半單模

在模論中，一個環 ${\displaystyle A}$ 上的左模 ${\displaystyle M}$ 若可表為單模的直和，便稱 ${\displaystyle M}$ 為半單模。

本條目中的環皆有乘法單位元素 ${\displaystyle 1}$。對於右模，相應的陳述依然成立。

等價定義

以下陳述彼此等價：

• ${\displaystyle M}$  是單模的和。
• ${\displaystyle M}$  是其單子模的和。
• 對每個子模 ${\displaystyle N\subset M}$ ，存在子模 ${\displaystyle N'\subset M}$  使得 ${\displaystyle M=N\oplus N'}$ 。

性質

• 若 ${\displaystyle M}$  是半單模，則其子模與商模亦然。
• 若 ${\displaystyle M_{i}}$  是半單模，則 ${\displaystyle \bigoplus _{i}M_{i}}$  亦然。

半單環

藉由環的乘法運算，每個環 ${\displaystyle A}$  都可視為左（或右） ${\displaystyle A}$ -模。若 ${\displaystyle A}$  是半單 ${\displaystyle A}$ -模，則稱 ${\displaystyle A}$  為半單環。可以證明：環 ${\displaystyle A}$  是半單左模若且唯若它是半單右模。半單環必然兼為諾特環與阿廷環。

半單環的角色之一，在於半單環 ${\displaystyle A}$  上的模都是半單模，而且任何單左模都可嵌入 ${\displaystyle A}$  中，成為其極小左理想。這遂大大便利了對 ${\displaystyle A}$ -模結構的研究。

對於非交換環，單環未必是半單環，儘管術語上引人如此聯想。

例子

• 若 ${\displaystyle k}$  為域、${\displaystyle G}$  為 ${\displaystyle n}$  階有限群，則群代數 ${\displaystyle k[G]}$  半單的充要條件是 ${\displaystyle k}$  的特徵不整除 ${\displaystyle n}$ 。此結果是有限群表示理論的基石。
• Artin-Wedderburn 定理給出了半單環的結構：一個環 ${\displaystyle A}$  半單若且唯若它同構於 ${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times \cdots M_{n_{r}}(D_{r})}$ ，其中每個 ${\displaystyle D_{i}}$  皆為除環、${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$  表示 ${\displaystyle D_{i}}$  上的 ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$  矩陣代數。
• 設 ${\displaystyle V}$  為域 ${\displaystyle k}$  上之有限維向量空間，${\displaystyle A\in \mathrm {End} (V)}$ 。則 ${\displaystyle V}$  是多項式環 ${\displaystyle k[X]}$  上的左模，結構由 ${\displaystyle f(X)\cdot v:=f(A)v}$  給出。此時 ${\displaystyle V}$  半單的充要條件是 ${\displaystyle A}$  在代數閉包 ${\displaystyle {\bar {k}}}$  上可對角化。

文獻

• N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
• R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
• T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.