外自同構群

抽象代數的群論中，群G的外自同構群Out(G)是自同構群Aut(G)對內自同構群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。

G的一個自同構如不是內自同構，便稱為外自同構。外自同構群Out(G)的元素是G的內自同構子群Inn(G)在自同構群Aut(G)中的陪集，故其元素不是外自同構，同一元素可對應到某個外自同構和任何內自同構的複合，因此不能定義G的外自同構群於G上的作用。不過因為內自同構都將群G的元素映射到同共軛類的元素，所以可定義出外自同構群在G的共軛類上的作用。

然而，若G為阿貝爾群，則G的內自同構群是平凡群，於是Out(G)可以自然地等同於Aut(G)，即是Out(G)的每個元素都對應唯一的自同構，因此Out(G)可以作用於G上。（而這時G的共軛類也各僅有一個元素。）

一些有限群的外自同構群

G	Out(G)	${\displaystyle |{\mbox{Out}}(G)|}$
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	2
${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ （n > 2）	${\displaystyle \mathbb {(} Z/n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$ （${\displaystyle \varphi (n)}$ 是歐拉函數）
${\displaystyle \mathbb {(} Z/p\mathbb {Z} )^{n}}$ （p為素數，n > 1）	${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(p)}$	${\displaystyle \prod _{i=0}^{n-1}(p^{n}-p^{i})}$
對稱群${\displaystyle S_{n}}$ （n ≠ 6）	平凡群	1
${\displaystyle S_{6}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	2
交錯群${\displaystyle A_{n}}$ （n ≠ 6）	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	2
${\displaystyle A_{6}}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$	4

與中心對偶

群G的外自同構群，在下述意義下可以視為對偶於G的中心Z(G)：G的元素g所對應的共軛作用${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$ 是自同構，由此得映射${\displaystyle \sigma \colon G\to \mathrm {Aut} (G)}$ 。這映射是群同態，核是G的中心，而餘核是G的外自同構群（因這映射的像是G的內自同構群）。這關係可用正合列表示：

${\displaystyle Z(G)\hookrightarrow G{\overset {\sigma }{\to }}\operatorname {Aut} (G)\twoheadrightarrow \operatorname {Out} (G).}$ 

如果一個群只有平凡外自構群和平凡中心，即${\displaystyle \sigma }$ 為群同構時，稱之為完備群。

有限單群的外自同構群

施賴埃爾猜想指任何有限單群的外自同構群，都是可解的。按照有限單群分類去逐一檢驗，這項猜想已得證，但至今未有直接證明。

參考

• Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8  (chapter 7).