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完备空间

七月 20, 2023

完备空间，或称完备度量空间（英語：Complete metric space）是具有下述性质的一种度量空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 [1][2]

例子

  • 有理数空间不是完备的，因为 的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限 不在有理数空间内。
  • 实数空间是完备的
  • 开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛於(0, 1)中任何的点。
  • 令S为任一集合，SN为S中的所有序列。如下定义SN上任意两个序列(xn)和(yn)的距离：如果存在某个最小的N，使 ，那么定义距离为1/N；否则（所有的对应项都相等）距离为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。

相关定理

  • 任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。
  • 完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。
  • 若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：
 。
  • 若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合Cb(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。

完备化

定义

对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M' （或者表示为 ），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。M' 具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M' 到N的一致连续函数f' 使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M' 在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为M的完备化空间。

以上定义是基于M是M'的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。

对於交换环及於其上的模，同样可以定义相对於一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。

构造

类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。

对M中的任意两个柯西序列x=(xn)和y=(yn)，我们可以定义它们间的距离： d(x,y) = limn d(xn,yn)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从Lp到 ），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价关系）。这样，令ξx = {y是M上的柯西序列： }，M' ={ξx：x ∈ M}，原空间M就以x ξx的映射方式嵌入到新的完备度量空间M' 中。易于验证，M等距同构于M' 的稠密子空间。

康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。

性质

康托爾的實數建構是上述構造的特例；此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值，得到的完備空間則為p進數。

若將上述流程施於賦範向量空間，可得到一個巴拿赫空間，原空間是其中的稠密子空間。若施於一個內積空間，得到的則是希爾伯特空間，原空間依然是其稠密子空間。

相关概念

  • 完备与闭：前面讲，完备类似于闭，那么，“完备”与“闭”的区别在何处呢？它们的区别在于，完备是空间或集合的性质，而闭是子集的性质。通常我们说某个集合是闭集或开集，实际上是指该集合是R1或某个拓扑空间的闭子集或开子集。例如，开区间(0, 1)是全集(0, 1)或 的闭子集，因为(0, 1)在这两个全集中的导集是其自身。但(0, 1)是R1的开子集。闭子集可以用收敛序列定义，因为收敛序列的极限点总是在全集中的，极限点在子集中与否决定该子集是否为闭子集。与此相对，完备性的定义中没有全集的概念，这也是为什么在其定义中必须用柯西序列而不能用收敛序列，因为在收敛序列的定义中必有极限点，若该极限点不在度量空间中，则收敛序列中的点到该极限点距离是未定义的。

参见

  • 数学分析术语

參考資料

  1. ^ 张恭庆; 林源渠. 泛函分析讲义. 北京大学出版社. 1987. ISBN 978-7-301-00489-0. 
  2. ^ Sutherland, Wilson A. Introduction to Metric and Topological Spaces. 1975. ISBN 978-0-19-853161-6. 
  • Tsolomitis, Yuli Eidelman ; Vitali Milman ; Antonis. Functional analysis an introduction. Providence, RI: American Mathematical Soc. 2004. ISBN 9780821836460. 

