九点圆定理, 指出, 在平面中, 對所有三角形, 其三邊的中點, 三高的垂足, 頂點到垂心的三條線段的中點, 必然共圆, 这个圆被称为九點圓, 又称歐拉圓, 費爾巴哈圓, 九點圓具有以下性質, 九點圓的半徑是外接圓的一半, 且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線, 圓心在歐拉線上, 且在垂心到外心的線段的中點, 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切, 費爾巴哈定理, 圓周上四點任取三點做三角形, 四個三角形的九點圓圓心共圓, 庫利奇, 大上定理, 九點圓, 目录, 歷史, 九點圓证明, 性質證明, 其他, 參見條目. 九点圆定理指出 在平面中 對所有三角形 其三邊的中點 三高的垂足 頂點到垂心的三條線段的中點 必然共圆 这个圆被称为九點圓 又称歐拉圓 費爾巴哈圓 九點圓具有以下性質 九點圓的半徑是外接圓的一半 且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線 圓心在歐拉線上 且在垂心到外心的線段的中點 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切 費爾巴哈定理 圓周上四點任取三點做三角形 四個三角形的九點圓圓心共圓 庫利奇 大上定理 九點圓 目录 1 歷史 2 九點圓证明 3 性質證明 4 其他 5 參見條目 6 參考資料歷史 编辑1765年 萊昂哈德 歐拉證明 垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓 六點圓 許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓 而第一個證明九點圓的人是彭賽列 1821年 1822年 卡尔 威廉 費爾巴哈也發現了九點圓 並得出 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切 因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓 並稱這四個切點為費爾巴哈點 庫利奇與大上分別於1910年與1916年發表庫利奇 大上定理 圓周上四點任取三點做三角形 四個三角形的九點圓圓心共圓 這個圓還被稱為四邊形的九點圓 此結果還可推廣到n邊形 九點圓证明 编辑 nbsp 如圖 D displaystyle D nbsp E displaystyle E nbsp F displaystyle F nbsp 為三邊的中點 G displaystyle G nbsp H displaystyle H nbsp I displaystyle I nbsp 為垂足 J displaystyle J nbsp K displaystyle K nbsp L displaystyle L nbsp 為和頂點到垂心的三條線段的中點 容易得出 A B S A F J displaystyle triangle ABS sim triangle AFJ nbsp C B S C D L displaystyle triangle CBS sim triangle CDL nbsp S A S displaystyle SAS nbsp 相似 因此F J B H D L displaystyle overline FJ overline BH overline DL nbsp 同樣可得出 A B C F B D displaystyle triangle ABC sim triangle FBD nbsp A S C J S L displaystyle triangle ASC sim triangle JSL nbsp S A S displaystyle SAS nbsp 相似 因此F D A C J L displaystyle overline FD overline AC overline JL nbsp 又B H A C displaystyle overline BH perp overline AC nbsp 可得出四邊形D F J L displaystyle DFJL nbsp 是矩形 四點共圓 同理可證F K L E displaystyle FKLE nbsp 也是矩形 D K F J E L displaystyle DKFJEL nbsp 共圓 J L D J G D 90 displaystyle angle JLD angle JGD 90 circ nbsp 因此可知G displaystyle G nbsp 也在圓上 圓周角相等 同理可證H displaystyle H nbsp I displaystyle I nbsp 兩點也在圓上 九點共圓 性質證明 编辑 nbsp 九點圓的半徑是外接圓的一半 且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線 在直角坐標系中 我們知道圓的方程為 x x 0 2 y y 0 2 r 2 displaystyle x x 0 2 y y 0 2 r 2 nbsp 其中r displaystyle r nbsp 為圓的半徑 x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp 為圓的圓心坐標 若做圓上三點與點 x S y S displaystyle x S y S nbsp 的中點的軌跡 則此軌跡的方程式為 x x 0 x S 2 2 y y 0 y S 2 2 r 2 2 displaystyle left x frac x 0 x S 2 right 2 left y frac y 0 y S 2 right 2 left frac r 2 right 2 nbsp dd 設r displaystyle r nbsp 為外接圓的半徑 x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp 為外接圓的圓心坐標 點 x S y S displaystyle x S y S nbsp 為垂心坐標 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點 故此軌跡圓就是九點圓 半徑是外接圓的一半 且平分垂心與外接圓上的任一點的連線 同時還可以得出下面的性質 圓心在歐拉線上 且在垂心到外心的線段的中點 由此可知 給定三角形頂點座標 九點圓圓心為 x 1 2 y 1 2 2 x 2 x 3 y 2 y 3 y 1 1 x 2 2 y 2 2 2 x 3 x 1 y 3 y 1 y 2 1 x 3 2 y 3 2 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 1 4 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 x 1 x 1 2 y 1 2 2 x 2 x 3 y 2 y 3 1 x 2 x 2 2 y 2 2 2 x 3 x 1 y 3 y 1 1 x 3 x 3 2 y 3 2 2 x 1 x 2 y 1 y 2 1 4 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 displaystyle left frac begin vmatrix x 1 2 y 1 2 2 left x 2 x 3 y 2 y 3 right amp y 1 amp 1 x 2 2 y 2 2 2 left x 3 x 1 y 3 y 1 right amp y 2 amp 1 x 3 2 y 3 2 2 left x 1 x 2 y 1 y 2 right amp y 3 amp 1 end vmatrix 4 begin vmatrix x 1 amp y 1 amp 1 x 2 amp y 2 amp 1 x 3 amp y 3 amp 1 end vmatrix frac begin vmatrix x 1 amp x 1 2 y 1 2 2 left x 2 x 3 y 2 y 3 right amp 1 x 2 amp x 2 2 y 2 2 2 left x 3 x 1 y 3 y 1 right amp 1 x 3 amp x 3 2 y 3 2 2 left x 1 x 2 y 1 y 2 right amp 1 end vmatrix 4 begin vmatrix x 1 amp y 1 amp 1 x 2 amp y 2 amp 1 x 3 amp y 3 amp 1 end vmatrix right nbsp nbsp 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切 費爾巴哈定理 主条目 費爾巴哈定理 圓周上四點任取三點做三角形 四個三角形的九點圓圓心共圓 庫利奇 大上定理 主条目 庫利奇 大上定理其他 编辑垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足 相对于对棱 共球的特例 两者是同构的 主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓 三線坐標中 九點圓的座標為cos B C cos C A cos A B displaystyle cos B C cos C A cos A B nbsp 三線坐標中 費爾巴哈點的座標為1 cos B C 1 cos C A 1 cos A B displaystyle 1 cos B C 1 cos C A 1 cos A B nbsp 參見條目 编辑萊昂哈德 歐拉 卡尔 威廉 費爾巴哈參考資料 编辑幾何明珠 ISBN 957 603 197 4 1 幾何寶庫 页面存档备份 存于互联网档案馆 2 页面存档备份 存于互联网档案馆 Feuerbach s Theorem a Proof 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 九点圆定理 amp oldid 77003189, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,