多面體半形

提示：此条目的主题不是半多面體。

多面體半形，為一類型的射影多面體，同時也是抽象多面體。其可透過將點對稱的球面多面體（英语：Spherical polyhedron）進行對映映射後得到。多面體半形的面數只有原多面體的一半，而且投影平面上位於邊緣的對角頂點、對角邊、對角面皆視為相同幾何元素。存在半形體的多面體的必要條件為其原像須具備點對稱的特性，而向正四面體不具備點對稱的特性^[1]，因此正四面體不存在半形體。

性質

若兩多面體互為對偶多面體，則其對應的半形體也互為對偶多面體。例如立方體與正八面體互為對偶多面體，則立方體半形與正八面體半形也互為對偶多面體。多面體的半形體皆為不可定向圖形。^[2]

種類

正多面體半形

除了正四面體外，其他正多面體都存在半形體^[3][4][5][6]。

立方體半形

八面體半形

十二面體半形

二十面體半形

均勻多面體半形

部分阿幾米德立體和卡塔蘭立體也可以存在半形體^[7][8]。

截半立方體半形（原像：截半立方體）^[7]

菱形十二面體半形（英语：Rhombic hemi-dodecahedron）（原像：菱形十二面體）

截角二十面體半形（原像：截角二十面體）

多面形半形

多面形是一種球面多面體，由球面的一點與其對蹠點相連接而成，並將球面分成多個部分。若球面被分割的數量為偶數，則該多面形存在半形體。例如二面形、四面形、六面形等多面形皆存在半形體。^[9]

前幾個多面形半形性質如下：

n	名稱	施萊夫利符號	面數	邊數	頂點數	原始立體	原始立體的元素數 f:面, e:邊, v:頂點	對偶多面體	皮特里對偶
2	二面形半形	{2,2}1^[9]	1	1	1	二面形	f:2, e:2, v:2	（自身對偶）	一角形二面體 (f:2, e:1, v:1)^[10]
4	四面形半形	{2,4}4^[9]	2	2	1	四面形	f:4, e:4, v:2	正方形二面體半形	{4,4}1,0 (f:1, e:2, v:1)^[11]
6	六面形半形	{2,6}3^[9]	3	3	1	六面形	f:6, e:6, v:2	六邊形二面體半形	{3,6}1,1 (f:2, e:3, v:1)^[12]
8	八面形半形	{2,8}8^[9]	4	4	1	八面形	f:8, e:8, v:2	八邊形二面體半形	S2:{8,8} (f:1, e:4, v:1)^[13]
2n	2n面形半形		n	n	1	2n面形	f:2n, e:2n, v:2	2n邊形二面體半形	(不一定)

多邊形二面體半形

多邊形二面體是指多邊形在三維空間中不會僅有一個面，其正面與反面會成對出現，因此稱為多邊形二面體。而成對出現的面（正面與反面）則滿足多面體半形的定義，僅要原始多邊形具備點對稱特性及可取半形，例如正方形二面體可以取半形體，成為正方形二面體半形。^[9][14]

多邊形二面體半形是一種多面體半形，屬於抽象正多面體，有著多邊形二面體一半的面。其對應於圖論中的循環圖。^[15]僅有偶數邊數的多邊形二面體可以存在多面體半形。2p邊形二面體半形具有1個面、p條邊和p個頂點，虧格為1，在施萊夫利符號中可以用{2p,2}/2表示。^[9][15]

前幾個多邊形二面體半形性質如下：

n	名稱	施萊夫利符號	面數	邊數	頂點數	原始立體	原始立體的元素數 f:面, e:邊, v:頂點	對偶多面體	皮特里對偶
4	正方形二面體半形	{4,2}4^[9]	1	2	2	正方形二面體	f:2, e:4, v:4	四面形半形^[16]	（自身皮特里對偶）^[16]
6	六邊形二面體半形	{6,2}3^[9]	1	3	3	六邊形二面體	f:2, e:6, v:6	六面形半形	三角形二面體 (f:2, e:3, v:3)^[17]
8	八邊形二面體半形	{8,2}8^[9]	1	4	4	八邊形二面體	f:2, e:8, v:8	八面形半形^[18]	（自身皮特里對偶）^[18]

參考文獻

1. Henry Cohn. A tight squeeze. Mathematical physics, Nature. 2009, (460): 801–802 [2021-07-31]. doi:10.1038/460801a. （原始内容于2021-07-31）. 
2. Carlo H. Séquin, Tubular Sculptures, CS Division, University of California, Berkeley, CA, 2021-07 [2021-07-31], （原始内容于2021-07-31） 
3. The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容于2019-05-02）. 
4. The hemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容于2016-03-04）. 
5. The hemidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容于2017-03-16）. 
6. The hemi-icosahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容于2016-08-29）. 
7. The hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容于2021-01-26）. 
8. The hemi-icosidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容于2021-08-02）. 
9. Regular maps in the non-orientable surface of genus 1. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. （原始内容于2019-12-28）. 
10. The dimonogon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容于2021-07-31）. 
11. {4,4}_(1,0). Regular Map database - map details. [2021-07-24]. 
12. {3,6}_(1,1). Regular Map database - map details. [2021-07-24]. 
13. S2:{8,8}. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. 
14. N.S.Wedd. Regular Maps in the Projective Plane. Regular Map database, weddslist.com. [2021-07-24]. （原始内容于2020-01-28）. 
15. Séquin, Carlo. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps (PDF). Berkeley University. [2020-08-14]. （原始内容 (PDF)于2015-09-23）. 
16. The hemi-di-square. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容于2020-02-01）. 
17. The hemi-di-hexagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容于2016-03-14）. 
18. The hemi-di-octagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容于2016-03-14）. 

外部連結

• 立方體半形（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 正八面體半形 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 正十二面體半形（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 正二十面體半形（页面存档备份，存于互联网档案馆）