^T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35.
^Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓撲斯,邏輯的範疇論分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. (原始内容于2020-03-21) (英语).
七月 17, 2023
满射, 或蓋射, 英語, surjection, onto, 或稱函数或映成函數, 一个函数f, displaystyle, rightarrow, 則对于任意的陪域, displaystyle, 中的元素, displaystyle, 在函数的定义域, displaystyle, 中存在一點, displaystyle, 使得, displaystyle, 换句话说, displaystyle, 是時, 它的值域f, displaystyle, 与陪域y, displaystyle, 相等, 或者, 等价地, 如. 满射或蓋射 英語 surjection onto 或稱满射函数或映成函數 一个函数f X Y displaystyle f X rightarrow Y 为满射 則对于任意的陪域 Y displaystyle Y 中的元素 y displaystyle y 在函数的定义域 X displaystyle X 中存在一點 x displaystyle x 使得 f x y displaystyle f x y 换句话说 f displaystyle f 是满射時 它的值域f X displaystyle f X 与陪域Y displaystyle Y 相等 或者 等价地 如果每一个陪域中的元素 y Y displaystyle y in Y 其原像 f 1 y X displaystyle f 1 y subseteq X 不等於空集合 目录 1 例子和反例 2 性质 2 1 右可逆函數 2 2 右可消去 2 3 作為二元關係 2 4 定義域不小於陪域 2 5 複合與分解 2 6 導出滿射和導出雙射 3 相关条目 4 參考文獻例子和反例 编辑函数g R R displaystyle g mathbb R rightarrow mathbb R 定义为g x x 2 displaystyle g x x 2 不是一个满射 因为 舉例 不存在一个实数满足x 2 1 displaystyle x 2 1 但是 如果把g displaystyle g 的陪域限制到只有非负实数 则函数g displaystyle g 为满射 这是因为 给定一个任意的非负实数y displaystyle y 我们能对y x 2 displaystyle y x 2 求解 得到x y displaystyle x pm sqrt y 雙射 單射與滿射 單射 one to one 但非滿射 滿射 onto 但非单射 非滿射非單射性质 编辑根据定义 函数为双射当且仅当它既是满射也是单射 若將定義在X displaystyle X 上的函數f displaystyle f 視為其圖像 即 x f x x X displaystyle x f x x in X 集合論經常如此行 則滿射與否 不僅是f displaystyle f 的性質 而是映射 需要聲明陪域 的性質 1 單射與否可以單憑圖像判斷 但滿射則不同 不能單憑圖像判斷 因為要知道陪域 右可逆函數 编辑 函數g Y X displaystyle g Y to X 稱為函數f X Y displaystyle f X to Y 的右逆 意思是f g y y displaystyle f g y y 對Y displaystyle Y 的所有元素y displaystyle y 成立 簡而言之 g displaystyle g 的效果 可以f displaystyle f 復原 用文字表示 g displaystyle g 是f displaystyle f 的右逆 意思是先做g displaystyle g 後做f displaystyle f 的複合f g displaystyle f circ g 等於Y displaystyle Y 上的恆等函數 即不造成任何變化 此處不要求g displaystyle g 是f displaystyle f 的真正反函數 因為另一次序的複合g f displaystyle g circ f 不必是X displaystyle X 的恆等函數 換言之 f displaystyle f 可以 復原 或 抵消 g displaystyle g 但不必被g displaystyle g 復原或抵消 若函數有右逆 則必為滿射 但反之 每個滿射皆有右逆 此一命題 等價於選擇公理 故在某些集合論中 例如假設決定公理為真的集合論系統 不必為真 若f X Y displaystyle f X to Y 為滿射 B displaystyle B 為Y displaystyle Y 的子集 則f f p r e B B displaystyle f f mathrm pre B B 即從預象f p r e B displaystyle f mathrm pre B 可以找回B displaystyle B 右可消去 编辑 函數f X Y displaystyle f X to Y 是滿射 當且僅當其為右可消去 英语 right cancellative 2 給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數g h Y Z displaystyle g h Y to Z 若g f h f displaystyle g circ f h circ f 則有g h displaystyle g h 此性質的敍述用到函數和複合 可以對應推廣成範疇的態射和複合 右可消的態射稱為滿態射 英语 epimorphism 或滿同態 滿射與滿態射的關係在於 滿射就是集合範疇中的滿態射 範疇論中 有右逆的態射必為滿態射 但反之則不然 態射f displaystyle f 的右逆g displaystyle g 也稱為f displaystyle f 的截面 英语 section category theory 而有右逆的態射稱為分裂滿態射 英语 split epimorphism 是一類特殊的滿態射 作為二元關係 编辑 以X displaystyle X 為定義域 Y displaystyle Y 為值域的函數 可以視為兩集合之間的左全 英语 left total relation 