完備化 (環論)

在交換代數中，可以探討一個交換環 ${\displaystyle R}$ 本身，或一個 ${\displaystyle R}$-模對一理想 ${\displaystyle I\subset R}$ 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質，完備化是研究交換環的基本工具。

幾何上，交換環的完備化對應到一個閉子概形的形式鄰域。

I-進拓撲

對於一個交換環 ${\displaystyle R}$  及其理想 ${\displaystyle I}$ （通常取為極大理想），可以藉著取 ${\displaystyle I^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$  為零元素的開鄰域，賦予 ${\displaystyle R}$  相應的拓撲結構，使之成為對加法的拓撲群。這種拓撲稱為 ${\displaystyle I}$ -進拓撲。

對於一個 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$ ，同樣可考慮零元素的開鄰域 ${\displaystyle I^{n}M}$ ，由此得到 ${\displaystyle M}$  上的 ${\displaystyle I}$ -進拓撲。

完備化及其性質

模 ${\displaystyle M}$  對 ${\displaystyle I\subset R}$  的完備化定義為射影極限：

${\displaystyle {\hat {M}}:=\varprojlim _{n}M/I^{n}M}$ 

正如其名，${\displaystyle {\hat {M}}}$  對其 ${\displaystyle I}$ -進拓撲是完備的。對於固定的 ${\displaystyle I\subset R}$ ，${\displaystyle M\mapsto {\hat {M}}}$  是從 ${\displaystyle R}$ -模範疇（態射為模同態）到 ${\displaystyle I}$ -進拓撲 ${\displaystyle R}$ -模（態射為連續同態）的函子；透過自然同態 ${\displaystyle M\to {\hat {M}}}$ ，它是與之反向的遺忘函子的左伴隨函子，因而是右正合的。

對於諾特環，${\displaystyle {\hat {R}}}$  是平坦的 ${\displaystyle R}$ -模。此時，對任何有限生成 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$ ，自然態射 ${\displaystyle {\hat {M}}\to M\otimes _{R}{\hat {R}}}$  是個同構。綜上所述，對於諾特環 ${\displaystyle R}$ 上的有限生成 ${\displaystyle R}$ -模，完備化是個正合函子。

此外，完備化也可以用柯西序列構造，得到的對象是自然同構的。

例子

• p進整數是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  對 ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$  的完備化。
• 形式冪級數環 ${\displaystyle k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}$  是多項式環 ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$  對 ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$  的完備化。

文獻

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6