謝爾賓斯基空間

在數學上，謝爾賓斯基空間（Sierpiński space，又稱兩點連通空間（connected two-point set））是一個包含兩個元素的有限拓樸空間，其中只有一個元素是閉合的。^[1]這個空間是所有非密着且非离散的拓樸空間中最小的，而這空間以波蘭數學家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏為名。

因為謝爾賓斯基空間在斯科特拓樸當中，是開集的分類空間（classifying space）之故，因此這集合在可计算性理论和語意處理上有重要的應用。^[2][3]

定義及基本性質

謝爾賓斯基空間${\displaystyle S}$ 是一個其點集合為${\displaystyle \{0,1\}}$ 的拓樸空間，其所有的開集如下：

${\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.}$ 

其所有的閉集如下：

${\displaystyle \{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.}$ 

也就是說，其單點集${\displaystyle \{0\}}$ 是閉集，而其單點集${\displaystyle \{1\}}$ 是開集，另外此處的${\displaystyle \varnothing }$ 代表空集合。

此空間的閉包如下：

${\displaystyle {\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.}$ 

一個有限的拓樸空間亦可由其特殊化预序唯一定義，當中，這预序是一個偏序，其形式如下：

${\displaystyle 0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.}$ 

拓樸性質

謝爾賓斯基空間${\displaystyle S}$ 是特定點拓樸（particular point topology）（謝爾賓斯基空間的特定點為1）和排除點拓樸（excluded point topology）（謝爾賓斯基空間的排除點為0）的一個特殊例子，因此謝爾賓斯基空間和這兩類拓樸空間有許多共通之處。

分離性

• 在謝爾賓斯基空間中，0和1這兩點是拓撲可區分的，這是因為${\displaystyle \{1\}}$ 是一個只包含這兩者其中一點的開集之故，因此謝爾賓斯基空間是一個柯爾莫果洛夫空間（${\displaystyle T_{0}}$ 空間）。
• 然而謝爾賓斯基空間不是一個${\displaystyle T_{1}}$ 空間，這是因為${\displaystyle \{1\}}$ 這個單點集不是閉集之故，也因此謝爾賓斯基空間不是豪斯多夫空間或${\displaystyle T_{n}}$ 空間（其中${\displaystyle n\geq 1}$ ）。
• 然而謝爾賓斯基空間不是正則空間或完全正则空间，這是因為1這個點及其不相交集合${\displaystyle \{0\}}$ 不能以鄰域分離之故（另外點能以鄰域分離的${\displaystyle T_{0}}$ 空間是豪斯多夫空間）。
• 然而謝爾賓斯基空間可視為正规空间和完全正规空间，這是因為這空間中沒有非空的分离集合所致。
• 然而謝爾賓斯基空間不是完美正规空间，這是因為其彼此不相交的閉合${\displaystyle \varnothing }$ 和${\displaystyle \{0\}}$ 無法由函数完全分离所致。事實上，謝爾賓斯基空間的${\displaystyle \{0\}}$ 不能是任何連續函數${\displaystyle S\to R}$ 的零集（zero set），而這是因為任何這樣的連續函數都是常函數所致。

連通性

• 謝爾賓斯基空間同時是個超連通空間（Hyperconnected space）（這是因為其所有的非空開集都包含1所致）和特連通空間（Ultraconnected space）（這是因為其所有的非空閉集都包含0所致）。
• 謝爾賓斯基空間是個連通空間和道路连通空间。
• 一條連通謝爾賓斯基空間當中的0和1的道路${\displaystyle f:I\to S}$ 可定義如次：${\displaystyle f(0)=0}$ 且對於所有的${\displaystyle t>0}$ 而言${\displaystyle f(t)=1}$ ，這個函數是連續的，因為${\displaystyle f^{-1}(1)=(0,1]}$ 在${\displaystyle I}$ 是開集。
• 和所有的有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個局部道路連通空間。
• 謝爾賓斯基空間是個可壓縮空間（contractible space），因此其基本群是個當然群（這點對高階同倫群（higher homotopy groups）也成立）。