七月 20, 2023
完备空间, 此條目需要补充更多来源, 2017年1月8日, 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除, 致使用者, 请搜索一下条目的标题, 来源搜索, 网页, 新闻, 书籍, 学术, 图像, 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源, 判定指引, 或称完备度量空间, 英語, complete, metric, space, 是具有下述性质的一种度量空间, 空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内, 目录, 例子, 相关定理, 完备化, 定义, 构造, 性质, 相关概念, 参见. 此條目需要补充更多来源 2017年1月8日 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目 无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除 致使用者 请搜索一下条目的标题 来源搜索 完备空间 网页 新闻 书籍 学术 图像 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源 判定指引 完备空间 或称完备度量空间 英語 Complete metric space 是具有下述性质的一种度量空间 空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内 1 2 目录 1 例子 2 相关定理 3 完备化 3 1 定义 3 2 构造 3 3 性质 4 相关概念 5 参见 6 參考資料例子 编辑有理数空间不是完备的 因为2 sqrt 2 的有限位小数表示是一个柯西序列 但是其极限2 sqrt 2 不在有理数空间内 实数空间是完备的 开区间 0 1 不是完备的 序列 1 2 1 3 1 4 1 5 是柯西序列但其不收敛於 0 1 中任何的点 令S为任一集合 SN为S中的所有序列 如下定义SN上任意两个序列 xn 和 yn 的距离 如果存在某个最小的N 使x N y N x N neq y N 那么定义距离为1 N 否则 所有的对应项都相等 距离为0 按此方式定义的度量空间是完备的 该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积 相关定理 编辑任一紧致度量空间都是完备的 实际上 一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的 完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集 若X为一集合 M是一个完备度量空间 则所有从X映射到M的有界函数f的集合B X M 是一个完备度量空间 其中集合B X M 中的距离定义为 d f g sup d f x g x x X d f g sup left d f x g x x in X right 若X为一拓扑空间 M是一个完备度量空间 则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合Cb X M 是B X M 按上一条目的定义 中的闭子集 因而也是完备的 贝尔纲定理 任一完备度量空间为一贝尔空间 就是说 该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点 完备化 编辑定义 编辑 对任一度量空间M 我们可以构造相应的完备度量空间M 或者表示为M bar M 使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间 M 具备以下普适性质 若N为任一完备度量空间 f为任一从M到N的一致连续函数 则存在唯一的从M 到N的一致连续函数f 使得该函数为f的扩展 新构造的完备度量空间M 在等距同构意义下由该性质所唯一决定 称为M的完备化空间 以上定义是基于M是M 的稠密子空间的概念 我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间 可以证明 这样定义的完备化空间存在 唯一 在等距同构意义下 且与上述定义等价 对於交换环及於其上的模 同样可以定义相对於一个理想的完备性及完备化 详见条目完备化 环论 构造 编辑 类似于从有理数域出发定义无理数的方法 我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备 对M中的任意两个柯西序列x xn 和y yn 我们可以定义它们间的距离 d x y limn d xn yn 实数域完备所以该极限存在 按此方式定义的度量还只是伪度量 这是因为不同的柯西序列均可收敛到0 但我们可以象很多情况中所做的一样 比如从Lp到L p mathcal L p 将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合 其中等价类是基于距离为0的关系 易于验证该关系是等价关系 这样 令3x y是M上的柯西序列 y n x y n rightarrow x M 3x x M 原空间M就以x rightarrow 3x的映射方式嵌入到新的完备度量空间M 中 易于验证 M等距同构于M 的稠密子空间 康托法构造实数是该完备化方法的一个特例 实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间 性质 编辑 康托爾的實數建構是上述構造的特例 此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化 倘若在有理數集上另取其它的絕對值 得到的完備空間則為p進數 若將上述流程施於賦範向量空間 可得到一個巴拿赫空間 原空間是其中的稠密子空間 若施於一個內積空間 得到的則是希爾伯特空間 原空間依然是其稠密子空間 相关概念 编辑此條目應避免有陳列雜項 瑣碎資料的部分 2022年3月27日 請協助將有關資料重新編排成連貫性的文章 安置於適當章節或條目內 完备与闭 前面讲 完备类似于闭 那么 完备 与 闭 的区别在何处呢 它们的区别在于 完备是空间或集合的性质 而闭是子集的性质 通常我们说某个集合是闭集或开集 实际上是指该集合是R1或某个拓扑空间的闭子集或开子集 例如 开区间 0 1 是全集 0 1 或 0 1 2 3 0 1 cup 2 3 的闭子集 因为 0 1 在这两个全集中的导集是其自身 但 0 1 是R1的开子集 闭子集可以用收敛序列定义 因为收敛序列的极限点总是在全集中的 极限点在子集中与否决定该子集是否为闭子集 与此相对 完备性的定义中没有全集的概念 这也是为什么在其定义中必须用柯西序列而不能用收敛序列 因为在收敛序列的定义中必有极限点 若该极限点不在度量空间中 则收敛序列中的点到该极限点距离是未定义的 参见 编辑数学分析术语參考資料 编辑 张恭庆 林源渠 泛函分析讲义 北京大学出版社 1987 ISBN 978 7 301 00489 0 Sutherland Wilson A Introduction to Metric and Topological Spaces 1975 ISBN 978 0 19 853161 6 Tsolomitis Yuli Eidelman Vitali Milman Antonis Functional analysis an introduction Providence RI American Mathematical Soc 2004 ISBN 9780821836460 取自 https zh wikipedia org w index php title 完备空间 amp oldid 74244285, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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