可分多项式

数学中，可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。

最常见的一个定义是：当在一个给定域K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时，称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数^[1]。在多项式因式分解的观点下，这样的多项式是无平方多项式。

第二个定义，当P(X)在K[X]中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同，此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的^[2]。在这个定义中，可分性依赖于K，比如任何一个不可分的不可约多项式P在它的分裂域上都变成可分的了。并且在这个定义下，每个完美域上的多项式是可分的，这包含了0特征域和所有有限域。

两个定义对于K上不可约多项式是等价的，这个被用来定义域K的可分扩张。

在条目的余下部分我们只用第一个定义。

一个多项式可分当且仅当它与它的形式导数P'(X)互素。

域的可分扩张

可分多项式被用于定义可分扩张：一个域扩张${\displaystyle K\subset L}$ 是一个可分扩张当且仅当对任意的代数元${\displaystyle \alpha \in L}$ ，${\displaystyle \alpha }$ 在K上的极小多项式是可分多项式。

不可分扩张只可能在特征为p的域上出现。

由定义可以立马得到如果P是不可约的并且不可分，那么P'(X)=0.因此必须有：

P(X) = Q(X^p)

对某个K上多项式Q成立，当中p是K的特征。

对此，我们能够构造一个例子：

P(X) = X^p − T

当中K是在有限域F_p上的不定元T的有理函数组成的域。 这里可以直接证明P(X)是不可约的，并且不可分。事实上这是为什么不可分性需要被强调的一个例子；用几何的语言来说，P代表了有限域上的一个射影直线，将坐标取p次幂。这样的映射对有限域上的代数几何是基础的。换言之，存在一些不能用伽罗华理论来描述的覆盖。（见根态射（radical morphism）条目寻找更高层次的阐述）

若L是域扩张

K(T^1/p),

换言之是P的分裂域，则L/K是一个纯不可分域扩张的例子。它的次数是p，但是除了恒等映射没有保K不变的态射，因为T^1/p是P的唯一一个根。这直接证明了伽罗华理论在这里不适用。一个没有此类扩张的域称为完美域。

可以证明L和它自己在K上的张量积有非零的幂零元。这又一次证明了不可分性：这是说域上的张量积操作不需要形成一个域的积环（因此没有交换的半单环）。

若P(X)是可分的，且它的根形成了一个群（域K的子群），则P(X)称为一个加性多项式。

伽罗华理论中的应用

可分多项式常在伽罗华理论中出现。

比如，令P是一个整系数不可约多项式而p是一个不整除P首项系数的素数。Q是有限域F_p上的上由P模p约化而来的多项式。则若Q可分则Q不可约因子的次数是P的伽罗华群的某个置换的长度。

另一个例子：P同上，一个群G的预解式R是一个系数为p为系数的多项式的多项式，R提供了关于P的伽罗华群的信息。更准确的说，若R是可分的并且有有理根则P的伽罗华群包含于G。例如若D是P的判别式，则X²-D是交错群的预解式。当P是可约的这个预解式总是可分的，但是大多的预解式是不可分的。

參考資料

1. S. Lang, Algebra, p. 178
2. N. Jacobson, Basic Algebra I, p. 233

• Pages 240-241 of Lang, Serge, Algebra Third, Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., 1993, ISBN 978-0-201-55540-0