緊緻性

• 和所有有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個緊緻空間和第二可數空間。
• 謝爾賓斯基空間的緊子集${\displaystyle \{1\}}$ 不是閉集，而這顯示了${\displaystyle T_{0}}$ 空間的緊集不必然是閉集。
• 任何謝爾賓斯基空間的開覆蓋都必然包含謝爾賓斯基空間本身，這是因為謝爾賓斯基空間為0的唯一的開鄰域之故，因此任何的謝爾賓斯基空間的開覆蓋都有包含一個集合的子覆蓋，就是${\displaystyle \{S\}}$ 。
• 而這表示說謝爾賓斯基空間是個滿正規空間（fully normal space，仿紧空间的一個子類）。^[4]

收斂性

• 任何謝爾賓斯基空間當中的序列都收斂至0，這是因為在謝爾賓斯基空間當中，0唯一的鄰域是謝爾賓斯基空間本身。
• 在謝爾賓斯基空間當中一個序列收斂至1，當且僅當該序列僅有有限多項為0。
• 在謝爾賓斯基空間當中，1是某序列的一個聚集点，當且僅當該序列包含無限多項的1。
• 例子如下：
  • 1不是${\displaystyle (0,0,0,0,...)}$ 這序列的聚集点。
  • 1是${\displaystyle (0,1,0,1,0,1,...)}$ 這序列的聚集点1，但並非極限點。
  • ${\displaystyle (1,1,1,1,...)}$ 這序列同時收斂至0和1。

度量化可能性

• 謝爾賓斯基空間不是可度量化的空間，甚至也不是可偽度量化的空間，這是因為任何偽度量化的空間都必須是完全正则空间，而謝爾賓斯基空間就連正则空间都不是之故。
• 謝爾賓斯基空間可由偽擬度量生成，其中${\displaystyle d(0,1)=0}$ 且${\displaystyle d(1,0)=1}$ 。

其他性質

• 謝爾賓斯基空間只有三個映至自身的連續函數：恆等函數、兩個分別映至0和1的常函數。
• 而這表示說謝爾賓斯基空間的同胚群（英语：homeomorphism group）是當然群。

映至謝爾賓斯基空間的連續函數

設${\displaystyle X}$ 是一個任意集合，那麼一般會將所有從${\displaystyle X}$ 映至${\displaystyle \{0,1\}}$ 的函數的集合給記做${\displaystyle 2^{X}}$ ，這些函數即是${\displaystyle X}$ 的指示函数，所有的指示函数都有如下的形式：

${\displaystyle \chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}}$ 

在其中${\displaystyle U}$ 是${\displaystyle X}$ 的一個子集。換句話說${\displaystyle 2^{X}}$ 這個函數的集合和${\displaystyle X}$ 的幂集${\displaystyle P(X)}$ 間，有著雙射的關係。每個${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle U}$ 都有自己的指示函数${\displaystyle \chi _{U}}$ ，而每個從${\displaystyle X}$ 映至${\displaystyle \{0,1\}}$ 的函數都有如此的形式。

現在假定${\displaystyle X}$ 是個拓樸空間，而${\displaystyle \{0,1\}}$ 有著謝爾賓斯基拓樸，那麼${\displaystyle \chi _{U}:X\to S}$ 是個連續函數，當且僅當${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(U):X\to S}$ 在${\displaystyle X}$ 中是個開集；然而根據定義，我們有

${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)=U.}$ 

因此${\displaystyle \chi _{U}}$ 是個連續函數，當且僅當${\displaystyle U}$ 在${\displaystyle X}$ 中是個開集。

假定${\displaystyle C(X,S)}$ 是所有從${\displaystyle X}$ 映至${\displaystyle S}$ 的連續函數的集合，並假定${\displaystyle T(X)}$ 是${\displaystyle X}$ 的拓樸（也就是所有開集的集族），那麼就存在一個從${\displaystyle T(X)}$ 映至${\displaystyle C(X,S)}$ 的雙射，這映射會將${\displaystyle U}$ 映至${\displaystyle \chi _{U}}$ 之上。

${\displaystyle C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)}$ 

也就是說，假若將${\displaystyle 2^{X}}$ 和${\displaystyle P(X)}$ 對等，那麼其連續映射的子集${\displaystyle C(X,S)\subset 2^{X}}$ 會是${\displaystyle T(X)\subset P(X)}$ 的拓樸。

一個特別值得注意的例子是在對偏序集合的斯科特拓樸中，謝爾賓斯基空間會在指示函数保持定向连接（directed join）的狀況下，成為其開集的分類空間。^[5]

