或теорема трилистника^[10]，謂三葉草定理。英文又稱theorem of trillium「延齡草定理」，亦是以某種三葉植物命名。

定理亦有其他名稱並非來自該形狀，如「內心/旁心引理」（the incenter/excenter lemma）。^[2]

參考文獻

1. 金磊. 鸡爪定理. 《數學中的小問題大定理》叢書（第六輯）. 哈尔滨工业大学出版社. 2020. ISBN 9787560384245. 
2. Evan Chen. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads [奧數歐氏幾何]. Mathematical Association of America. 2016: 9–10 [2021-12-12]. ISBN 9780883858394. （原始内容于2021-12-15） （英语）. This configuration shows up very often in olympiad geometry, so recognize it when it appears! 
3. Morris, Richard, Circles through notable points of the triangle [過三角形特殊點的圓], The Mathematics Teacher（英语：The Mathematics Teacher）, 1928, 21 (2): 63–71, JSTOR 27951001, doi:10.5951/MT.21.2.0069 （英语） . 尤其見p. 65處關於諸圓${\displaystyle BIC,CIA,AIB}$ 及圓心的討論。
4. Bogomolny, Alexander（英语：Alexander Bogomolny）, A Property of Circle Through the Incenter [過內心的圓之某性質], Cut-the-Knot, [2016-01-26], （原始内容于2021-12-12） （英语） .
5. 6. Лемма о трезубце [6. 三叉引理] (PDF). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 2014-10-29 [2021-12-12]. （原始内容 (PDF)于2021-12-12） （俄语）. 
6. Bogomolny, Alexander, Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters [內心與諸旁心所連線段之中點], Cut-the-Knot, [2016-01-26], （原始内容于2021-12-12） （英语） .
7. Aref, M. N.; Wernick, William, Problems and Solutions in Euclidean Geometry [歐氏幾何問題及解答], Dover Books on Mathematics, Dover Publications, Inc., 3.3(i), p. 68, 1968 [2021-12-12], ISBN 9780486477206, （原始内容于2021-12-12） （英语） .
8. Yiu, Paul, Conic construction of a triangle from its incenter, nine-point center, and a vertex [給定內心、九點圓心、一頂點，以圓錐曲線構作原三角形] (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 2012, 16 (2): 171–183 [2021-12-12], MR 3088369, （原始内容 (PDF)于2020-11-28） （英语） 
9. Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. Задачи для школьного математического кружка [數學興趣小組題目] (PDF). Problem 1.2. : 4 [2021-12-12]. （原始内容 (PDF)于2021-12-12） （俄语）. 
10. И. А. Кушнир. Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера [這個發現——萊昂哈德·歐拉的金鑰] (PDF). Ф7 (Теорема трилистника), p.34；證明見p.36. [2021-12-12]. （原始内容 (PDF)于2021-12-12）.