右唯一 英语 right unique relation 的二元關係 因為可將函數與圖像等同 此觀點下 由X displaystyle X 到Y displaystyle Y 的滿射 是右唯一而既左全又右全的關係 定義域不小於陪域 编辑 滿射的定義域 必有大於或等於其陪域的基數 若f X Y displaystyle f X to Y 為滿射 則X displaystyle X 的元素個數必定至少等於Y displaystyle Y 的元素個數 在基數意義下 但此結論的證明 需要假定選擇公理 以證明f displaystyle f 有右逆 即存在函數g Y X displaystyle g Y to X 使得f g y y displaystyle f g y y 對Y displaystyle Y 的任意元素y displaystyle y 成立 滿足此性質的g displaystyle g 必為單射 故由基數大小比較的定義 有 Y X displaystyle Y leq X 特別地 若X displaystyle X 和Y displaystyle Y 皆是有限 且兩者的元素個數相同 則f X Y displaystyle f X to Y 是滿射當且僅當f displaystyle f 為單射 給定兩個集合X displaystyle X 和Y displaystyle Y 以X Y displaystyle X leq Y 表示 或者X displaystyle X 為空 或者存在由Y displaystyle Y 至X displaystyle X 的滿射 利用選擇公理 可以證明 X Y displaystyle X leq Y 和Y X displaystyle Y leq X 兩者一起 足以推出 Y X displaystyle Y X 此為康托爾 伯恩斯坦 施羅德定理的變式 複合與分解 编辑 兩個滿射的複合仍是滿射 若f displaystyle f 和g displaystyle g 皆為滿射 且g displaystyle g 的陪域是f displaystyle f 的定義域 則f g displaystyle f circ g 也是滿射 反之 若f g displaystyle f circ g 為滿 則f displaystyle f 是滿射 但g displaystyle g 不必為滿射 與右可消去一節一樣 從集合範疇的滿射 可以推廣到一般範疇的滿態射 任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合 對任意h X Z displaystyle h X to Z 都存在滿射f X Y displaystyle f X to Y 和單射g Y Z displaystyle g Y to Z 使得h g f displaystyle h g circ f 取法如下 定義Y displaystyle Y 為所有原像h p r e z displaystyle h mathrm pre z 的集合 其中z displaystyle z 歷遍h displaystyle h 的值域 該些原像兩兩互斥 且劃分X displaystyle X 於是 f displaystyle f 將每個x displaystyle x 映到包含x displaystyle x 的原像 此為Y displaystyle Y 的元素 然後g displaystyle g 再將Y displaystyle Y 的每個元素 形如h p r e z displaystyle h mathrm pre z 映到相應的z displaystyle z 則f displaystyle f 為滿射 因為Y displaystyle Y 中的元素 是原像h p r e z displaystyle h mathrm pre z 且非空 故有某個x h p r e z displaystyle x in h mathrm pre z 所以由f displaystyle f 的定義有f x h p r e z displaystyle f x h mathrm pre z 而根據g displaystyle g 的定義 其為單射 導出滿射和導出雙射 编辑 任何函數 若將其陪域限制成值域 則可以視為滿射 稱為其導出滿射 任何滿射 若將定義域換成商集 即將函數值相同的參數 摺疊成同一個 等價類 則得到一個雙射 其由等價類組成的集合 射去原函數的陪域 以符號表示 每個滿射f A B displaystyle f A to B 可以分解成先做一個商映射 再做一個雙射 考慮以下等價關係 x y displaystyle x sim y 當且僅當f x f y displaystyle f x f y 以A displaystyle A sim 表示此等價關係下 A displaystyle A 的等價類的集合 換言之 A displaystyle A sim 是f displaystyle f 所有原像的集合 以P A A displaystyle P A to A sim 表示將x displaystyle x 映到等價類 x displaystyle x sim 的商映射 又設f P A B displaystyle f P A sim to B 定義為f P x f x displaystyle f P x sim f x 則f f P P displaystyle f f P circ P 由定義知 P displaystyle P 是滿射 而f P displaystyle f P 是雙射 相关条目 编辑单射 双射參考文獻 编辑Bourbaki Nicolas Theory of Sets Springer 2004 1968 ISBN 978 3 540 22525 6 T M Apostol Mathematical Analysis Addison Wesley 1981 35 Goldblatt Robert Topoi the Categorial Analysis of Logic 拓撲斯 邏輯的範疇論分析 Revised Dover Publications 2006 1984 2009 11 25 ISBN 978 0 486 45026 1 原始内容存档于2020 03 21 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 满射 amp oldid 77834739, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,