范畴论的描述

上述的結構可以用范畴论的語言很好地表達。有個從拓撲空間範疇到集合范畴的反變函子${\displaystyle T:Top\to Set}$ 將每個拓樸空間${\displaystyle X}$ 給指派給其開集的集合${\displaystyle T(X)}$ ，並將每個連續函數${\displaystyle f:X\to Y}$ 給指派給其原像：

${\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).}$ 

而相關敘述如下：${\displaystyle T}$ 這個函子由${\displaystyle (S,\{1\})}$ 表示，其中${\displaystyle S}$ 為謝爾賓斯基空間，也就是說，${\displaystyle T}$ 和同態函子（Hom functor）${\displaystyle Hom(-,S)}$ 間有著自然同構，而這自然同構由泛元素${\displaystyle \{1\}\in T(S)}$ 決定，而這可由预层的概念一般化。^[6]

初拓扑

任何的拓樸空間${\displaystyle X}$ 都有由映至謝爾賓斯基空間的連續函數的集族${\displaystyle C(X,S)}$ 所引致的初拓扑。事實上，若要將${\displaystyle X}$ 的拓樸變得更加粗糙，那就必須將一些開集給移除；然而若將開集${\displaystyle U}$ 給移除，那麼${\displaystyle \chi _{U}}$ 這個函數就會變得不連續，因此在${\displaystyle C(X,S)}$ 當中的每個函數都連續的情況下，${\displaystyle X}$ 有著最粗糙的拓樸。

函數的集族${\displaystyle C(X,S)}$ 區分${\displaystyle X}$ 上的點，當且僅當${\displaystyle X}$ 是個${\displaystyle T_{0}}$ 空間。${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 這兩點可由指示函数${\displaystyle \chi _{U}}$ 區分，當且僅當開集${\displaystyle U}$ 包含其中一點但不同時包含兩者。這也就是${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 拓樸可區分的確實含意。

也就是說，若${\displaystyle X}$ 是個${\displaystyle T_{0}}$ 空間，那就可以將${\displaystyle X}$ 給嵌入謝爾賓斯基空間的积空间中，在其中對於每個${\displaystyle X}$ 的開集${\displaystyle U}$ 而言，都有一個${\displaystyle S}$ 的複本與之對應。其嵌入函數

${\displaystyle e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}}$ 

可由下列函數得出：

${\displaystyle e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,}$ 

由於${\displaystyle T_{0}}$ 空間的子空間和积空间還是${\displaystyle T_{0}}$ 空間之故，因此一個拓樸空間是${\displaystyle T_{0}}$ 空間，當且僅當其與謝爾賓斯基空間的积空间的某個子空間同胚。

在代數幾何中

在代數幾何中，謝爾賓斯基空間會作為${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ （整數在質數${\displaystyle p}$ 生成的素理想上的局部化）之類的離散賦值環（Discrete valuation ring）${\displaystyle R}$ 的譜${\displaystyle Spec(R)}$ 出現。其中${\displaystyle Spec(R)}$ 起自零理想的一般點（generic point）會對應至開集點1；而${\displaystyle Spec(R)}$ 起自極大理想的特殊點（special point）會對應至閉集點0。

參見

• 有限拓樸空間（Finite topological space）
• 拓樸列表（List of topologies）
• 偽圓（Pseudocircle）

註解

1. nLab的Sierpinski space條目
2. 一篇網路文章解釋了為何拓樸學可用在電腦科學中對「概念」的研究之上，詳情可見Alex Simpson的《Mathematical Structures for Semantics （页面存档备份，存于互联网档案馆）》一文的第三章《Topological Spaces from a Computational Perspective （页面存档备份，存于互联网档案馆）》，其中的「參照」一節提供了許多網路上關於域理论的文章。
3. Escardó, Martín. Synthetic topology of data types and classical spaces. Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87. Elsevier. 2004. 
4. Steen和Seebach二氏錯誤地認為謝爾賓斯基空間不是滿正規空間（或以其術語來說，不是滿${\displaystyle T_{4}}$ 空間）。
5. nLab的Scott topology條目
6. Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102

參考

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 
• Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", Mathematics Magazine 50(3): 158–60 doi:10.2307/2689505